高等半導(dǎo)體物理

1、1 第二章第二章 半導(dǎo)體的電輸運(yùn)性質(zhì)半導(dǎo)體的電輸運(yùn)性質(zhì) 輸運(yùn)性質(zhì)是指在外場(chǎng)如電場(chǎng)、磁場(chǎng)、熱場(chǎng)及壓力場(chǎng)等作用下載流子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。這個(gè)過程涉 及的宏觀現(xiàn)象有：電阻、霍爾效應(yīng)、溫差電現(xiàn)象、磁阻、熱導(dǎo)及壓阻等。本章主要討論的是在電 場(chǎng)作用下載流子的運(yùn)動(dòng)。 按照能帶論，在嚴(yán)格周期性勢(shì)場(chǎng)中，電子可以保持在一個(gè)本征態(tài)中，具有一定的平均速度， 并不隨時(shí)間改變，這相當(dāng)于無限的自由程。實(shí)際自由程之所以是有限的，則是由于原子振動(dòng)或其 它原因致使晶體場(chǎng)偏離周期場(chǎng)的結(jié)果。在費(fèi)米統(tǒng)計(jì)和能帶論的基礎(chǔ)上，逐步發(fā)展了關(guān)于輸運(yùn)過程 的現(xiàn)代理論。本章將主要通過討論電導(dǎo)問題來介紹關(guān)于輸運(yùn)過程的一些基本概念和理論方法。 1 半經(jīng)典的處

2、理方法半經(jīng)典的處理方法 設(shè)在弱場(chǎng)條件下，電子在外電場(chǎng) 下的勢(shì)為)(r ,則含時(shí)間的薛定諤方程： )12( ),( ),()( 0 t tr itrreh 0 h為無外場(chǎng)時(shí)的哈密頓量，),(tr 為有外場(chǎng)時(shí)的本征波函數(shù)。因)(re 在實(shí)空間是擴(kuò)展勢(shì)，因 此方法上與處理淺施主雜質(zhì)類似，可用有效質(zhì)量理論來處理。在這里采用的是建立在有效質(zhì)量方 程上的半經(jīng)典電子運(yùn)動(dòng)方程。根據(jù)有效質(zhì)量理論，考慮各向同性非簡(jiǎn)并的導(dǎo)帶，如 gaas，inp 等 材料，它們的導(dǎo)帶可寫成： * 22 2 )0()( m k eke cc 由方程（2-1）得： )22(),(),()( 2 )0( 2 * 2 trf t itrf

3、re m ec 晶體勢(shì)的作用“凝聚”到用 * m替代 0 m，外場(chǎng)作用下電子的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程近似地寫成： )32()( * 2 2 * e dt rdm dt rd m 第 1 項(xiàng)是外場(chǎng)作用下的加速運(yùn)動(dòng)，第 2 項(xiàng)是雜質(zhì)或聲子對(duì)電子的散射。在電場(chǎng)下的加速與散射導(dǎo) 致的對(duì)速度的影響形成了兩股相互競(jìng)爭(zhēng)的力量，使得在材料中外電場(chǎng)下電子的運(yùn)動(dòng)與真空下的情 形不同。 對(duì)于一個(gè)理想的晶體，在絕對(duì)零度下，散射時(shí)間 是無窮，這意味著電子在外場(chǎng)作用下不斷 地加速，在晶體中暢通無阻。然而對(duì)于實(shí)際晶體， 是一個(gè)有限的值。對(duì)電流vnej 有貢獻(xiàn)的 漂移速度 * mevd 載流子濃度為 n 時(shí)電流密度 2 nej )42

4、()( * 2 hhee nne m ne ne 2 非簡(jiǎn)并電子氣玻爾茲曼方程和弛豫時(shí)間近似非簡(jiǎn)并電子氣玻爾茲曼方程和弛豫時(shí)間近似 熱平衡情況下，以 n 型材料為例，電子分布遵循費(fèi)米-狄拉克分布 )52( )( exp1 1 0 kt eke f f k 分布函數(shù)),(tkf 隨時(shí)間的變化 t f 可表示成： )62()()()( mcd t f t f t f t f 第一項(xiàng) d t f )( 為漂移項(xiàng)。第二項(xiàng)是碰撞項(xiàng)，是指晶格的非周期性（雜質(zhì)、缺陷及晶格振動(dòng)等）對(duì) 波矢為k 狀態(tài)電子的散射。 而第三項(xiàng) m t f )( 是電子密度在空間的不均勻性引起的擴(kuò)散項(xiàng)。在恒溫 條件下，僅考慮電場(chǎng)及磁

5、場(chǎng)的作用時(shí)擴(kuò)散項(xiàng)可忽略，0)( m t f 。 當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到一個(gè)新的平衡態(tài)時(shí)，方程寫為 )72(0)()( cd t f t f t f （1）漂移項(xiàng)。 恒溫條件下，恒定電磁場(chǎng)),(b 引起的漂移項(xiàng)： )82()( 1 )( bveef dt kd f t f kkd （e為電子電量的絕對(duì)值） （2）碰撞項(xiàng)。散射作用使分布函數(shù)恢復(fù)平衡，設(shè)單位時(shí)間內(nèi)狀態(tài)k 的電子被散射到 k 的幾率為 ),(kkw ，相反電子從狀態(tài) k 被散射到k 的幾率為),(kkw 。不考慮電子在瞬間實(shí)空間的 變化，則在t 時(shí)間內(nèi)單位體積中從kd 躍遷到kd 的電子數(shù)可表示成： tkdtkfkkwkdtkf ),(1( )2

6、( 2 ),(),( )2( 2 33 這里 2 是考慮自旋，并認(rèn)為躍遷時(shí)自旋不變。上式對(duì) k 積分可得t ，kd 范圍內(nèi)被散射出的電 3 子數(shù)： )92( )2( 2 3 tkda 同樣電子從kd 散射回kd 的電子數(shù)為： )102( )2( 2 3 tkdb 其中 )112( ),(),(1),( )2( 2 ),(),(1),( )2( 2 3 3 kdkkwtkftkfb kdkkwtkftkfa 在kd 內(nèi)電子數(shù)的變化： )2( 2 )(),( )2( 2 33 tkdabkdtkf 因此電子散射引起分布函數(shù)的變化： )122()( ab t f c 根據(jù))72( 式0)()( cd

7、 t f t f t f 和)82( 式)( 1 )(bveef t f kd ， 在恒定電場(chǎng)與磁場(chǎng)下 ab)()( 1 )()( 1 )()( ckckcd t f bveef t f bveef t f t f 即：平衡時(shí)，在恒定電場(chǎng)或磁場(chǎng)下由于電子的漂移對(duì)分布函數(shù)的影響與散射對(duì)電子分布函數(shù)的影 響作用相當(dāng)。 )132( 0 )( ab e fb abbv e f k k 若若 （2-13）就是玻爾茲曼方程，它是一個(gè)積分微分方程，很難求解。這里采用弛豫時(shí)間近似來求解。 設(shè)系統(tǒng)偏離平衡態(tài)后，從),(tkf 由于碰撞偏離原始熱平衡狀態(tài) 0 f所需要的弛豫時(shí)間)(k )142( )( )( 0

8、k ff t f c 4 玻爾茲曼方程可寫為： )( )( 1 0 k ff bveef k 不同的散射機(jī)構(gòu)對(duì)系統(tǒng) 的影響是不同的，存在多種散射機(jī)制時(shí) )162( 11 i i 3 電導(dǎo)率電導(dǎo)率 對(duì)于一均勻材料， 恒溫零磁場(chǎng)， 弱外電場(chǎng) 作用下非簡(jiǎn)并電子氣 （電子濃度為 n） ， 由 （2-13） 、（2-14） 得到定態(tài)玻爾茲曼方程為： )172( 0 a ffe f k 將 f 按 的冪指數(shù)展開： 210 ffff。 （ 是弱場(chǎng)， 0 f是沒加電場(chǎng)的情況。 ）代入 （2-17a）得兩邊冪次相等的方程組，并求出相應(yīng)的 21, f f )172( 12 2 1 01 1 0 bf e f fe

9、 f f e f fe f kk kk 0 f是指無外場(chǎng)時(shí)熱平衡分布函數(shù)。在考慮分布函數(shù)變化一級(jí)小量的情況下，討論電流密度： kdf kee kdf kee kdff kee kdkvkefdnvej kk k 0 3 1 3 10 33 )( )2( 2)( )2( 2 )( )( )2( 2 )()(2 )2( 1 其中：kdkfdn ) ( )2( 2 3 ，)( 1 )(kekv k 等號(hào)后面的第二項(xiàng)： kdfkevkdfke e k 0 3 0 3 )(2 )2( 1 )( )2( 2 相當(dāng)于平衡時(shí)的電流，等于 0。 因此， kdf kee j k 1 3 )( )2( 2 5 又因

10、為 k e f e f e f ek 001 )182()()( )2( 2 0 23 kdfkeeke e j ekk 根據(jù)歐姆定律： j， ,為 x，y，z， 是二階張量， )192() )( () )( )( )2( 2 0 23 2 kd k ke e f k ke k e 由此看出電導(dǎo)率取決于)(ke 關(guān)系。下面就各向同性能帶和各向異性能帶分別討論。 3-1 各向同性能帶各向同性能帶 如 gaas，inp 導(dǎo)帶， * 22 2 )( m k ke ，)(k 與k 方向無關(guān)。 ),()( * 2 kkk m ke k ,為三個(gè)不同方向。若tkee bf ，載流子分布函數(shù)由 fermi-

11、dirac 分布 )( exp1 1 )( 0 tk eke kf b f 近似看作為玻爾茲曼分布 )( exp)( 0 tk eke kf b f 0 0 1 f tke f b )202()( )2( 2 )()( )2( 2 0 2 *3 22 * 2 0 * 2 23 2 kdkkfk tkm e kd m k tk f m k k e b b 積分中， kkk,是奇函數(shù)，其余的因子都是球?qū)ΨQ的，只要 ，積分內(nèi)函數(shù)是奇函數(shù)， 所以積分后 0 0 332211 ，因此張量相當(dāng)于一個(gè)標(biāo)量 0 。 統(tǒng)計(jì)平均電導(dǎo)率為 6 )212()( )2( 3 2 )( 3 1 0 2 2 *3 22 0

12、 kdfkk tkm e b 在經(jīng)典電子氣中，電子平均能量： kdf m k n tk tk n kdf m k dn dn m k b b 0 * 22 3 3 0 * 22 * 22 )2(3 2 )222( 2 3 )2( 2 22 將tkb代回（2-21）式，可得到 )232( )( )()( )()( * 2 0 0 * 2 2/1 0 2/1 0 * 2 2 0 2 0 * 2 a e e m ne deegef deegefe m ne deeef deeefe m ne kdkf kdkfk m ne 其中態(tài)密度 2/1 )(eeg 另外，從另一個(gè)更簡(jiǎn)單的途徑，我們也可以得到

13、： 因?yàn)?* m e v 和nevj ，所以 m ne nevj * 2 ，因此 m ne * 2 )232( * 2 bnej m e m ne j 3-2 各向異性導(dǎo)帶各向異性導(dǎo)帶 在實(shí)際的 ge，si 材料，導(dǎo)帶)(ke 關(guān)系較復(fù)雜，它的等能面是橢球，而且是多谷的情況。如 圖 2-1 所示，si 的導(dǎo)帶在100方向有六個(gè)等效的橢球，而 ge 在111方向有 8 個(gè)半橢球。其能量 關(guān)系： 7 圖 2-1si（a） ，ge（b） ，導(dǎo)帶極小值等能面 )242()( 2 )( * 3 2 * 2 2 * 1 22 m k m k m k ke z y x lt mmmmm * 3 * 2 *

14、1 , )252( 1 00 0 1 0 00 1 1 * 3 * 2 * 1 * m m m m 分布函數(shù)的一級(jí)小量： )262( 0 * 0 * 2 0 01 e f k m e e f m ke e f k ee f e f k 由)182( 式可得： )272()( )2( 2 )()( )2( 2 0 * 2 * 2 23 2 0 23 kd e f k m k m e kdfkeeke e j ekk 當(dāng)坐標(biāo)建立在橢球上時(shí)，仍有 * 2 m ne ，注意到橢球的各向異性，存在著橫向有效質(zhì)量和縱 向有效質(zhì)量的差別，有 * 3 * 2 * 1 mmm 。每個(gè)橢球中的電子對(duì)電導(dǎo)的貢獻(xiàn)為：

15、 8 * 3 2 * 2 2 * 1 2 6 00 0 6 0 00 6 m ne m ne m ne k k 為以該橢球坐標(biāo)為參考下的電導(dǎo)率。si 的導(dǎo)帶在100方向 有六個(gè)等效的橢球， si 的總電導(dǎo)率為多少呢？即涉及到這 6 個(gè)橢 球中電子對(duì)電導(dǎo)的貢獻(xiàn)是如何相加的。 （參考高等半導(dǎo)體物理 ，趙冷柱，華東師范大學(xué)出版社） 注意到在上式中我們用到了兩個(gè)不同的坐標(biāo)系： 晶體主軸坐標(biāo)系 或?qū)嶒?yàn)室坐標(biāo)系（原點(diǎn)位于 k 空間的原點(diǎn)處） ，和能谷的橢球主 軸坐標(biāo)系（原點(diǎn)位于橢球的中心） ，因此涉及到兩個(gè)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換 問題。 設(shè)zyx ,為晶體主軸坐標(biāo)系或?qū)嶒?yàn)室坐標(biāo)系， 321 ,kkk 為能谷的橢球主軸

16、坐標(biāo)系。在普遍的情 況下，晶體主軸坐標(biāo)系（zyx ,）與某一能谷的橢球主軸坐標(biāo)系（ 321 ,kkk ）的關(guān)系為： 3 2 1 333231 232221 131211 k k k ccc ccc ccc z y x ，可簡(jiǎn)寫成：ckx 若在某一能谷的橢球主軸坐標(biāo)系下電流方程可寫成： 3 2 1 333231 232221 131211 3 2 1 k k k kkk kkk kkk k k k j j j ，可簡(jiǎn)寫成： kkk j 在晶體主軸坐標(biāo)系或?qū)嶒?yàn)室坐標(biāo)系下電流方程可寫成： 3 2 1 333231 232221 131211 3 2 1 j j j ，可簡(jiǎn)寫成：j 有： 111 cc

17、cccccjccj kkkkkkk 對(duì)于硅，在 321 ,kkk 的正方向上的三個(gè)能谷所對(duì)應(yīng)的變換矩陣分別為： 100 010 001 , 001 100 010 , 010 001 100 321 ccc 9 又因?yàn)?* 3 2 * 2 2 * 1 2 6 00 0 6 0 00 6 m ne m ne m ne k 因此，若只考慮在 1 k 正方向上的一個(gè)能谷上的電子對(duì)電導(dǎo)的貢獻(xiàn)，則： * 2 2 * 1 2 * 3 2 * 3 2 * 2 2 * 1 2 1111 6 00 0 6 0 00 6 001 100 010 6 00 0 6 0 00 6 010 001 100 )( m n

18、e m ne m ne m ne m ne m ne cc k 若考慮了 6 個(gè)能谷上的電子對(duì)電導(dǎo)的貢獻(xiàn)，則： * 2 * 2 * 2 * 2 * 1 2 * 3 2 * 2 2 * 3 2 * 2 2 * 1 2 * 2 2 * 1 2 * 3 2 6 1 00 00 00 6 00 0 6 0 00 6 2 6 00 0 6 0 00 6 2 6 00 0 6 0 00 6 2 c c c c i i m ne m ne m ne m ne m ne m ne m ne m ne m ne m ne m ne m ne m ne 其中：) 21 ( 3 11 tlc mmm ， tl mm

19、 ,分別指縱向和橫向有效質(zhì)量。 10 同樣的，)322( 6 * 1 2 xx m ne j 式中 1/6 是考慮 si 導(dǎo)帶有 6 個(gè)能谷，每個(gè)能谷的電子數(shù)是 n/6。 對(duì)一個(gè)能谷三個(gè)方向的電流為： )332( 6 * 3 * 2 * 1 2 z m y m x m e n j z y x 六個(gè)能谷的總電流為： )342( ) 21 ( 3 )( )( )(2 6 2 * 2 * 2 c * tl l z t y t x t z l y t x t z t y l x m ne mm ne z m y m x m z m y m x m z m y m x m ne j 其中： )( m e

20、 m ne ) mm ( m c * c * t * l * c * 352 21 3 11 2 上面的結(jié)果與（2-23b）相比發(fā)現(xiàn)，只需將cm*替換 * m， 的表示式是相同的，特別是 c m及 在 這里都是標(biāo)量。 對(duì)于 ge 的導(dǎo)帶電導(dǎo)率，雖然導(dǎo)帶底極值情況有所不同，是在111的半個(gè)橢球，但在計(jì)算方 法上是類似的，不作詳述。 3-3 空穴電導(dǎo)率空穴電導(dǎo)率 第一章中我們討論到 ge，si 的價(jià)帶極大值在 點(diǎn)，考慮了自旋與軌道的相互作用后，通常 由兩個(gè)具有不同有效質(zhì)量（輕空穴和重空穴）的能帶控制空穴的輸運(yùn)。 用前面的分析方法，從)(ke k 導(dǎo)出 1 f，從而得到空穴電導(dǎo)率的表達(dá)式： 11 )

21、382( 2 cl ll ch hh m p m p e 其中 h p和 l p分別為重空穴數(shù)和輕空穴數(shù)， clch mm ,分別代表重空穴與輕空穴的有效質(zhì)量。 若近似地認(rèn)為 lh ，則： c m pe2 其中： )( 11 , cl l ch h c lh m p m p pm ppp 由于輕重空穴可以在兩個(gè)彎曲的等能面間相互散射，它們的數(shù)量是不相等的。實(shí)驗(yàn)表明輕空穴濃 度約為重空穴的 2-6%。 4 霍爾遷移率與磁阻霍爾遷移率與磁阻 在外加電場(chǎng)和磁場(chǎng)的作用下，假設(shè)所加的電場(chǎng)為弱場(chǎng)，按電場(chǎng)展開有 210 ffff。 在一級(jí)近似下， 01 fff 表示分布函數(shù)在外場(chǎng)下的變化。 有磁場(chǎng)情況下的玻

22、爾茲曼方程為： )( )( 1 0 k ff bveef k 按 的級(jí)數(shù)左右兩邊相等得到： 1 10 f bv e f e f kk a)(fb)ke e f ke b m k f e m k e fe f m k kv bvf e v e fe fkekv bvf e k e e fe bvf e f e f k k kk k kk 392m(m * )( * * )( )()( 1 )( )( )()( 1 0 1 0 1 0 1 1 0 101 又 其中 * 1 m m ，對(duì)稱矩陣下kmmk ，故： )392( )(det)(1 )(det)()( 0 12 12 1 b e f bbm

23、me bmbmebme mkef 12 由此可求各種情況下的霍爾遷移率與磁阻。 4-1 球形等能面球形等能面 利用（2-18）式， )182( )( )2( 2 )( )( )2( 2 )()(2 )2( 1 1 3 10 33 kdf kee kdff kee kdkvkefdnvej k k 將)392(b 代入，整理后得到： )402( )exp( )exp( )(1 )()( 2/3 2/3 2* 2 * * 2 dwww dwww bbme bb m e b m e m ne j 其中tkew b 。 令)b, 0, 0( z b ，在弱磁場(chǎng)下1)( 2 * bb m e ， （2-

24、40）可二項(xiàng)式展開并略去 3 )(b 項(xiàng)得： )412()()( 3 3 * 4 2 2 * 3 * 2 bbbb m ne b m ne m ne j 可以求出電流的各分量如下： )422( 23 3 * 4 2 2 * 3 * 2 23 3 * 4 2 2 * 3 * 2 zyzxyy zxzyxx b m ne b m ne m ne j b m ne b m ne m ne j *hall 系數(shù) 13 在一個(gè)長(zhǎng)方形樣品的 hall 系數(shù)測(cè)量中，假設(shè)外加電流方向?yàn)閤 方向，磁場(chǎng)b 沿z 方向，由于 載流子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)發(fā)生偏轉(zhuǎn)，我們?cè)趛 方向上可探測(cè)到電壓，稱為 hall 電壓。 由于在

25、y 方向無電流，0 y j，積累的電場(chǎng)為 y 。若僅考慮 z b的一次方項(xiàng)，在穩(wěn)態(tài)下 )432( 2 * zxy b m e 附：上式的推導(dǎo)過程 由于0 2 2 * 3 * 2 zxyy b m ne m ne j 有 zx zx yzxy b m e m ne b m ne b m ne m ne * 2 * 2 2 2 * 3 2 2 * 3 * 2 定義霍爾系數(shù)為 zx y h bj r 因?yàn)?23 3 * 4 2 2 * 3 * 2 zxzyxx b m ne b m ne m ne j ne ne ne m ne m e j m e bj b m e bj r x x x x zx

26、zx zx y h 1 2 2 2 * 2 * 2 * 2 * 2 定義霍爾遷移率為)442( 2 * m e bz x y h （這是因?yàn)?zxy b m e 2 * ） 比較（2-23b）式，未加磁場(chǎng)下 * m e ?；魻栠w移率 h 中是以 2 代替 。通常 與能 量有關(guān)，故 h 不同于 。若 與能量無關(guān)，則 h 。 *對(duì) hall 現(xiàn)象的討論：bvee （1）產(chǎn)生 hall 效應(yīng)的原因是，作漂移運(yùn)動(dòng)的載流子在垂直電場(chǎng)作用下，因受洛侖茲力而產(chǎn)生 14 偏轉(zhuǎn)，結(jié)果在樣品兩側(cè)造成電荷積累，由此產(chǎn)生的橫向電場(chǎng)所引起的靜電力和洛侖茲力之 間平衡的結(jié)果。 （2）在半導(dǎo)體材料中，由于載流子的速度實(shí)際是

27、各不相同的，因此，一般并不存在 hall 電場(chǎng) 的靜電力和洛侖茲力之間的平衡。 在垂直于磁場(chǎng)方向的平面內(nèi)， 載流子實(shí)際在作迴旋運(yùn)動(dòng)， 并不斷經(jīng)受碰撞。 （3）由于在 y 方向存在電場(chǎng)，電流和電場(chǎng)并不在同一方向上，兩者的夾角稱為 hall 角，其定 義為： z * n z * x zx * x y p b m e b m e b m e 2 2 2 tan tan 電子和空穴的 hall 角有不同的符號(hào)。 定義迴旋頻率： * m ebz ，表示載流子在磁場(chǎng)作用下作迴旋運(yùn)動(dòng)的角頻率。在有關(guān)磁場(chǎng)中載流子 運(yùn)動(dòng)的問題中，迴旋頻率 是個(gè)重要的量。在迴旋頻率1 時(shí)，有 。 *磁阻磁阻 23 3 * 4 2

28、 2 * 2 2 * 3 * 2 2 * 23 3 * 4 2 2 * 3 * 2 zxzxxx zxy zxzyxx b m ne b m e m ne m ne j b m e b m ne b m ne m ne j 從上式可以看出，磁場(chǎng)還可在 x 方向引起 2 z b量級(jí)的電流變化，表現(xiàn)為電阻的變化，稱為磁 阻 m r，其定義為：)452( 0 0 x xbx m j jj r 0 , xxb jj分別為有磁場(chǎng)及無磁場(chǎng) x 方向的電流。將 xb j及 0 x j代入（2-45）可得到： 2 2 * 2 2 3 2 2 23 2 * 2 2 2 2 2 * 2 * 2 23 3 * 4

29、2 2 * 2 2 * 3 * 2 * 2 z zz x zxzxxx m b m e b m e b m e m ne b m ne b m e m ne m ne m ne r 15 )462()()( 22 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 * 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 * 2 2 3 2 2 2 * zhzh zzm h bb b m e b m e r m e 其中)472( 2 2 3 2 2 稱為磁阻系數(shù)，可看出若 與能量無關(guān)，0 。實(shí)際上， 是與能量有關(guān)的，0 m r。 5 電子運(yùn)動(dòng)的散射機(jī)制電子運(yùn)動(dòng)的散射機(jī)制 從前面幾節(jié)的分析看出，輸運(yùn)參量是與弛豫時(shí)間 密

30、切相關(guān)的。 宏觀上可看成是在撤去外 場(chǎng)后分布函數(shù)從f恢復(fù)到 0 f的平均時(shí)間，顯然它與非平衡載流子散射有關(guān)。因此，要從理論上 定量地求出 ，就必須討論各種散射機(jī)制，如：晶格振動(dòng)、雜質(zhì)缺陷等對(duì)電子躍遷幾率的影響， 從而求出 及載流子遷移率。 5-1 散射截面散射截面 載流子受到晶格振動(dòng)、 雜質(zhì)缺陷等微擾勢(shì)的散射是一個(gè)隨機(jī)過程， 故需引進(jìn)散射截面的概念。 設(shè)一束粒子流沿 z 方向射向散射中心 m，入射粒子流受到 m 中心的碰撞而偏離原方向發(fā)生散射。 考慮到散射中心（如雜質(zhì)原子）比粒子流（如電子）質(zhì)量大很多，因此 m 的運(yùn)動(dòng)可忽略。 受到散射中心 m 作用后，入射流被散射到),( 方向立體角 d內(nèi)的

31、粒子數(shù)dn正比于入射的粒 16 子流密度 n（單位時(shí)間內(nèi)通過與入射粒子運(yùn)動(dòng)方向垂直的單位面積的入射粒子數(shù)，用于描述入射 粒子流強(qiáng)度的物理量，故又稱為入射粒子流強(qiáng)度）及接收立體角 d，其中 dddsin 。 )512(),( nddn nd dn )(, 的單位是面積， 指的是粒子散射到單位立體角的幾率， 稱為微分散射截面。 n dn 為 每個(gè)粒子散射到 d中的幾率。如果我們考慮到各方向的散射 0 2 0 sin),(dd c c 稱為積分散射截面，它代表粒子被散射的幾率。 當(dāng)散射中心的力場(chǎng)對(duì) z 軸對(duì)稱，則 c 與 無關(guān)可表示成（2-52） 。 )522(sin),(2 d c 對(duì)于各向同性的

32、散射，),( 與 ,無關(guān) )532(4 4 d c 考慮到每經(jīng)一次散射，速率在原方向的分量為 cosv，速率分量的相對(duì)變化應(yīng)加一權(quán)重因子 )542(cos1 cos v vv 得到平均微分有效散射截面或稱動(dòng)量傳遞截面 )552(sin)cos1)(2 0 d 5-2 弛豫時(shí)間弛豫時(shí)間 由式（2-14）代表的弛豫時(shí)間近似，我們可從（2-11） ， （2-12）式出發(fā)來求出 與散射幾率及 載流子分布等參量的關(guān)系。 根據(jù)（2-11） （2-12） ，由于散射作用單位體積單位時(shí)間內(nèi)分布函數(shù)的變化率 )562()(1)(),()(1)(),( )2( 2 3 kdkfkfkkwkfkfkkw t f c

33、 ),(kkw ，),(kkw 分別代表電子從 k 態(tài)躍遷到k 態(tài)及從k 態(tài)躍遷到 k 態(tài)的幾率，根據(jù) 熱平衡下的細(xì)致平衡原理 )572()(1)(),()(1)(),( 0000 kfkfkkwkfkfkkw )()()( 10 kfkfkf ，則（2-56）式可進(jìn)一步寫成 17 )( )( 1 k kf t f c )582( )()(1)( )()(1)( 1 )(1 )(1 ),( )2( 1 )( 100 100 0 0 3 1 kd kfkfkf kfkfkf kf kf kkwk 據(jù)圖 2-3，進(jìn)一步化簡(jiǎn)上式，其中 為k 與外場(chǎng) 夾角， 為 k 與k 夾角， 為 k 與 夾角。

34、參考高等半導(dǎo)體物理 ，趙冷柱，華東師范大學(xué)出版社 有)cos(sinsincoscoscos 化簡(jiǎn)（2-58）得： )592(cos )()(1)( )()(1)( 1 )(1 )(1 ),( )2( 1 )( 00 00 0 0 3 1 kd kkkfkf kkkfkf kf kf kkwk 其中令：)602( cos)()( cos)()( 1 1 kkkf kkkf ，而且對(duì) 積分時(shí)含)cos( 項(xiàng)為零。 （2-59） 是弛豫時(shí)間近似下)(k 的一般表達(dá)式，可看出它涉及到不同散射機(jī)制對(duì)應(yīng)的躍遷幾率及 散射對(duì)電子能量的影響。從能量變化的角度，散射可分成帶內(nèi)的彈性、非彈性散射及谷間的彈性、

35、非彈性散射。從散射體的類型來分，散射可分為電離雜質(zhì)散射、中性雜質(zhì)散射和聲子散射（聲學(xué) 波形變勢(shì)散射、長(zhǎng)光學(xué)波畸變勢(shì)和長(zhǎng)光學(xué)波極化勢(shì)等） 。下面分別討論： * 帶內(nèi)彈性散射 對(duì)于彈性散射)()(),()(, 00 kfkfkkkk ，因此（2-59）式可成為： )612()cos1)(,( )2( 1 )( 3 1 kdkkwk 根據(jù)量子力學(xué)，受一缺陷勢(shì) h 作用電子的躍遷幾率),(kkw 表示成： )622()( 2 ),( 2 kk eekhkkkw )632( 1 rdehe v khk rkirki 通?？捎茫?-61） ， （2-62）及（2-63）式來計(jì)算彈性散射的弛豫時(shí)間。 下面簡(jiǎn)

36、要討論弛豫時(shí)間)(k 與散射截面的關(guān)系。 （2-61）式)(k 代表了粒子兩次碰撞之間 的平均自由時(shí)間， 1 )( k 就是單位時(shí)間內(nèi)的碰撞幾率。 設(shè) n 為散射中心密度， 則單位體積中有 n 18 個(gè)散射截面為 c 的平行圓盤。在dt時(shí)間內(nèi)，粒子垂直于散射截面移動(dòng)了vdt，在dt時(shí)間內(nèi)一散 射截面碰撞幾率為： )( )( k dt vdtn c （等式左邊表示dt內(nèi)會(huì)碰到多少個(gè)散射截面，等式右邊表示dt內(nèi)會(huì)散射多少次） 因此，)642()( 1 nvk c 實(shí)驗(yàn)上 c 是可測(cè)定的，因此可計(jì)算出)(k 。 * 帶內(nèi)非彈性散射 式（2-59）是適用于彈性散射或非彈性散射的普遍公式。應(yīng)用于非彈性散

37、射，通常給不出弛 豫時(shí)間的簡(jiǎn)單表達(dá)式，可將)(k 寫成一個(gè)積分方程再用迭代法近似求解。推導(dǎo)過程中將聲子與 電子非彈性的相互作用過程疊加，略去數(shù)學(xué)過程可得到非彈性散射弛豫時(shí)間表達(dá)式： )652( )( )( cos1 )(1 )(1 ),( )2( 1 )( 0 0 3 1 過程過程 kd kk kk kf kf kkwk )(k 與) (k 具有相同的函數(shù)形式，因此上式是一個(gè)積分方程。為了便于迭代計(jì)算，將上式改 寫成： )662(cos)( )(1 )(1 ),( )2( 1 )()()( 0 0 3 00 過程過程 kdk kfk kfk kkwkkk 其中)672( )(1 )(1 ),( )2( 1 )( 1 0 0 3 0 過程過程 kd kf kf kkwk )( 0 k 作為)(k 零級(jí)近似，較容易從（2-67）獲得。若將（2-66）中) (k 用（2-67）)( 0 k 來 代替，則可得到)(k 的一級(jí)近似，即： 過程過程 kdk kfk kfk kkwkkk cos)( )(1 )(1 ),( )2( 1 )()()( 0 0 0 3 001 若設(shè))( 0