線性規(guī)劃與網(wǎng)絡(luò)流.ppt

1、1,學(xué)習(xí)要點(diǎn) 理解線性規(guī)劃算法模型 掌握解線性規(guī)劃問題的單純形算法 理解網(wǎng)絡(luò)與網(wǎng)絡(luò)流的基本概念 掌握網(wǎng)絡(luò)最大流的增廣路算法 掌握網(wǎng)絡(luò)最大流的預(yù)流推進(jìn)算法 掌握網(wǎng)絡(luò)最小費(fèi)用流的消圈算法 掌握網(wǎng)絡(luò)最小費(fèi)用流的最小費(fèi)用路算法 掌握網(wǎng)絡(luò)最小費(fèi)用流的網(wǎng)絡(luò)單純形算法,線性規(guī)劃與網(wǎng)絡(luò)流,2,8.1 線性規(guī)劃問題和單純形算法,線性規(guī)劃問題及其表示 線性規(guī)劃問題可表示為如下形式： s.t.,3,變量滿足約束條件(8.2)-(8.5)式的一組值稱為線性規(guī)劃問題的一個(gè)可行解。 所有可行解構(gòu)成的集合稱為線性規(guī)劃問題的可行區(qū)域。 使目標(biāo)函數(shù)取得極值的可行解稱為最優(yōu)解。 在最優(yōu)解處目標(biāo)函數(shù)的值稱為最優(yōu)值。 有些情況下可能

2、不存在最優(yōu)解。 通常有兩種情況： (1)根本沒有可行解，即給定的約束條件之間是相互排斥的，可行區(qū)域?yàn)榭占?(2)目標(biāo)函數(shù)沒有極值，也就是說在n 維空間中的某個(gè)方向上，目標(biāo)函數(shù)值可以無限增大，而仍滿足約束條件，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)值無界。,4,這個(gè)問題的解為 (x1,x2,x3,x4) = (0,3.5,4.5,1)；最優(yōu)值為16。,5,線性規(guī)劃基本定理,約束條件(8.2)-(8.5)中n個(gè)約束以等號(hào)滿足的可行解稱為線性規(guī)劃問題的基本可行解。 若nm，則基本可行解中至少有n-m個(gè)分量為0，也就是說，基本可行解中最多有m個(gè)分量非零。 線性規(guī)劃基本定理：如果線性規(guī)劃問題有最優(yōu)解，則必有一基本可行最優(yōu)解。

3、上述定理的重要意義在于，它把一個(gè)最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)組合問題，即在(8.2) -(8.5)式的m+n個(gè)約束條件中，確定最優(yōu)解應(yīng)滿足其中哪n個(gè)約束條件的問題。 由此可知，只要對(duì)各種不同的組合進(jìn)行測(cè)試，并比較每種情況下的目標(biāo)函數(shù)值，直到找到最優(yōu)解。 Dantzig于1948年提出了線性規(guī)劃問題的單純形算法。 單純形算法的特點(diǎn)是： （1）只對(duì)約束條件的若干組合進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試的每一步都使目標(biāo)函數(shù)的值增加； （2）一般經(jīng)過不大于m或n次迭代就可求得最優(yōu)解。,6,約束標(biāo)準(zhǔn)型線性規(guī)劃問題的單純形算法,當(dāng)線性規(guī)劃問題中沒有不等式約束(8.2)和(8.4)式，而只有等式約束(8.3)和變量非負(fù)約束(8.5)時(shí)，

4、稱該線性規(guī)劃問題具有標(biāo)準(zhǔn)形式。 為便于討論，不妨先考察一類更特殊的標(biāo)準(zhǔn)形式線性規(guī)劃問題。這一類線性規(guī)劃問題中，每一個(gè)等式約束中，至少有一個(gè)變量的系數(shù)為正，且這個(gè)變量只在該約束中出現(xiàn)。 在每一約束方程中選擇一個(gè)這樣的變量，并以它作為變量求解該約束方程。這樣選出來的變量稱為左端變量或基本變量，其總數(shù)為m個(gè)。剩下的n-m個(gè)變量稱為右端變量或非基本變量。 這一類特殊的標(biāo)準(zhǔn)形式線性規(guī)劃問題稱為約束標(biāo)準(zhǔn)型線性規(guī)劃問題。 雖然約束標(biāo)準(zhǔn)型線性規(guī)劃問題非常特殊，但是對(duì)于理解線性規(guī)劃問題的單純形算法是非常重要的。 稍后將看到，任意一個(gè)線性規(guī)劃問題可以轉(zhuǎn)換為約束標(biāo)準(zhǔn)型線性規(guī)劃問題。,7,8,任何約束標(biāo)準(zhǔn)型線性規(guī)劃問

5、題，只要將所有非基本變量都置為0，從約束方程式中解出滿足約束的基本變量的值，可求得一個(gè)基本可行解。 單純形算法的基本思想就是從一個(gè)基本可行解出發(fā)，進(jìn)行一系列的基本可行解的變換。 每次變換將一個(gè)非基本變量與一個(gè)基本變量互調(diào)位置，且保持當(dāng)前的線性規(guī)劃問題是一個(gè)與原問題完全等價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)線性規(guī)劃問題。 基本可行解x=(7,0,0,12,0,10)。 單純形算法的第1步：選出使目標(biāo)函數(shù)增加的非基本變量作為入基變量。 查看單純形表的第1行（也稱之為z行）中標(biāo)有非基本變量的各列中的值。 選出使目標(biāo)函數(shù)增加的非基本變量作為入基變量。 z行中的正系數(shù)非基本變量都滿足要求。 在上面單純形表的z行中只有1列為正，即非

6、基本變量相應(yīng)的列，其值為3。 選取非基本變量x3作為入基變量。 單純形算法的第2步：選取離基變量。 在單純形表中考察由第1步選出的入基變量所相應(yīng)的列。 在一個(gè)基本變量變?yōu)樨?fù)值之前，入基變量可以增到多大。,9,如果入基變量所在的列與基本變量所在行交叉處的表元素為負(fù)數(shù)，那么該元素將不受任何限制，相應(yīng)的基本變量只會(huì)越變?cè)酱蟆?如果入基變量所在列的所有元素都是負(fù)值，則目標(biāo)函數(shù)無界，已經(jīng)得到了問題的無界解。 如果選出的列中有一個(gè)或多個(gè)元素為正數(shù)，要弄清是哪個(gè)數(shù)限制了入基變量值的增加。 受限的增加量可以用入基變量所在列的元素（稱為主元素）來除主元素所在行的“常數(shù)列”（最左邊的列）中元素而得到。所得到數(shù)值越

7、小說明受到限制越多。 應(yīng)該選取受到限制最多的基本變量作為離基變量，才能保證將入基變量與離基變量互調(diào)位置后，仍滿足約束條件。 上例中，惟一的一個(gè)值為正的z行元素是3，它所在列中有2個(gè)正元素，即4和3。 min12/4,10/3=4，應(yīng)該選取x4為離基變量； 入基變量x3取值為3。 單純形算法的第3步：轉(zhuǎn)軸變換。 轉(zhuǎn)軸變換的目的是將入基變量與離基變量互調(diào)位置。 給入基變量一個(gè)增值，使之成為基本變量； 修改離基變量，讓入基變量所在列中，離基變量所在行的元素值減為零，而使之成為非基本變量。,10,解離基變量所相應(yīng)的方程，將入基變量x3用離基變量x4表示為 再將其代入其他基本變量和所在的行中消去x3 ，

8、 代入目標(biāo)函數(shù)得到 形成新單純形表,11,單純形算法的第4步：轉(zhuǎn)回并重復(fù)第1步，進(jìn)一步改進(jìn)目標(biāo)函數(shù)值。 不斷重復(fù)上述過程，直到z行的所有非基本變量系數(shù)都變成負(fù)值為止。這表明目標(biāo)函數(shù)不可能再增加了。 在上面的單純形表中，惟一的值為正的z行元素是非基本變量x2相應(yīng)的列，其值為1/2。 因此，選取非基本變量x2作為入基變量。 它所在列中有惟一的正元素5/2，即基本變量x1相應(yīng)行的元素。 因此，選取x1為離基變量。 再經(jīng)步驟3的轉(zhuǎn)軸變換得到新單純形表。 新單純形表z行的所有非基本變量系數(shù)都變成負(fù)值，求解過程結(jié)束。 整個(gè)問題的解可以從最后一張單純形表的常數(shù)列中讀出。 目標(biāo)函數(shù)的最大值為11； 最優(yōu)解為：

9、x*=(0,4,5,0,0,11)。,12,單純形算法計(jì)算步驟,單純形算法的計(jì)算過程可以用單純形表的形式歸納為一系列基本矩陣運(yùn)算。 主要運(yùn)算為轉(zhuǎn)軸變換，該變換類似解線性方程組的高斯消去法中的消元變換。 單純形表： 為基本變量， 為非基本變量。 基本變量下標(biāo)集為B=1,2,m； 非基本變量下標(biāo)集為N=m+1,m+2,n； 當(dāng)前基本可行解為（ ）。,13,單純形算法計(jì)算步驟如下： 步驟1：選入基變量。 如果所有cj0，則當(dāng)前基本可行解為最優(yōu)解，計(jì)算結(jié)束。 否則取ce0相應(yīng)的非基本變量xe為入基變量。 步驟2：選離基變量。 對(duì)于步驟1選出的入基變量xe ，如果所有aie0 ，則最優(yōu)解無界，計(jì)算結(jié)束。

10、 否則計(jì)算 選取基本變量xk為離基變量。 新的基本變量下標(biāo)集為 新的非基本變量下標(biāo)集為 步驟3：作轉(zhuǎn)軸變換。 新單純形表中各元素變換如下。,14,（8.10） （8.11） （8.12） （8.13） 步驟4：轉(zhuǎn)步驟1。,15,將一般問題轉(zhuǎn)化為約束標(biāo)準(zhǔn)型,有幾種巧妙的辦法可以將一般的線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換為約束標(biāo)準(zhǔn)型線性規(guī)劃問題。 首先，需要把(8.2)或(8.4)形式的不等式約束轉(zhuǎn)換為等式約束。 具體做法是，引入松弛變量，利用松弛變量的非負(fù)性，將不等式轉(zhuǎn)化為等式。 松馳變量記為yi，共有m1+m3個(gè)。 在求解過程中，應(yīng)當(dāng)將松弛變量與原來變量同樣對(duì)待。求解結(jié)束后，拋棄松弛變量。 注意松弛變量前的符號(hào)

11、由相應(yīng)的原不等式的方向所確定。,16,為了進(jìn)一步構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)型約束，還需要引入m個(gè)人工變量，記為zi。 至此，原問題已經(jīng)變換為等價(jià)的約束標(biāo)準(zhǔn)型線性規(guī)劃問題。 對(duì)極小化線性規(guī)劃問題，只要將目標(biāo)函數(shù)乘以-1即可化為等價(jià)的極大化線性規(guī)劃問題。,17,一般線性規(guī)劃問題的2階段單純形算法,引入人工變量后的線性規(guī)劃問題與原問題并不等價(jià)，除非所有zi都是0 。 為了解決這個(gè)問題，在求解時(shí)必須分2個(gè)階段進(jìn)行。 第一階段用一個(gè)輔助目標(biāo)函數(shù) 替代原來的目標(biāo)函數(shù)。 這個(gè)線性規(guī)劃問題稱為原線性規(guī)劃問題所相應(yīng)的輔助線性規(guī)劃問題。 對(duì)輔助線性規(guī)劃問題用單純形算法求解。 如果原線性規(guī)劃問題有可行解，則輔助線性規(guī)劃問題就有最優(yōu)解

12、，且其最優(yōu)值為0，即所有zi都為0。 在輔助線性規(guī)劃問題最后的單純形表中，所有zi均為非基本變量。 劃掉所有zi相應(yīng)的列，剩下的就是只含xi和yi的約束標(biāo)準(zhǔn)型線性規(guī)劃問題了。 單純形算法第一階段的任務(wù)就是構(gòu)造一個(gè)初始基本可行解。 單純形算法第二階段的目標(biāo)是求解由第一階段導(dǎo)出的問題。 此時(shí)要用原來的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解。 如果在輔助線性規(guī)劃問題最后的單純形表中， zi不全為0，則原線性規(guī)劃問題沒有可行解，從而原線性規(guī)劃問題無解。,18,退化情形的處理,用單純形算法解一般的線性規(guī)劃問題時(shí)，可能會(huì)遇到退化的情形，即在迭代計(jì)算的某一步中，常數(shù)列中的某個(gè)元素的值變成0，使得相應(yīng)的基本變量取值為0。 如果選取

13、退化的基本變量為離基變量，則作轉(zhuǎn)軸變換前后的目標(biāo)函數(shù)值不變。在這種情況下，算法不能保證目標(biāo)函數(shù)值嚴(yán)格遞增，因此，可能出現(xiàn)無限循環(huán)。 考察下面的由Beale在1955年提出的退化問題的例子。 按照2階段單純形算法求解該問題將出現(xiàn)無限循環(huán)。,19,Bland提出避免循環(huán)的一個(gè)簡(jiǎn)單易行的方法。 Bland提出在單純形算法迭代中，按照下面的2個(gè)簡(jiǎn)單規(guī)則就可以避免循環(huán)。 規(guī)則1：設(shè) ，取xe為入基變量。 規(guī)則2：設(shè) 取xk為離基變量。 算法leave(col)已經(jīng)按照規(guī)則2選取離基變量。 選取入基變量的算法enter(objrow) 中只要加一個(gè)break語句即可。,20,倉庫租賃問題,某企業(yè)計(jì)劃為流通

14、的貨物租賃一批倉庫。必須保證在時(shí)間段i=1,2,n，有bi的倉庫容量可用?，F(xiàn)有若干倉庫源可供選擇。設(shè)cij是從時(shí)間段i到時(shí)間段j租用1個(gè)單位倉庫容量的價(jià)格，1ijn。應(yīng)如何安排倉庫租賃計(jì)劃才能滿足各時(shí)間段的倉庫需求，且使租賃費(fèi)用最少。 設(shè)租用時(shí)間段i到時(shí)間段j的倉庫容量為yij，1ijn。則租用倉庫的總費(fèi)用為： 在時(shí)間段k可用的倉庫容量為： 倉庫租賃問題可表述為下面的線性規(guī)劃問題：,21,設(shè) m=n(n+1)/2； （ ）=（ ）； （ ）=（ ）； 上述線性規(guī)劃問題可表述為n個(gè)約束和m個(gè)變量的標(biāo)準(zhǔn)線性規(guī)劃問題如下。,22,8.2 最大網(wǎng)絡(luò)流問題,1 基本概念和術(shù)語 （1） 網(wǎng)絡(luò) G是一個(gè)簡(jiǎn)單

15、有向圖，G=(V,E)，V=1，2，n。 在V中指定一個(gè)頂點(diǎn)s，稱為源和另一個(gè)頂點(diǎn)t，稱為匯。 有向圖G的每一條邊(v,w)E，對(duì)應(yīng)有一個(gè)值cap(v,w)0，稱為邊的容量。 這樣的有向圖G稱作一個(gè)網(wǎng)絡(luò)。 （2） 網(wǎng)絡(luò)流 網(wǎng)絡(luò)上的流是定義在網(wǎng)絡(luò)的邊集合E上的一個(gè)非負(fù)函數(shù)flow=flow(v,w)，并稱flow(v,w)為邊(v,w)上的流量。,23,（3） 可行流 滿足下述條件的流flow稱為可行流： (3.1)容量約束：對(duì)每一條邊(v,w)E，0flow(v,w)cap(v,w)。 (3.2)平衡約束： 對(duì)于中間頂點(diǎn)：流出量=流入量。 即對(duì)每個(gè)vV(vs,t)有：頂點(diǎn)v的流出量頂點(diǎn)v的流入

16、量=0，即 對(duì)于源s：s的流出量s的流入量=源的凈輸出量f，即 對(duì)于匯t：t的流入量t的流出量的=匯的凈輸入量f，即 式中f 稱為這個(gè)可行流的流量，即源的凈輸出量(或匯的凈輸入量)。 可行流總是存在的。 例如，讓所有邊的流量flow(v,w)=0，就得到一個(gè)其流量f=0的可行流(稱為0流)。,24,（4） 邊流 對(duì)于網(wǎng)絡(luò)G的一個(gè)給定的可行流flow，將網(wǎng)絡(luò)中滿足flow(v,w)=cap(v,w)的邊稱為飽和邊；flow(v,w)0的邊稱為非零流邊。當(dāng)邊(v,w)既不是一條零流邊也不是一條飽和邊時(shí)，稱為弱流邊。 （5） 最大流 最大流問題即求網(wǎng)絡(luò)G的一個(gè)可行流flow，使其流量f達(dá)到最大。即f

17、low滿足： 0flow(v,w)cap(v,w)，(v,w)E；且 （6） 流的費(fèi)用 在實(shí)際應(yīng)用中，與網(wǎng)絡(luò)流有關(guān)的問題，不僅涉及流量，而且還有費(fèi)用的因素。此時(shí)網(wǎng)絡(luò)的每一條邊(v,w)除了給定容量cap(v,w)外，還定義了一個(gè)單位流量費(fèi)用cost(v,w)。對(duì)于網(wǎng)絡(luò)中一個(gè)給定的流flow，其費(fèi)用定義為：,25,（7） 殘流網(wǎng)絡(luò) 對(duì)于給定的一個(gè)流網(wǎng)絡(luò)G及其上的一個(gè)流flow，網(wǎng)絡(luò)G關(guān)于流flow的殘流網(wǎng)絡(luò)G*與G有相同的頂點(diǎn)集V，而網(wǎng)絡(luò)G中的每一條邊對(duì)應(yīng)于G*中的1條邊或2條邊。 設(shè)(v,w)是G的一條邊。 當(dāng)flow(v,w)0時(shí)，（w,v）是G*中的一條邊，該邊的容量為cap*(w,v)=

18、flow(v,w)； 當(dāng)flow(v,w)cap(v,w)時(shí)，(v,w)是G*中的一條邊，該邊的容量為 cap*(v,w)=cap(v,w)-flow(v,w)。 按照殘流網(wǎng)絡(luò)的定義，當(dāng)原網(wǎng)絡(luò)G中的邊(v,w)是一條零流邊時(shí)，殘流網(wǎng)絡(luò)G*中有唯一的一條邊(v,w)與之對(duì)應(yīng)，且該邊的容量為cap(v,w)。 當(dāng)原網(wǎng)絡(luò)G中的邊(v,w)是一條飽和邊時(shí)，殘流網(wǎng)絡(luò)G*中有唯一的一條邊(w,v)與之對(duì)應(yīng)，且該邊的容量為cap(v,w)。 當(dāng)原網(wǎng)絡(luò)G中的邊(v,w)是一條弱流邊時(shí)，殘流網(wǎng)絡(luò)G*中有2條邊(v,w)和(w,v)與之對(duì)應(yīng)，這2條邊的容量分別為cap(v,w) -flow(v,w)和flow(v

19、,w)。 殘流網(wǎng)絡(luò)是設(shè)計(jì)與網(wǎng)絡(luò)流有關(guān)算法的重要工具。,26,增廣路算法,1 算法基本思想 設(shè)P是網(wǎng)絡(luò)G中聯(lián)結(jié)源s和匯t的一條路。定義路的方向是從s到t。 將路P上的邊分成2類： 一類邊的方向與路的方向一致，稱為向前邊。向前邊的全體記為P+。 另一類邊的方向與路的方向相反，稱為向后邊。向后邊的全體記為P-。 設(shè)flow是一個(gè)可行流，P是從s到t的一條路，若P滿足下列條件： （1）在P的所有向前邊(v,w)上，flow(v,w)0，即P-中的每一條邊都是非零流邊。 則稱P為關(guān)于可行流flow的一條可增廣路。 可增廣路是殘流網(wǎng)絡(luò)中一條容量大于0的路。 將具有上述特征的路P稱為可增廣路是因?yàn)榭梢酝ㄟ^修

20、正路P上所有邊流量flow(v,w)將當(dāng)前可行流改進(jìn)成一個(gè)流值更大的可行流。,27,增流的具體做法是： （1）不屬于可增廣路P的邊(v,w)上的流量保持不變； （2）可增廣路P上的所有邊(v,w)上的流量按下述規(guī)則變化： 在向前邊(v,w)上，flow(v,w)+d； 在向后邊(v,w)上，flow(v,w)-d。 按下面的公式修改當(dāng)前的流。 其中d稱為可增廣量，可按下述原則確定：d取得盡量大，又要使變化后的流仍為可行流。 按照這個(gè)原則，d既不能超過每條向前邊(v,w)的cap(v,w)-flow(v,w)，也不能超過每條向后邊(v,w)的flow(v,w)。 因此d應(yīng)該等于向前邊上的cap(

21、v,w)-flow(v,w)與向后邊上的flow(v,w)的最小值。也就是殘流網(wǎng)絡(luò)中P的最大容量。 增廣路定理：設(shè)flow是網(wǎng)絡(luò)G的一個(gè)可行流，如果不存在從s到t關(guān)于flow的可增廣路P，則flow是G的一個(gè)最大流。,28,2 算法描述 最大流的增廣路算法如下。該算法也常稱作Ford Fulkerson算法。,template class MAXFLOW const Graph ,29,3 算法的計(jì)算復(fù)雜性 增廣路算法的效率由下面2個(gè)因素所確定。 （1）整個(gè)算法找增廣路的次數(shù)； （2）每次找增廣路所需的時(shí)間。 給定的網(wǎng)絡(luò)中有n個(gè)頂點(diǎn)和m條邊，且每條邊的容量不超過M。 可以證明，在一般情況下，增

22、廣路算法中找增廣路的次數(shù)不超過nM次。 最短增廣路算法在最壞情況下找增廣路的次數(shù)不超過nm/2次。 找1次增廣路最多需要O(m)計(jì)算時(shí)間。 因此，在最壞情況下最短增廣路算法所需的計(jì)算時(shí)間為O(nm2) 。 當(dāng)給定的網(wǎng)絡(luò)是稀疏網(wǎng)絡(luò)，即m=O(n)時(shí)，最短增廣路算法所需的計(jì)算時(shí)間為O(n3)。 最大容量增廣路算法在最壞情況下找增廣路的次數(shù)不超過2mlogM次。 由于使用堆來存儲(chǔ)優(yōu)先隊(duì)列，找1次增廣路最多需要O(nlogn)計(jì)算時(shí)間。 因此，在最壞情況下最大容量增廣路算法所需的計(jì)算時(shí)間為 當(dāng)給定的網(wǎng)絡(luò)是稀疏網(wǎng)絡(luò)時(shí)，最大容量增廣路算法所需的計(jì)算時(shí)間為,30,預(yù)流推進(jìn)算法,1 算法基本思想 增廣路算法的

23、特點(diǎn)是找到增廣路后，立即沿增廣路對(duì)網(wǎng)絡(luò)流進(jìn)行增廣。 每一次增廣可能需要對(duì)最多n-1條邊進(jìn)行操作。 最壞情況下，每一次增廣需要O(n)計(jì)算時(shí)間。 有些情況下，這個(gè)代價(jià)是很高的。下面是一個(gè)極端的例子。,31,無論用哪種增廣路算法，都會(huì)找到10條增廣路，每條路長(zhǎng)為10，容量為1。 共需要10次增廣，每次增廣需要對(duì)10條邊進(jìn)行操作，每條邊增廣1個(gè)單位流量。 10條增廣路中的前9個(gè)頂點(diǎn)（前8條邊）是完全一樣的。 如果直接將前8條邊的流量增廣10個(gè)單位，而只對(duì)后面長(zhǎng)為2的不同的有向路單獨(dú)操作，就可以節(jié)省許多計(jì)算時(shí)間。 這就是預(yù)流推進(jìn)（preflow push )算法的基本思想。 預(yù)流推進(jìn)算法注重對(duì)每一條邊

24、的增流，而不必每次一定對(duì)一條增廣路增流。 通常將沿一條邊增流的運(yùn)算稱為一次推進(jìn)（push）。 在算法的推進(jìn)過程中，網(wǎng)絡(luò)流滿足容量約束，但一般不滿足流量平衡約束。 從每個(gè)頂點(diǎn)（除s和t外）流出的流量之和總是小于等于流入該頂點(diǎn)的流量之和。 這種流稱為預(yù)流（preflow）。這也是這類算法被稱為預(yù)流推進(jìn)算法的原因。 下面先給出預(yù)流的嚴(yán)格定義。 給定網(wǎng)絡(luò)G=(V,E)一個(gè)預(yù)流是定義在G的邊集E上的一個(gè)正邊流函數(shù)。 該函數(shù)滿足容量約束，即對(duì)G的每一條邊(v,w)E，滿足0flow(v,w)cap(v,w)。,32,G的每一中間頂點(diǎn)滿足流出量小于或等于流入量。 即對(duì)每個(gè)vV(vs,t)有 滿足條件 的中間

25、頂點(diǎn)v稱為活頂點(diǎn)。 量 稱為頂點(diǎn)v的存流。 按此定義，源s和匯t不可能成為活頂點(diǎn)。 對(duì)網(wǎng)絡(luò)G上的一個(gè)預(yù)流，如果存在活頂點(diǎn)，則說明該預(yù)流不是可行流。 預(yù)流推進(jìn)算法就是要選擇活頂點(diǎn)，并通過把一定的流量推進(jìn)到它的鄰點(diǎn)，盡可能地將當(dāng)前活頂點(diǎn)處正的存流減少為0，直至網(wǎng)絡(luò)中不再有活頂點(diǎn)，從而使預(yù)流成為可行流。 如果當(dāng)前活頂點(diǎn)有多個(gè)鄰點(diǎn)，那么首先推進(jìn)到哪個(gè)鄰點(diǎn)呢? 由于算法最后的目的是盡可能將流推進(jìn)到匯點(diǎn)t，因此算法應(yīng)尋求把流量推進(jìn)到它的鄰點(diǎn)中距頂點(diǎn)t最近的頂點(diǎn)。 預(yù)流推進(jìn)算法中用到一個(gè)高度函數(shù)h來確定推流邊。 對(duì)于給定網(wǎng)絡(luò)G=(V,E)的一個(gè)流，其高度函數(shù)h是定義在G的頂點(diǎn)集V上的一個(gè)非負(fù)函數(shù)。該函數(shù)滿足

26、： （1）對(duì)于G的殘流網(wǎng)絡(luò)中的每一條邊(u,v)有，h(u) h(v)+1； （2）h(t)=0。 G的殘流網(wǎng)絡(luò)中滿足h(u) = h(v)+1的邊(u,v)稱為G的可推流邊。,33,一般的預(yù)流推進(jìn)算法,一般的預(yù)流推進(jìn)算法的每次迭代是一次推進(jìn)運(yùn)算或者一次高度重新標(biāo)號(hào)運(yùn)算。 如果推進(jìn)的流量等于推流邊上的殘留容量，則稱為飽和推進(jìn)，否則稱為非飽和推進(jìn)。 算法終止時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中不含有活頂點(diǎn)。此時(shí)只有頂點(diǎn)s和t的存流非零。此時(shí)的預(yù)流實(shí)際上已經(jīng)是一個(gè)可行流。 算法預(yù)處理階段已經(jīng)令h(s)=n，而高度函數(shù)在計(jì)算過程中不會(huì)減少，因此算法在計(jì)算過程中可以保證網(wǎng)絡(luò)中不存在增廣路。 根據(jù)增廣路定理，算法終止時(shí)的可行流是

27、一個(gè)最大流。,步驟0：構(gòu)造初始預(yù)流flow： 對(duì)源頂點(diǎn)s的每條出邊(s,v)令flow(s,v)=cap(s,v)； 對(duì)其余邊(u,v)令flow(u,v)=0。構(gòu)造一有效的高度函數(shù)h。 步驟1：如果殘量網(wǎng)絡(luò)中不存在活頂點(diǎn)，則計(jì)算結(jié)束，已經(jīng)得到最大流； 否則轉(zhuǎn)步驟2。 步驟2：在網(wǎng)絡(luò)中選取活頂點(diǎn)v。 如果存在頂點(diǎn)v的出邊為可推流邊，則選取一條這樣的可推流邊，并沿此邊推流。 否則令h(v) = minh(w)+1 | (v,w)是當(dāng)前殘流網(wǎng)絡(luò)中的邊，并轉(zhuǎn)步驟1。,34,一般的預(yù)流推進(jìn)算法并未給出如何選擇活頂點(diǎn)和可推流邊。 不同的選擇策略導(dǎo)致不同的預(yù)流推進(jìn)算法。 在基于頂點(diǎn)的預(yù)流推進(jìn)算法中，選定一

28、個(gè)活頂點(diǎn)后，算法沿該活頂點(diǎn)的所有推流邊進(jìn)行推流運(yùn)算，直至無可推流邊或該頂點(diǎn)的存變成0時(shí)為止。 3 算法的計(jì)算復(fù)雜性 基于頂點(diǎn)的預(yù)流推進(jìn)算法用一個(gè)廣義隊(duì)列g(shù)Q存儲(chǔ)當(dāng)前活頂點(diǎn)集合。 廣義隊(duì)列可以是通常的FIFO隊(duì)列，LIFO棧，隨機(jī)化隊(duì)列，隨機(jī)化棧，或按各種優(yōu)先級(jí)定義的優(yōu)先隊(duì)列。 算法的效率與廣義優(yōu)先隊(duì)列的選擇密切相關(guān)。 如果選用通常的FIFO隊(duì)列，則在最壞情況下，預(yù)流推進(jìn)算法求最大流所需的計(jì)算時(shí)間為O(mn2)，其中m和n分別為圖G的邊數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)。 如果以頂點(diǎn)高度值為優(yōu)先級(jí)，選用優(yōu)先隊(duì)列實(shí)現(xiàn)預(yù)流推進(jìn)算法，則在最壞情況下，求最大流所需的計(jì)算時(shí)間為 這個(gè)算法也稱為最高頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)預(yù)流推進(jìn)算法。 近來已提

29、出許多其它預(yù)流推進(jìn)算法的實(shí)現(xiàn)策略，在最壞情況下算法所需的計(jì)算時(shí)間已接近O(mn)。,35,8.3 最小費(fèi)用流問題,1 網(wǎng)絡(luò)流的費(fèi)用 在實(shí)際應(yīng)用中，與網(wǎng)絡(luò)流有關(guān)的問題，不僅涉及流量，而且還有費(fèi)用的因素。 網(wǎng)絡(luò)的每一條邊(v,w)除了給定容量cap(v,w)外，還定義了一個(gè)單位流量費(fèi)用cost(v,w)。對(duì)于網(wǎng)絡(luò)中一個(gè)給定的流flow，其費(fèi)用定義為： 2 最小費(fèi)用流問題 給定網(wǎng)絡(luò)G，要求G的一個(gè)最大用流flow，使流的總費(fèi)用最小。 3 最小費(fèi)用可行流問題 給定多源多匯網(wǎng)絡(luò)G，要求G的一個(gè)可行流flow，使可行流的總費(fèi)用最小。 可行流問題等價(jià)于最大流問題。最小費(fèi)用可行流問題也等價(jià)于最小費(fèi)用流問題。,

30、36,消圈算法,1 算法基本思想 最小費(fèi)用流問題有關(guān)的算法中，仍然沿用殘流網(wǎng)絡(luò)的概念。 此時(shí)，殘流網(wǎng)絡(luò)中邊的費(fèi)用定義為： int costRto(int v) return from(v) ? -pcost : pcost; 當(dāng)殘流網(wǎng)絡(luò)中的邊是向前邊時(shí)，其費(fèi)用不變。 當(dāng)殘流網(wǎng)絡(luò)中的邊是向后邊時(shí)，其費(fèi)用為原費(fèi)用的負(fù)值。 由于殘流網(wǎng)絡(luò)中存在負(fù)費(fèi)用邊，因此殘流網(wǎng)絡(luò)中就不可避免地會(huì)產(chǎn)生負(fù)費(fèi)用圈。 在與最小費(fèi)用流問題有關(guān)的算法中，負(fù)費(fèi)用圈是一個(gè)重要概念。 最小費(fèi)用流問題的最優(yōu)性條件 網(wǎng)絡(luò)G的最大流flow是G的一個(gè)最小費(fèi)用流的充分且必要條件是flow所相應(yīng)的殘流網(wǎng)絡(luò)中沒有負(fù)費(fèi)用圈。,37,最小費(fèi)用流的消

31、圈算法,步驟0：用最大流算法構(gòu)造最大流flow。 步驟1：如果殘量網(wǎng)絡(luò)中不存在負(fù)費(fèi)用圈，則計(jì)算結(jié)束，已經(jīng)找到最小 費(fèi)用流；否則轉(zhuǎn)步驟2。 步驟2：沿找到的負(fù)費(fèi)用圈增流，并轉(zhuǎn)步驟1。,38,3 算法的計(jì)算復(fù)雜性 給定網(wǎng)絡(luò)中有n個(gè)頂點(diǎn)和m條邊，且每條邊的容量不超過M，每條邊的費(fèi)用不超過C。 最大流的費(fèi)用不超過mCM，而每次消去負(fù)費(fèi)用圈至少使得費(fèi)用下降1個(gè)單位，因此最多執(zhí)行mCM次找負(fù)費(fèi)用圈和增流運(yùn)算。 用Bellman-Ford算法找1次負(fù)費(fèi)用圈需要O(mn)計(jì)算時(shí)間。 最小費(fèi)用流的消圈算法在最壞情況下需要計(jì)算時(shí)間,39,最小費(fèi)用路算法,1 算法基本思想 消圈算法首先找到網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)最大流，然后通

32、過消去負(fù)費(fèi)用圈使費(fèi)用降低。 最小費(fèi)用路算法不用先找最大流，而是用類似于求最大流的增廣路算法的思想，不斷在殘流網(wǎng)絡(luò)中尋找從源s到匯t的最小費(fèi)用路，然后沿最小費(fèi)用路增流，直至找到最小費(fèi)用流。 殘流網(wǎng)絡(luò)中從源s到匯t的最小費(fèi)用路是殘流網(wǎng)絡(luò)中從s到t的以費(fèi)用為權(quán)的最短路。 殘流網(wǎng)絡(luò)中邊的費(fèi)用定義為： 當(dāng)殘流網(wǎng)絡(luò)中邊(v,w)是向前邊時(shí)，其費(fèi)用為cost(v,w)； 當(dāng)(v,w)是向后邊時(shí)，其費(fèi)用為-cost(w,v)。,40,最小費(fèi)用流的最小費(fèi)用路算法 步驟0：初始可行0流。 步驟1：如果不存在最小費(fèi)用路，則計(jì)算結(jié)束，已經(jīng)找到最小 費(fèi)用流；否則用最短路算法在殘流網(wǎng)絡(luò)中找從s到t的最小費(fèi)用 可增廣路，轉(zhuǎn)

33、步驟2。 步驟2：沿找到的最小費(fèi)用可增廣路增流，并轉(zhuǎn)步驟1。,41,3 算法的計(jì)算復(fù)雜性 算法的主要計(jì)算量在于連續(xù)尋找最小費(fèi)用路并增流。 給定網(wǎng)絡(luò)中有n個(gè)頂點(diǎn)和m條邊，且每條邊的容量不超過M，每條邊的費(fèi)用不超過C。 每次增流至少使得流值增加1個(gè)單位，因此最多執(zhí)行M次找最小費(fèi)用路算法。 如果找1次最小費(fèi)用路需要s(m,n,C)計(jì)算時(shí)間，則求最小費(fèi)用流的最小費(fèi)用路算法需要O(Ms(m,n,C)計(jì)算時(shí)間。,42,網(wǎng)絡(luò)單純形算法,1 算法基本思想 消圈算法的計(jì)算復(fù)雜度不僅與算法找到的負(fù)費(fèi)用圈有關(guān)，而且與每次找負(fù)費(fèi)用圈所需的時(shí)間有關(guān)。 網(wǎng)絡(luò)單純形算法是從解線性規(guī)劃問題的單純形算法演變而來，但從算法的運(yùn)行機(jī)制來看，可以將網(wǎng)絡(luò)單純形算法看作另一類消圈算法。 其基本思想是用一個(gè)可行支撐樹結(jié)構(gòu)來加速找負(fù)費(fèi)用圈的過程。 對(duì)于給定的網(wǎng)絡(luò)G和一個(gè)可行流，相應(yīng)的可行支撐樹定義為G的一棵包含所有弱流邊的支撐樹。 網(wǎng)絡(luò)單純形算法的第一步是構(gòu)造可行支撐樹。 從一個(gè)可行流出發(fā)，不斷找由弱流邊組成的圈，然后沿找到的弱流圈增流，消除所有弱流圈。 在剩下的所有弱流邊中