梁的剛度分析

1、梁的剛度分析,1概述,內(nèi)容,2梁的撓曲線近似微分方程用其積分,3用疊加法求梁的變形,4簡單靜不定梁的解法,5梁的剛度校核及提高梁的剛度措施,6梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能,1概述,*在上一章中，我們對各種截面梁中橫截面上的應(yīng)力，作了比較詳盡的介紹和分析，但是，對一根梁來說，它是不是只要滿足了應(yīng)力要求，即強度條件，就能夠使得整個構(gòu)件正常，安全的工作呢？為了回答這個問題，下面我們先看一看幾個簡單的例子：,第九章的內(nèi)容就告訴了我們上面所提到的梁所必須滿足的變形條件以及計算這種彎曲變形的方法，下面我們首先來看幾個基本概念：,舉例：如圖所示：取梁變形前的軸線為x軸，與x軸垂直的為y軸。彎曲變形后，在xy平面內(nèi)，AB

2、弧AC1B，撓曲線平面曲線AC1B。,1撓度梁的軸線上某一個點在垂直于x軸的方向（y方向）所發(fā)生的位移。,3撓曲線方程從圖中我們可以看出：梁的軸線上每一點的撓度y是隨著點的位置x的改變而變化的，因此它是x的函數(shù),即：,撓曲線方程,物理意義：反應(yīng)了撓度與轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系，即撓曲線上任意一點處切線的斜率等于該點處橫截面的轉(zhuǎn)角。,撓度：向下的撓度為正，向上的撓度為負(fù)轉(zhuǎn)角：順時針的轉(zhuǎn)向為正，逆時針的轉(zhuǎn)向為負(fù),5撓度，轉(zhuǎn)角的正負(fù)號規(guī)定：,目錄,2梁的撓曲線近似微分方程用其積分,.撓曲線近似微分方程（的推導(dǎo)）,在上一章，討論純彎曲變形時，得出：梁純彎曲時軸線的曲率為：,在橫力彎曲中，我們知道梁的橫截面上的內(nèi)

3、力除彎矩外，還有剪力，但同時我們又知道：工程上常用的梁，由于L（跨長）遠(yuǎn)大于h（橫截面高度），剪力的影響很小，可忽略不計。故我們?nèi)钥蓪⑵洚?dāng)作純彎曲梁來處理。有(a)式來表示曲率大小。但由于在橫力彎曲中，曲率和彎矩都是x的函數(shù)。故而應(yīng)寫為：,(b),又：,(9-3),撓曲線近似微分方程,二.討論：,從（9-3）式可看到：在等式的右邊有一個+號。到底是取正號還是取負(fù)呢？,我們大家都知道，梁變形后的形狀，不外乎兩種。我們現(xiàn)在分別討論：,故等式的右邊應(yīng)取“”號，即：,綜上所述，得出：,撓曲線的近似微分方程,三.積分：,下面我們還要對C、D進(jìn)行確定：,（9-5）,四.積分常數(shù)的確定：,一般情況下，積分常

4、數(shù)可通過梁的支座處的變形條件（稱為邊界條件或支承條件）或梁的撓曲線的變形連續(xù)性條件來確定。,變形條件：所謂變形條件，一般是指梁的支承處的變形特點，如鉸支座及連桿支座處的撓度為零。固定端處的撓度為零。見下圖：,2.連續(xù)性條件：指梁被載荷分成幾段時，我們將分段列出彎矩方程，由于梁的撓曲線是一光滑連續(xù)曲線，所以段與段之間連接處的撓度，轉(zhuǎn)角在兩段上的數(shù)值必須相等。,五.舉例：,例1.圖示簡支梁受均布載荷作用，載荷集度為q，梁的跨長為L，求梁跨中點C處的撓度與支座A點處的轉(zhuǎn)角。,根據(jù)對稱性，可得：,（2）建立撓曲線微分方程,以梁的左端A為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系如圖，則：,（3）利用邊界條件確定積分常數(shù)C、D

5、,將C、D代入（1）（2）得：,（3）,（4）,將x=0代入（3）得：,即：一次常數(shù)C表示原點的轉(zhuǎn)角與抗彎剛度的乘積二次常數(shù)D表示原點的撓度與抗彎剛度的乘積,從上面可看出：把原點取在簡支梁的鉸支座上時，二次積分常數(shù)D=0,這正是因為原點是鉸支座，而鉸支座處的撓度為零。注：這一點可作為一個標(biāo)準(zhǔn)來檢驗上面積分常數(shù)的正確與否，并且對其它類型的梁也成立。,例2.圖示一懸臂梁，自由端受一集中力P作用，求自由端B處的撓度和轉(zhuǎn)角。,解：建立坐標(biāo)系如圖：,（1）求支反力,（2）建立撓曲線微分方程,（3）利用邊界條件確定積分常數(shù)C、D,(4)將X=L代入（c）(d)式得：,（5）討論：,由上面可看到：由于固定端

6、處的轉(zhuǎn)角和撓度都為零，故C=D=0，即：它也滿足例1中得出的結(jié)論。,例3.圖示一簡支梁，在梁跨度中點C處作用一個集中力P。求該跨中點C的撓度及支座A點處橫截面的轉(zhuǎn)角。,解：分析象這樣類型習(xí)題的傳統(tǒng)解法是：以A點為原點,建立坐標(biāo)系，分AC段，CB段分別列出彎矩方程及撓曲線方程，然后根據(jù)變形條件和連續(xù)條件確定積分方程。從而求解，我們的書中用的就是這種解法，但是，我們只要稍微注意一下，就可發(fā)現(xiàn)，此梁為一對稱結(jié)構(gòu)，因此，我們只需取其一半結(jié)構(gòu)即可得出結(jié)果。,(1)求支反力：,由對稱性可得：,取AC段為研究對象：,（2）建立撓曲線微分方程,（3）利用邊界條件確定積分常數(shù)C、D,將C、D代入（1）（2）得：

7、,（4）求結(jié)果：,圖示一簡支梁，在梁中點處作用一個集中力偶Me，求梁跨中點C處的撓度與鉸支座A點處的轉(zhuǎn)角及連桿支座B點處的轉(zhuǎn)角。并求梁上最大撓度值。,思考題：,目錄,3用疊加法求梁的變形,.概述：,我們上面所講的直接積分法是求梁變形的基本方法，但在載荷復(fù)雜的情況下，要列多段彎矩方程，從而產(chǎn)生很多的積分常數(shù)。運算非常復(fù)雜。現(xiàn)在我們將要介紹的疊加法，基本上克服了這一缺點，為工程上常采用的較方便的計算方法之一。我們在本門課的一開始就曾講過，材料力學(xué)所研究的范圍是線彈性范圍，變形是小變形，梁的撓度和轉(zhuǎn)角與作用在梁上的載荷成線性關(guān)系。故而當(dāng)梁同時受幾個載荷作用而使梁產(chǎn)生的變形，就等于每一個載荷單獨作用下

8、梁產(chǎn)生的變形的代數(shù)和。,這種用每一個載荷單獨作用下梁產(chǎn)生的變形的代數(shù)和來代替梁同時受幾個載荷共同作用下產(chǎn)生的總變形的方法，我們就稱其為疊加法。在用疊加法求梁的變形時，每一個載荷單獨作用下產(chǎn)生變形可從本書附錄中查到。,二.舉例：,例4.圖示一簡支梁受均布載荷及集中力偶作用，試用疊加法求梁跨中點處的撓度和支座處的轉(zhuǎn)角。,（1）首先將梁上的載荷分成兩種，如下圖，并由附錄中查得它們單獨作用下，跨中處的撓度和支座處的轉(zhuǎn)角為：,解：,(2).進(jìn)行代數(shù)相加，求得：,例5.圖示，一受載荷的懸臂梁，求自由端A點處的撓度和轉(zhuǎn)角,解：,在分析這種梁的時候，我們把它分成兩段來考慮：,由附錄中，我們可查得：,由CA段上

9、無載荷，CA段又是自由端，所以CA段梁變形后仍保持直桿，如圖所示，由桿件的變形連續(xù)條件可知：,圖示，一懸臂梁受集中力作用，試用疊加法求自由端A點處的撓度和轉(zhuǎn)角,思考題,目錄,4簡單靜不定梁的解法,.概述,對于靜不定梁，一般的解決辦法有三種：疊加法，能量法，力法，其中的能量法和力法我們將在以后的幾章中介紹，現(xiàn)在我們就用疊加法來解靜不定梁。,二.方法：,(2).根據(jù)解除約束處的原來約束性質(zhì)，即變形特點，列出變形關(guān)系。,(1).首先將多余約束解除，代之以支座反力，從而使靜不定結(jié)構(gòu)成為靜定結(jié)構(gòu)。,(3).利用物理關(guān)系得出補充方程,(4).聯(lián)立求解補充方程與靜力平衡關(guān)系,三.舉例：,例10.圖示超靜定梁

10、上作用均布載荷，集度為q，試求其支座反力并繪出該梁的內(nèi)力圖。,(1).由附表可查得：,(2).變形相容條件：,得：,(c),(3).將(a)(b)代入(c)得：,目錄,5梁的剛度校核及提高梁的剛度措施,.剛度條件：,土建工程：以強度為主，一般強度條件滿足了，剛度要求也就滿足了，因此剛度校核在土建工程中處于從屬地位。機械工程：對二者的要求一般是平等的，在剛度方面對撓度和轉(zhuǎn)角都有一定的限制，如機床中的主軸，撓度過大影響加工精度，軸端轉(zhuǎn)角過大，會使軸承嚴(yán)重磨損。橋梁工程：撓度過大，機車通過時將會產(chǎn)生很大的振動。,由以上的分析：可建立剛度條件如下：,二.舉例,矩形橫截面,解：分析：今后大家一定要注意：

11、在材料力學(xué)中，凡是遇到確定截面的問題，決不會超出兩個方面，一個是強度條件，另一個是剛度條件，如果已知條件中給了強度容許值，只需要按強度條件來確定就行了，反之只需要按剛度條件確定就行了，若兩方面的容許值都給出了，那就必須分別確定，然后進(jìn)行比較選擇.,(2).按剛度條件設(shè)計：,由附錄查得：,代入剛度條件得：,(1).按強度條件設(shè)計：,綜上所述，截面尺寸應(yīng)按強度條件計算時，剛度條件一定滿足。,從附錄2的變形計算式中可看出：梁的變形不僅與梁的支承和載荷有關(guān)，而且還與梁的材料，截面形狀和跨長有關(guān)，總的來說，可用下式表示：,三.提高梁的剛度的措施,從上式可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)承受的載荷一定時，要想提高梁的彎曲剛度，必須從抗彎剛度和跨長兩方面來考慮：,1.增加梁的抗彎剛度：,2減小梁的跨長：,目錄,6梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能,又,例7.已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡支梁在均布載q作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定max和vmax。,解：,由邊界條件：,得：,梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：,最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：,例8：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示懸臂梁在集中力P作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定max和vmax。,解：,由邊界條件：,得：,梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：,最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：,例9：已知梁的抗彎剛度為EI