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1、第八講 幾個著名的不等式 在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里,不等式知識占有廣闊的天地,而一個個的重要不等式又把這片天地裝點(diǎn)得更加豐富多彩這些著名不等式是數(shù)學(xué)家們長期致力于不等式理論研究的重要成果,它們將成為我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的得力工具。下面擇要介紹一些著名的不等式1.柯西(Cauchy)不等式 定理:設(shè)則等號成立當(dāng)且僅當(dāng)。一般形式的證明作函數(shù) 此時,得證。向量形式的證明令 兩邊同時平方得:,得證??挛鞑坏仁降膽?yīng)用例1.1設(shè)解:由柯西不等式可知,原不等式可化為當(dāng)且僅當(dāng),故原不等式得證。例1.2設(shè)實(shí)數(shù)滿足的最大值與最小值。解等號當(dāng)且僅當(dāng)時,成立;即;故。2琴生(Jensen)不等式凸函數(shù)的定義設(shè)f(x)
2、是定義在區(qū)間D上的函數(shù),若對于任何x1、x2 D和實(shí)數(shù)(0,1),有fx1+(1-)x2f(x1)+(1-)f(x2),則稱f(x)是D上的凸函數(shù)(又稱D上的“上凸函數(shù)”)。若-f(x)是區(qū)間D上的凸函數(shù),則稱f(x)是D上的凹函數(shù)(又稱D上的“下凸函數(shù)”)。 凸函數(shù)的一個判別法則:如果函數(shù)是二次可微分的,則:是上凸函數(shù)的充分必要條件是是下凸函數(shù)的充分必要條件是;定義:設(shè)是定義在數(shù)集上的函數(shù),如果對于任意這里則稱是D上的凹函數(shù),若不等號反向,則稱是D上的凸函數(shù),等號當(dāng)且僅當(dāng)琴生(Jensen)不等式設(shè)是區(qū)間D上的嚴(yán)格的凹函數(shù),則對任意,當(dāng)且僅當(dāng),等號成立。特別地,另則有證明定理2.1 若f(x
3、)是凹函數(shù),則下面不等式成立:其中證明 當(dāng)n=2時,上式即為下凸函數(shù)定義,所以定理成立現(xiàn)假設(shè)k=n時定理成立當(dāng)k=n+1時,令這時所以所以定理對k=n+1也成立同理,對凸函數(shù)f(x)也有應(yīng)用例2.1利用Jensen不等式證明.證明:設(shè)上是凸函數(shù)。如果即 當(dāng)且僅當(dāng),等號成立。例2.2設(shè)內(nèi)任一點(diǎn),求證PAB,PBC,PCA中至少有一個小于或等于。3.排序不等式如則(順序和) (亂序和) (逆序和)的任一排列.當(dāng)且僅當(dāng)或時等號成立.證明設(shè),可見在i和j兩個位置上,將同序改為反序時,和值將減少或相等。由此可采取逐步調(diào)整法,獲證。其中等號成立,當(dāng)且僅當(dāng)或.例3.1已知不妨假設(shè)有次序即,那么由于,所以 由
4、排序不等式可知 得證.(亂序和) (倒序和)4.平均不等式設(shè)證明 設(shè)上是凸函數(shù)。如果即 當(dāng)且僅當(dāng),等號成立,對于這N個數(shù),應(yīng)用得所以成立,故證畢。 5.切比雪夫不等式由則證明由排序不等式有:將以上式子相加得:同除以,可得,得證.6.赫爾德(Holder)不等式設(shè)是2n個正實(shí)數(shù),則.證明 令那么(利用Jensen不等式)即,得證。特別地,令由Holder不等式導(dǎo)出柯西(Cauchy)不等式。Holder不等式還有另一種表示形式,令則柯西不等式7.冪平均不等式設(shè)是正實(shí)數(shù),則證明在Holder不等式里,令有令即這里又.幾何平均數(shù)歸于r次冪平均,等號成立,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?8.閔可夫斯基(Minkow
5、ski)不等式設(shè)均為實(shí)數(shù),則特別地,當(dāng),證明由Holder不等式可知:由上述不等式可得:其中,所以即上述不等式稱為明可夫斯基不等式當(dāng)k=2時,它的幾何意義是兩個向量和的模小于每個向量模的和【練習(xí)題】1設(shè)為正數(shù)且互不相等,求證.為證結(jié)論正確,只需證:而又因?yàn)樗灾恍枳C明又因?yàn)榛ゲ幌嗟龋实忍柍闪⒌臈l件無法滿足,所以原不等式成立。2.其外接圓的半徑為R,求證:證明:由三角形正弦定理得于是3.正整數(shù)n3,求證:提示:構(gòu)造R+上的輔助函數(shù),則又故只需證5. 求證:構(gòu)造上的輔助函數(shù) 函數(shù)在上是否是凸函數(shù),可看其二階導(dǎo)數(shù):所以,在上是上凸函數(shù),在ABC中,coscoscos的極大值問題可套用上述結(jié)論: =當(dāng),即為正三角形時,乘積有最大值為類似的問題:已知AIA1+A2+A3+A4+A5 =,求cosA1cosA2cosA3cosA4cosA5的最大值。也可由Jensen不等式順
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