2017_18學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.2均值不等式課件.pptx

1、3.2均值不等式,一,二,三,一、重要不等式【問題思考】1.填空:對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,有a2+b22ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.,一,二,三,3.做一做:已知a,bR,且a2+b2=4,則ab()A.有最大值2,有最小值-2B.有最大值2,但無最小值C.有最小值2,但無最大值D.有最大值2,有最小值0解析:這里沒有限制a,b的正負(fù),則由a2+b2=4,a2+b22|ab|,得|ab|2,所以-2ab2,可知ab的最大值為2,最小值為-2.答案:A,一,二,三,二、均值定理【問題思考】,一,二,三,2.均值不等式與不等式a2+b22ab的關(guān)系如何?請(qǐng)對(duì)此進(jìn)行討論.提示:(1)在a2+b22

2、ab中,a,bR;在a+b中,a,b0.(2)兩者都帶有等號(hào),等號(hào)成立的條件從形式上看是一樣的,但實(shí)質(zhì)不同(范圍不同).(3)證明的方法都是作差比較法.(4)都可以用來求最值.3.當(dāng)利用均值不等式求最大(小)值,等號(hào)取不到時(shí),如何處理?提示:等號(hào)取不到時(shí),可利用函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)來求解.,一,二,三,答案:B,一,二,三,三、重要結(jié)論【問題思考】1.填空:已知x,y都為正數(shù),則(1)若x+y=S(和為定值),則當(dāng)x=y時(shí),積xy取得最大值_.(2)若xy=P(積為定值),則當(dāng)x=y時(shí),和x+y取得最小值_.2.應(yīng)用上述兩個(gè)結(jié)論時(shí),要注意哪些事項(xiàng)?提示:應(yīng)用上述性質(zhì)時(shí)注意三點(diǎn):(1)各項(xiàng)或各因式

3、均為正;(2)和或積為定值;(3)各項(xiàng)或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.,一,二,三,3.做一做:已知x,y0,且x+4y=1,則xy的最大值為.,一,二,三,思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)里打“”,錯(cuò)誤的打“”.,答案:(1)(2)(3)(4),探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),利用均值不等式求范圍或最值,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),反思感悟1.利用均值不等式求范圍或最值時(shí)要注意:(1)x,y一定要都是正數(shù).(2)求積xy最大值時(shí),應(yīng)看和x+y是

4、否為定值;求和x+y最小值時(shí),應(yīng)看積xy是否為定值.(3)等號(hào)是否能夠成立.2.有時(shí)需結(jié)合題目條件進(jìn)行添項(xiàng)、湊項(xiàng)以及“1”的代換等,目的是為了使和或積為常數(shù).,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),解:x0,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),利用均值不等式比較大小,思路分析:這是一個(gè)有趣的不等式鏈,取特殊值可判斷其大小關(guān)系.借助不等式和重要不等式變形可尋求判斷和證明的方法.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),反思感悟利用均值不等式比較大小,其實(shí)質(zhì)也是不等式的證明

5、問題,但要注意對(duì)所求對(duì)象進(jìn)行適用條件的驗(yàn)證及等號(hào)成立條件的探求.必要時(shí),也要與之前講述的作差法或作商法綜合進(jìn)行大小比較,對(duì)于結(jié)論可首先取特殊值得到,再作論證即可.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),答案:PQR,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),利用均值不等式證明不等式,反思感悟1.多次使用均值不等式時(shí),要注意等號(hào)能否成立;2.累加法是不等式證明中的一種常用方法,證明不等式時(shí)注意使用;3.對(duì)不能直接使用均值不等式的證明可重新組合,形成均值不等式模型,再使用.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),探究一,探究二,探究三,

6、探究四,探究五,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),均值不等式與其他知識(shí)的交匯,思路分析:先利用特殊值法探求出結(jié)論,再利用函數(shù)的單調(diào)性及均值不等式證明.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),反思感悟近幾年的高考,均值不等式與函數(shù)的交匯是命題的熱點(diǎn);在不等式恒成立問題中,可通過分離參數(shù)法,利用均值不等式求最值或范圍,總之現(xiàn)在的高考,一般不單一地考查均值不等式,它僅作為一個(gè)工具.,探究一,探究二,探究三,探究四,

7、探究五,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),A.q=rpC.p=rq答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),均值不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用【例5】某學(xué)校擬建一塊周長(zhǎng)為400m的操場(chǎng),操場(chǎng)的兩邊是半圓形,中間是矩形(如圖所示).學(xué)生做操一般安排在矩形區(qū)域,為了能讓學(xué)生的做操區(qū)域盡可能大,應(yīng)如何設(shè)計(jì)矩形?,解:設(shè)半圓的直徑為dm,矩形的另一邊長(zhǎng)為xm,中間的矩形區(qū)域面積為Sm2.由題知S=dx,且d+2x=400,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),反思感悟1.在實(shí)際問題中,與最值有關(guān)的應(yīng)用題是一種常見題型,高考試題中時(shí)有出現(xiàn).解決此類問題的基本思路是,先建立目

8、標(biāo)函數(shù),然后再求該目標(biāo)函數(shù)的最值.由于均值不等式求最值具有方便快捷的特點(diǎn),應(yīng)作為求最值的首選方法.2.在應(yīng)用均值不等式求最值時(shí),要注意“一正、二定、三相等”的原則,特別是“三相等”必須驗(yàn)證.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),答案:10,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),因忽視均值不等式使用的條件而致誤,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),解:0x1,log5x0)有()A.最大值8B.最小值8C.最大值4D.最小值4答案:B2.已知點(diǎn)P(x,y)在直線x+3y-2=0上,則代數(shù)式3x+27y的最小值是.解析:根據(jù)條件可知x+3y=2,而3x+27y=3x+33y=6,當(dāng)且僅當(dāng)3x=33y時(shí)取等號(hào).答案:6,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),答案:a3,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè)