八個(gè)著名的不等式

1、第八講 幾個(gè)著名的不等式 在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，不等式知識占有廣闊的天地，而一個(gè)個(gè)的重要不等式又把這片天地裝點(diǎn)得更加豐富多彩這些著名不等式是數(shù)學(xué)家們長期致力于不等式理論研究的重要成果，它們將成為我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的得力工具。下面擇要介紹一些著名的不等式1.柯西（Cauchy）不等式 定理：設(shè)則等號成立當(dāng)且僅當(dāng)。一般形式的證明作函數(shù) 此時(shí)，得證。向量形式的證明令 兩邊同時(shí)平方得：，得證。柯西不等式的應(yīng)用例1.1設(shè)解：由柯西不等式可知，原不等式可化為當(dāng)且僅當(dāng)，故原不等式得證。例1.2設(shè)實(shí)數(shù)滿足的最大值與最小值。解等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立；即；故。2琴生（Jensen）不等式凸函數(shù)的定義設(shè)f(x)

2、是定義在區(qū)間D上的函數(shù)，若對于任何x1、x2 D和實(shí)數(shù)（0，1），有fx1+（1-）x2f(x1)+（1-）f(x2)，則稱f(x)是D上的凸函數(shù)（又稱D上的“上凸函數(shù)”）。若-f(x)是區(qū)間D上的凸函數(shù)，則稱f(x)是D上的凹函數(shù)（又稱D上的“下凸函數(shù)”）。 凸函數(shù)的一個(gè)判別法則：如果函數(shù)是二次可微分的，則：是上凸函數(shù)的充分必要條件是是下凸函數(shù)的充分必要條件是；定義：設(shè)是定義在數(shù)集上的函數(shù)，如果對于任意這里則稱是D上的凹函數(shù)，若不等號反向，則稱是D上的凸函數(shù)，等號當(dāng)且僅當(dāng)琴生（Jensen）不等式設(shè)是區(qū)間D上的嚴(yán)格的凹函數(shù)，則對任意，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立。特別地，另則有證明定理2.1 若f(x

3、)是凹函數(shù)，則下面不等式成立：其中證明 當(dāng)n=2時(shí)，上式即為下凸函數(shù)定義，所以定理成立現(xiàn)假設(shè)k=n時(shí)定理成立當(dāng)k=n+1時(shí)，令這時(shí)所以所以定理對k=n+1也成立同理，對凸函數(shù)f(x)也有應(yīng)用例2.1利用Jensen不等式證明.證明：設(shè)上是凸函數(shù)。如果即 當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立。例2.2設(shè)內(nèi)任一點(diǎn)，求證PAB,PBC,PCA中至少有一個(gè)小于或等于。3.排序不等式如則（順序和） （亂序和） （逆序和）的任一排列.當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號成立.證明設(shè)，可見在i和j兩個(gè)位置上，將同序改為反序時(shí)，和值將減少或相等。由此可采取逐步調(diào)整法，獲證。其中等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)或.例3.1已知不妨假設(shè)有次序即，那么由于，所以 由

4、排序不等式可知 得證.（亂序和） （倒序和）4.平均不等式設(shè)證明 設(shè)上是凸函數(shù)。如果即 當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立,對于這N個(gè)數(shù)，應(yīng)用得所以成立，故證畢。 5.切比雪夫不等式由則證明由排序不等式有：將以上式子相加得:同除以,可得,得證.6.赫爾德（Holder）不等式設(shè)是2n個(gè)正實(shí)數(shù)，則.證明 令那么（利用Jensen不等式）即,得證。特別地，令由Holder不等式導(dǎo)出柯西（Cauchy）不等式。Holder不等式還有另一種表示形式，令則柯西不等式7.冪平均不等式設(shè)是正實(shí)數(shù)，則證明在Holder不等式里，令有令即這里又.幾何平均數(shù)歸于r次冪平均，等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?8.閔可夫斯基（Minkow

5、ski）不等式設(shè)均為實(shí)數(shù)，則特別地，當(dāng)，證明由Holder不等式可知：由上述不等式可得：其中，所以即上述不等式稱為明可夫斯基不等式當(dāng)k=2時(shí)，它的幾何意義是兩個(gè)向量和的模小于每個(gè)向量模的和【練習(xí)題】1設(shè)為正數(shù)且互不相等，求證.為證結(jié)論正確，只需證:而又因?yàn)樗灾恍枳C明又因?yàn)榛ゲ幌嗟龋实忍柍闪⒌臈l件無法滿足，所以原不等式成立。2.其外接圓的半徑為R，求證：證明：由三角形正弦定理得于是3.正整數(shù)n3,求證：提示：構(gòu)造R+上的輔助函數(shù)，則又故只需證5. 求證：構(gòu)造上的輔助函數(shù) 函數(shù)在上是否是凸函數(shù)，可看其二階導(dǎo)數(shù)：所以，在上是上凸函數(shù)，在ABC中，coscoscos的極大值問題可套用上述結(jié)論： =當(dāng)，即為正三角形時(shí)，乘積有最大值為類似的問題：已知AIA1+A2+A3+A4+A5 =,求cosA1cosA2cosA3cosA4cosA5的最大值。也可由Jensen不等式順