第2章 彈性力學(xué)基礎(chǔ)

1、第2章 彈性力學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容提要：本章主要介紹彈性力學(xué)的基本概念，主要包括應(yīng)力、應(yīng)變的定義和性質(zhì)，應(yīng)力平衡方程、幾何方程和物理方程，并對(duì)彈性力學(xué)問(wèn)題的基本求解方法進(jìn)行簡(jiǎn)介。為了便于對(duì)機(jī)械結(jié)構(gòu)有限元計(jì)算結(jié)果能夠很好地分析評(píng)價(jià)，本章還介紹了結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與失效的基本理論。有關(guān)能量法的簡(jiǎn)單知識(shí)是后續(xù)有限元法的重要理論基礎(chǔ)。教學(xué)要求：學(xué)習(xí)掌握應(yīng)力、應(yīng)變基本概念和主要性質(zhì)，掌握彈性力學(xué)基本方程、應(yīng)力邊界條件、協(xié)調(diào)方程等，了解彈性力學(xué)平面問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)法，掌握結(jié)構(gòu)強(qiáng)度失效準(zhǔn)則中的等效應(yīng)力理論等內(nèi)容，了解能量法的基本思想。2.1 引言彈性力學(xué)（Elastic Theory）作為一門(mén)基礎(chǔ)技術(shù)學(xué)科，是近代工程技術(shù)的必要基

2、礎(chǔ)之一。在現(xiàn)代工程結(jié)構(gòu)分析，特別是航空、航天、機(jī)械、土建和水利工程等大型結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)中，廣泛應(yīng)用著彈性力學(xué)的基本公式和結(jié)論。彈性力學(xué)與材料力學(xué)(Foundamental Strengths of Materials)在研究?jī)?nèi)容和基本任務(wù)方面，是基本相同的，研究對(duì)象也是近似的，但是二者的研究方法卻有較大的差別。彈性力學(xué)和材料力學(xué)研究問(wèn)題的方法都是從靜力學(xué)、幾何學(xué)、物理學(xué)三方面入手的。但是材料力學(xué)的研究對(duì)象是桿狀構(gòu)件，即長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于寬度和厚度的構(gòu)件，分析這類(lèi)構(gòu)件在拉壓、剪切、彎曲、扭轉(zhuǎn)等幾類(lèi)典型外載荷作用下的應(yīng)力和位移。在材料力學(xué)中，除了從靜力學(xué)、幾何學(xué)、物理學(xué)三方面進(jìn)行分析外，為了簡(jiǎn)化推導(dǎo)，還引用了

3、一些關(guān)于構(gòu)件的形變狀態(tài)或應(yīng)力分布的假定（如平面截面的假定、拉應(yīng)力在截面上均勻分布的假定等等）。桿件橫截面的變形可以根據(jù)平面假設(shè)確定，因此綜合分析的結(jié)果，即問(wèn)題求解的基本方程，是常微分方程。對(duì)于常微分方程，數(shù)學(xué)求解是沒(méi)有困難的。而在彈性力學(xué)里研究桿狀構(gòu)件一般都不必引用那些假定，所以其解答要比材料力學(xué)里得出的解答精確得多。當(dāng)然，彈性力學(xué)在研究板殼等一些復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，也引用了一些有關(guān)形變狀態(tài)或應(yīng)力分布的假定來(lái)簡(jiǎn)化其數(shù)學(xué)推導(dǎo)。但是由于彈性力學(xué)除研究桿狀構(gòu)件之外，還研究板、殼、塊，甚至是三維物體等，因此問(wèn)題分析只能從微分單元體入手，以分析單元體的平衡、變形和應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，因此問(wèn)題綜合分析的結(jié)果是滿足一定邊

4、界條件的偏微分方程。也就是說(shuō)，問(wèn)題的基本方程是偏微分方程的邊值問(wèn)題。從理論上講，彈性力學(xué)能解決一切彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變問(wèn)題。但在工程實(shí)際中，一般構(gòu)件的形狀、受力狀態(tài)、邊界條件都比較復(fù)雜，所以除少數(shù)的典型問(wèn)題外，對(duì)大多數(shù)工程實(shí)際問(wèn)題，往往都無(wú)法用彈性力學(xué)的基本方程直接進(jìn)行解析求解，有些只能通過(guò)數(shù)值計(jì)算方法來(lái)求得其近似解。彈性力學(xué)的研究方法決定了它是一門(mén)基礎(chǔ)理論課程，把彈性力學(xué)的理論直接用于分析工程問(wèn)題具有很大的困難。原因主要在于它的基本方程偏微分方程邊值問(wèn)題求解的困難。由于經(jīng)典的解析方法很難用于工程構(gòu)件分析，因此探討近似解法是彈性力學(xué)發(fā)展中的特色。近似求解方法，如差分法和變分法等，特別是隨著計(jì)算機(jī)

5、的廣泛應(yīng)用而發(fā)展的有限單元法，為彈性力學(xué)的發(fā)展和解決工程實(shí)際問(wèn)題開(kāi)辟了廣闊的前景。本章主要介紹彈性力學(xué)基本概念、用解析法求解簡(jiǎn)單彈性力學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)知識(shí)，主要包括彈性力學(xué)基本方程、邊界條件表達(dá)式等。掌握這些彈性力學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)對(duì)后續(xù)有限單元法的學(xué)習(xí)非常重要。此外，為了更好地理解機(jī)械結(jié)構(gòu)有限元分析的基本原理以及將來(lái)對(duì)分析結(jié)果更好地評(píng)價(jià)和理解，還介紹了機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度失效準(zhǔn)則、結(jié)構(gòu)分析中的能量法等方面的基本內(nèi)容。作為固體力學(xué)(Solid Mechanics)學(xué)科的一個(gè)分支，彈性力學(xué)的基本任務(wù)是針對(duì)各種具體情況，確定彈性體內(nèi)應(yīng)力與應(yīng)變的分布規(guī)律。也就是說(shuō)，當(dāng)已知彈性體的形狀、物理性質(zhì)、受力情況和邊界條件時(shí)，

6、確定其任一點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)和位移。彈性力學(xué)的研究對(duì)象是理想彈性體，其應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系為線性關(guān)系，即符合虎克定律。所謂理想彈性體，是指符合下述假設(shè)的物體。 連續(xù)性假定。也就是假定整個(gè)物體的體積都被組成該物體的介質(zhì)所填滿，不存在任何空隙。盡管一切物體都是由微小粒子組成的，并不能符合這一假定，但是只要粒子的尺寸以及相鄰粒子之間的距離都比物體的尺寸小得很多，則對(duì)于物體的連續(xù)性假定，就不會(huì)引起顯著的誤差。有了這一假定，物體內(nèi)的一些物理量（如應(yīng)力、應(yīng)變、位移等等）才可能是連續(xù)的，因而才可能用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來(lái)表示它們的變化規(guī)律。 完全彈性假定。這是假定物體服從虎克定律，即應(yīng)變與引起該應(yīng)變的應(yīng)力成正比。

7、反映這一比例關(guān)系的常數(shù)，就是所謂的彈性常數(shù)。彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或應(yīng)變的大小和符號(hào)而變。由材料力學(xué)已知：脆性材料的物體，在應(yīng)力未超過(guò)比例極限前，可以認(rèn)為是近似的完全彈性體；而韌性材料的物體，在應(yīng)力未達(dá)到屈服極限前，也可以認(rèn)為是近似的完全彈性體。這個(gè)假定，使得物體在任意瞬時(shí)的應(yīng)變將完全取決于該瞬時(shí)物體所受到的外力或溫度變化等因素，而與加載的歷史和加載順序無(wú)關(guān)。 均勻性假定。也就是假定整個(gè)物體是由同一材料組成的。這樣，整個(gè)物體的所有各部分才具有相同的彈性，因而物體的彈性常數(shù)才不會(huì)隨位置坐標(biāo)而變，可以取出該物體的任意一小部分來(lái)加以分析，然后把分析所得的結(jié)果應(yīng)用于整個(gè)物體。如果物體是由多種材料組成的，但是

8、只要每一種材料的顆粒遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體而且在物體內(nèi)是均勻分布的，那么整個(gè)物體也就可以假定為均勻的。 各向同性假定。這是假定物體的彈性在所有各方向上都是相同的。也就是說(shuō)，物體的彈性常數(shù)不隨方向而變化。對(duì)于非晶體材料，是完全符合這一假定的。而由木材、竹材等作成的構(gòu)件，就不能當(dāng)作各向同性體來(lái)研究。至于鋼材構(gòu)件，雖然其內(nèi)部含有各向異性的晶體，但由于晶體非常微小，并且是隨機(jī)排列的，所以從統(tǒng)計(jì)平均意義上講，鋼材構(gòu)件的彈性基本上是各向同性的。（5）小位移和小變形的假定。在彈性力學(xué)中，所研究的問(wèn)題主要是理想彈性體的線性問(wèn)題。為了保證研究的問(wèn)題限定在線性范圍，還需要作出小位移和小變形的假定。這就是說(shuō)，要假定物體受力以

9、后，物體所有各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體原來(lái)的尺寸，并且其應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都小于1。所以，在建立變形體的平衡方程時(shí)，可以用物體變形前的尺寸來(lái)代替變形后的尺寸，而不致引起顯著的誤差，并且，在考察物體的變形及位移時(shí)，對(duì)于轉(zhuǎn)角和應(yīng)變的二次冪或其乘積都可以略去不計(jì)。對(duì)于工程實(shí)際中的問(wèn)題，如果不能滿足這一假定的要求，一般需要采用其他理論來(lái)進(jìn)行分析求解（如大變形理論等）。上述假定都是為了研究問(wèn)題的方便，根據(jù)研究對(duì)象的性質(zhì)、結(jié)合求解問(wèn)題的范圍而作出的。這樣可以略去一些暫不考慮的因素，使得問(wèn)題的求解成為可能。彈性力學(xué)問(wèn)題的求解方法按求解方式上可以分為兩類(lèi)：解析方法和數(shù)值算法。解析方法是通過(guò)彈性力學(xué)的基本方程和邊界條件、

10、用純數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行求解。但是，在實(shí)際問(wèn)題中能夠用解析方法進(jìn)行精確求解的彈性力學(xué)問(wèn)題只是很少一部分?，F(xiàn)在工程實(shí)際中廣泛采用的是數(shù)值的方法，如有限單元法。2.2 彈性力學(xué)的幾個(gè)基本概念2.2.1 外力與內(nèi)力1 外力(Load)作用于物體的外力通常可分為兩類(lèi)，即面力(Surface Force)和體力(Body Force)。面力是指分布在物體表面上的外力，包括分布力(Distributed Force)和集中力(Concentrated Force)，如壓力容器所受到的內(nèi)壓、水壩所受的靜水壓力、物體和物體之間的接觸壓力等等。通常情況下，面力是物體表面各點(diǎn)的位置坐標(biāo)的函數(shù)。在物體表面P點(diǎn)處取一微小面

11、積DS，假設(shè)其上作用有表面力DF，則P點(diǎn)所受的表面力定義為 (2.1)體力(Body Force)一般是指分布在物體體積內(nèi)的外力，作用于彈性體內(nèi)每一個(gè)體積單元。通常與物體的質(zhì)量成正比、且是各質(zhì)點(diǎn)位置的函數(shù)，如重力、慣性力、磁場(chǎng)力等。作用在物體內(nèi)P點(diǎn)上的體力，可按面力定義方式進(jìn)行定義，即在P點(diǎn)處取一微小體積DV，假定其上作用有體力DR，則P點(diǎn)所受的體力可定義為 (2.2)2 內(nèi)力(Internal force)物體在外力作用下，其內(nèi)部將產(chǎn)生抵抗變形的“附加內(nèi)力”，簡(jiǎn)稱內(nèi)力。若假想用一經(jīng)過(guò)物體內(nèi)P點(diǎn)的截面mn將物體分為兩部分A和B，并移去其中的一部分B。我們知道，當(dāng)一個(gè)物體在外力作用下處于平衡狀態(tài)

12、時(shí)，物體各部分都應(yīng)保持平衡。顯然，在截面mn上必定有某種力存在，這種力就稱為內(nèi)力，實(shí)際上也就是物體內(nèi)部的相互作用力。如圖2-1所示，在截面mn上應(yīng)該有移去的虛線部分B對(duì)A部分作用的內(nèi)力。2.2.2 應(yīng)力的概念圖2.1 物體內(nèi)任意點(diǎn)處的應(yīng)力所謂一點(diǎn)處某個(gè)截面上的應(yīng)力(Stress)就是指該截面上的“附加內(nèi)力”，即內(nèi)力在該點(diǎn)處的集度。如圖2.1所示，一點(diǎn)P處在截面mn上，在該點(diǎn)處取一微小面積DA，假設(shè)作用于DA上的內(nèi)力為DG，則 (2.3)T就是P點(diǎn)處的應(yīng)力。通常將應(yīng)力沿截面DA的法向和切向進(jìn)行分解，相應(yīng)的分量就是正應(yīng)力 和剪應(yīng)力。它們滿足 （2.4） 在物體內(nèi)的同一點(diǎn)處，不同方向截面上的應(yīng)力(正

13、應(yīng)力和剪應(yīng)力)是不同的。只有同時(shí)給出過(guò)該點(diǎn)截面的外法向方向，才能確定物體內(nèi)該點(diǎn)處此截面上應(yīng)力的大小和方向。圖2.2 微小正方體元素的應(yīng)力狀態(tài)在彈性力學(xué)中，為了描述彈性體內(nèi)任一點(diǎn)P的應(yīng)力狀態(tài)，可能從彈性體的連續(xù)性假定出發(fā)，整個(gè)彈性體可以看作是由無(wú)數(shù)個(gè)微小正方體元素組成的。在該點(diǎn)處切取一微小正方體，正方體的棱線與坐標(biāo)軸平行，如圖2.2所示。正方體各面上的應(yīng)力可按坐標(biāo)軸方向分解為一個(gè)正應(yīng)力和兩個(gè)剪應(yīng)力，即每個(gè)面上的應(yīng)力都用三個(gè)應(yīng)力分量來(lái)表示。由于物體內(nèi)各點(diǎn)的內(nèi)力都是平衡的，作用在正方體相對(duì)兩面上的應(yīng)力分量大小相等、方向相反。這樣，用9個(gè)應(yīng)力分量寫(xiě)成矩陣的形式來(lái)表示正方體各面上的應(yīng)力，即 (2.5)其

14、中，正應(yīng)力，下標(biāo)表示作用面和作用方向；是剪應(yīng)力，第一下標(biāo)表示與截面外法線方向相一致的坐標(biāo)軸，第二下標(biāo)表示剪應(yīng)力的方向。應(yīng)力分量的符號(hào)規(guī)定：若應(yīng)力作用面的外法線方向與坐標(biāo)軸的正方向一致，則該面上的應(yīng)力分量就以沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。相反，如果應(yīng)力作用面的外法線是指向坐標(biāo)軸的負(fù)方向，那么該面上的應(yīng)力分量就以沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸的正方向?yàn)樨?fù)。根據(jù)材料力學(xué)的基本概念（下一節(jié)中也將進(jìn)一步證明），從圖2.2中微小正方體的平衡條件（力矩平衡方程）出發(fā)，作用在正方體各面上的剪應(yīng)力存在著互等關(guān)系：作用在兩個(gè)互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應(yīng)力是互等的，不僅大小相等，而且正負(fù)號(hào)

15、也相同，即 ， (2.6)這就是所謂的剪應(yīng)力互等定理。2.2.3 應(yīng)變的概念物體在外力作用下，其形狀要發(fā)生改變，變形指的就是這種物體形狀的變化。這種形狀的改變不管多么復(fù)雜，對(duì)于其中的某一個(gè)單元體來(lái)說(shuō)，只包括棱邊長(zhǎng)度的改變和各棱邊的夾角的改變兩類(lèi)。因此，為了考察物體內(nèi)某一點(diǎn)處的應(yīng)變(Strain)，同樣可在該點(diǎn)處從物體內(nèi)截取一單元體，研究其棱邊長(zhǎng)度和各棱邊夾角之間的變化情況。對(duì)于微分單元體的變形，將分為兩部分討論：棱邊長(zhǎng)度的伸長(zhǎng)（或縮短）量，即正應(yīng)變(或線應(yīng)變, Linear Strain)，以及兩棱邊間夾角的改變量（用弧度表示），即剪應(yīng)變（或角應(yīng)變, Shear Strain）。圖2.3是對(duì)這

16、兩種應(yīng)變的幾何描述。在每個(gè)圖例中單元體的初始位置和變形后的位置分別由實(shí)線和虛線表示。物體變形時(shí)，物體內(nèi)一點(diǎn)處產(chǎn)生的應(yīng)變，與該點(diǎn)的相對(duì)位移有關(guān)。圖2.3表示在變形前后的單元體在x y面上的投影，圖中表示了單元體的應(yīng)變和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)與位移導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。在小應(yīng)變情況下（位移導(dǎo)數(shù)遠(yuǎn)小于1的情況），位移分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系（變形幾何方程）。在圖2.3(a)中，單元體在x方向上有一個(gè)的伸長(zhǎng)量。微分單元體棱邊的相對(duì)變化量就是正應(yīng)變。假設(shè)表示x 軸方向的正應(yīng)變，則 (2.7)(a) (b) (c)圖 2.3 單元體應(yīng)變的幾何描述 (a)x方向的線應(yīng)變, (b)y方向的線應(yīng)變, (c)xy面內(nèi)的剪應(yīng)變相應(yīng)地，如圖

17、2.3(b)所示為y軸方向的正應(yīng)變?yōu)?(2.8)圖2.3(c)所示為x-y 面內(nèi)的剪應(yīng)變。剪應(yīng)變定義為微分單元體棱邊之間夾角的變化。圖中總的角變化量為。假設(shè)和都非常小，于是可以認(rèn)為+ =。根據(jù)圖2.3(c) (2.9)因此，剪應(yīng)變 為 (2.10)由于正向剪應(yīng)變和分別引起微分單元棱邊夾角減小，所以，在彈性力學(xué)中把相對(duì)初始角度的減小量視為為正向剪應(yīng)變。, 和分別代表了一點(diǎn)上x(chóng)，y，z軸方向的線應(yīng)變。,和則分別代表了xy, yz 和 xz面上的剪應(yīng)變。與直角應(yīng)力分量類(lèi)似，上邊的六個(gè)應(yīng)變分量也被稱為直角應(yīng)變分量。這六個(gè)應(yīng)變分量還可以以矩陣形式表示，即 (2.11)線應(yīng)變和剪應(yīng)變都是無(wú)量綱的量，的單位

18、是rad(弧度)。除了上面介紹的兩種應(yīng)變，另外還有一種應(yīng)變體積應(yīng)變(Volume Starin)。體積應(yīng)變是指微分單元體積的相對(duì)變化。2.3 應(yīng)力分析應(yīng)力是彈性力學(xué)理論中的一個(gè)重要概念。應(yīng)力分析主要包括：一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，主應(yīng)力（Principle stress）, 柯西應(yīng)力公式（Cauchys stress formula），利用該公式確定應(yīng)力邊界條件, 建立應(yīng)力分量與體積力分量之間的關(guān)系式，即應(yīng)力平衡微分方程(Differential equations of equilibrium of stresses)。 2.3.1一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一般地，彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)都是不同的。假定已知彈性體

19、內(nèi)任一點(diǎn)P的六個(gè)應(yīng)力分量、 、 、，按下述方法可以求得經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的任一斜面上的應(yīng)力。如圖2.4所示，在P點(diǎn)附近取一平面ABC與給定斜面平行，且該平面與經(jīng)過(guò)P點(diǎn)而垂直于坐標(biāo)軸的三個(gè)平面形成一個(gè)微小四面體PABC。當(dāng)平面ABC無(wú)限接近于P點(diǎn)時(shí)，平面ABC上的應(yīng)力就無(wú)限接近于斜面上的應(yīng)力。圖2.4 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)設(shè)平面ABC的外法線為N，而N的方向余弦為cos (N, x)= nx，cos (N, y)= ny，cos (N, z)= nz （2.12）可見(jiàn)，如果把平面ABC的外法線N作為變換后的任一坐標(biāo)軸，則上面方向余弦對(duì)應(yīng)變換矩陣的一行。用應(yīng)力變換的方法可快速求得平面ABC上的正應(yīng)力。 （2.13

20、）采用靜力平衡推導(dǎo)的方法求平面ABC上的全應(yīng)力Tn、正應(yīng)力和剪應(yīng)力。若三角形ABC的面積為DA，則三角形PCA、PBC、PAB的面積分別為nxDA、nyDA、nzDA 。令Txn 、Tyn 、Tzn 分別為三角形ABC上的全應(yīng)力在坐標(biāo)軸上的投影。由平衡條件 SFx = 0，得 （2.14）這里沒(méi)有考慮體積力，因?yàn)楫?dāng)平面ABC趨近于P點(diǎn)時(shí)，四面體的體積與各面的表面積相比是高階的微量，可以忽略不計(jì)。同理，由平衡條件 SFy = 0和 SFz = 0得到另外兩個(gè)相似的方程，整理得 （2.15）以上方程稱為柯西應(yīng)力公式（Cauchys stress formula）, 它描述了彈性體內(nèi)任一點(diǎn)P的6個(gè)應(yīng)

21、力分量與通過(guò)P點(diǎn)任一平面上的應(yīng)力之間的關(guān)系。由上述公式容易求出平面ABC上的全應(yīng)力Tn 為 (2.16)平面ABC上的正應(yīng)力則可通過(guò)投影求得 (2.17)且有 (2.18)可見(jiàn)，在彈性體的任意一點(diǎn)處，只要已知該點(diǎn)的六個(gè)應(yīng)力分量，就可求得過(guò)該點(diǎn)任一斜面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力，也就是說(shuō)六個(gè)應(yīng)力分量完全確定了一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 。2.3.2主應(yīng)力可以證明，在過(guò)一點(diǎn)的所有截面中，存在著三個(gè)互相垂直的特殊截面，在這三個(gè)截面上沒(méi)有剪應(yīng)力，而僅有正應(yīng)力。這種沒(méi)有剪應(yīng)力存在的截面稱為過(guò)該點(diǎn)的主平面，主平面上的正應(yīng)力稱為該點(diǎn)的主應(yīng)力，主應(yīng)力的方向總是與主平面的法線方向平行，稱為該點(diǎn)應(yīng)力的主方向。 設(shè)一主平面方向余弦為n

22、x，ny，nz，因?yàn)樵谥髌矫嫔蠜](méi)有剪應(yīng)力，可用代表該主平面上的全應(yīng)力，則全應(yīng)力在x,y,z軸的投影可表示為 （2.19）由柯西應(yīng)力公式得 （2.20）整理得 （2.21）因?yàn)?，即不全為0。上述方程組中有非平凡解的條件是其系數(shù)矩陣的行列為0，即 （2.22）將此行列式展開(kāi)，得到一個(gè)關(guān)于應(yīng)力的一元三次方程 （2.23）可以證明，該方程有三個(gè)實(shí)根s 1，s 2，s 3，這三個(gè)根就是P點(diǎn)處的三個(gè)主應(yīng)力。將主應(yīng)力分別代入（2.20），并結(jié)合（2.21）式便可分別求出各主應(yīng)力方向的方向余弦。還可以證明，三個(gè)主方向是相互垂直的。方程式(2.23)中，的系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)可表示為 （2.24） (2.25) (

23、2.26)定義為第一，第二，第三應(yīng)力不變量。方程(2.23)可表示為 (2.27)2.3.3平衡微分方程一般情況下物體內(nèi)不同的點(diǎn)將有不同的應(yīng)力。這就是說(shuō)，各點(diǎn)的應(yīng)力分量都是點(diǎn)的位置坐標(biāo)（x, y, z）的函數(shù)，而且在一般情況下，都是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)。當(dāng)彈性體在外力作用下保持平衡時(shí)，可根據(jù)平衡條件來(lái)導(dǎo)出應(yīng)力分量與體積力分量之間的關(guān)系式，即平衡微分方程。圖2.5 微小單元體的應(yīng)力平衡假定有一物體在外力作用下而處于平衡狀態(tài)。由于整個(gè)物體處于平衡，其內(nèi)各部分也都處于平衡狀態(tài)。為導(dǎo)出平衡微分方程，我們從中取出一微小正六面體進(jìn)行研究，其棱邊尺寸分別為dx、dy、dz，如圖2-5所示。為清楚起見(jiàn)，圖中僅畫(huà)

24、出了在x方向有投影的應(yīng)力分量。需要注意的是，兩對(duì)應(yīng)面上的應(yīng)力分量，由于其坐標(biāo)位置不同，而存在一個(gè)應(yīng)力增量。例如，在AADD面上作用有正應(yīng)力sx，那么由于BBCC面與AADD面在x坐標(biāo)方向上相差了dx，由泰勒級(jí)數(shù)，并舍棄高階項(xiàng)，可導(dǎo)出BBCC面上的正應(yīng)力應(yīng)表示為。其余情況可類(lèi)推。由于所取的六面體是微小的，其各面上所受的應(yīng)力可以認(rèn)為是均勻分布的，且作用在各面的中心。另外，若微小六面體上除應(yīng)力之外，還作用有體積力，那么也假定體積力是均勻分布的，且作用在微元體的體積中心。這樣，在x方向上，根據(jù)平衡方程SFx = 0，有 （2.28）整理得 （2.29）同理可得y方向和z方向上的平衡微分方程。即 （2.

25、30）上述這組微分關(guān)系是彈性力學(xué)中的基本關(guān)系之一。凡處于平衡狀態(tài)的物體，其應(yīng)力分量函數(shù)都應(yīng)滿足這個(gè)方程。再列出三個(gè)力矩方程。在將各面上的應(yīng)力分量全部寫(xiě)出后，首先列出得 （2.31）展開(kāi)這個(gè)式子，略去四階微量，整理后得到用同樣的方法列出另外兩個(gè)力矩平衡方程，。這樣將得到任意一點(diǎn)處應(yīng)力分量的另一組關(guān)系式， （2.32）這個(gè)結(jié)果表明任意一點(diǎn)處的六個(gè)剪應(yīng)力分量成對(duì)相等，即所謂的剪應(yīng)力互等定理。由此可知，前節(jié)所說(shuō)的一點(diǎn)的九個(gè)應(yīng)力分量中，獨(dú)立的只有六個(gè)。對(duì)于處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物體，只要加上慣性力，也可用列平衡方程的方法來(lái)得到運(yùn)動(dòng)方程。這時(shí)，所得方程的形式仍如式（2.30）一樣，但在等式左邊的最后一項(xiàng)中，應(yīng)加有

26、單位體積內(nèi)的慣性力在響應(yīng)方向的分量。例如，設(shè)u(x,y,z,t)，v(x,y,z,t)，w(x,y,z,t)分別表示一點(diǎn)在x，y，z方向的位移分量，它們都是點(diǎn)的坐標(biāo)及時(shí)間的函數(shù)。再用表示物體的密度（單位體積的質(zhì)量）。則對(duì)圖2.5的單元體，在三個(gè)坐標(biāo)方向上應(yīng)分別加上慣性力，。當(dāng)考慮到這些慣性力（屬于體積力）來(lái)列平衡方程時(shí)，得到 （2.33）2.3.4邊界條件若物體在外力的作用下處于平衡狀態(tài)，那么物體內(nèi)部各點(diǎn)的應(yīng)力分量必須滿足前述的平衡微分方程（2.30）式。該方程是基于各點(diǎn)的應(yīng)力分量，以點(diǎn)的坐標(biāo)函數(shù)為前提而導(dǎo)出的。現(xiàn)在，如果考察位于物體表面上的點(diǎn)，即邊界點(diǎn)，顯然，這些點(diǎn)的應(yīng)力分量（代表由內(nèi)部作用

27、于這些點(diǎn)上的力）應(yīng)當(dāng)與作用在該點(diǎn)處的外力相平衡。這種邊界點(diǎn)的平衡條件，稱為用表面力表示的邊界條件，也稱為應(yīng)力邊界條件。在應(yīng)力邊界問(wèn)題中，可以建立面力分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系。彈性體邊界上的點(diǎn)同樣滿足柯西應(yīng)力公式，設(shè)彈性體上一點(diǎn)面力為，由柯西應(yīng)力公式有 (2.34)上式既為物體應(yīng)力邊界條件的表達(dá)式。但是，如果我們用表示整個(gè)彈性體的表面積，則往往只在其中一部分面積上給定了外力，而另一部分面積屬于上則給定的是位移。當(dāng)然，=+。例如一根矩形截面的懸臂梁，固定端這一部分面積屬于部分，它們給定了位移，而未給定外力；其余五個(gè)面都屬于部分，它們的外力已給定（包括外力等于零）。根據(jù)上面的推導(dǎo)方法，顯然，在部分的

28、各點(diǎn)都應(yīng)滿足表面力表示的邊界條件(2.34)。但與此同時(shí)，在部分上的各點(diǎn)還應(yīng)滿足用位移表示的邊界條件，也即幾何邊界條件?，F(xiàn)設(shè)，表示給定的上的點(diǎn)在x,y,z軸方向的位移，則幾何邊界條件為在上 u=, v=, w= (2.35)應(yīng)當(dāng)注意，邊界條件是求解彈性力學(xué)問(wèn)題的重要條件。它表明，應(yīng)力分量函數(shù)不僅在物體內(nèi)部的各點(diǎn)應(yīng)滿足平衡的微分方程（2.30），在部分的邊界點(diǎn)上還應(yīng)滿足邊界條件(2.34)，在部分的邊界上，其位移還要滿足幾何邊界條件(2.35)，否則不能認(rèn)為是該問(wèn)題的解。這一點(diǎn)也正是彈性力學(xué)問(wèn)題求解的困難之一。例2-1 圖2.6是重力水壩截面，坐標(biāo)軸是Ox和Oy，OB面上的面力為求OB面的應(yīng)力邊

29、界條件。圖2.6 重力水壩截面解：OB面方向余弦為 由柯西公式有 所以應(yīng)力邊界條件為2.4 應(yīng)變分析應(yīng)變分析是從材料變形的角度研究彈性體，包括幾何方程(Geometry equations)、相容性條件等。2.4.1幾何方程：應(yīng)變位移關(guān)系彈性體受到外力作用時(shí)，其形狀和尺寸會(huì)發(fā)生變化，即產(chǎn)生變形。在彈性力學(xué)中所考慮的幾何學(xué)方面的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上就是研究彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系。應(yīng)變分量與位移分量之間存在的關(guān)系式一般稱為幾何方程，或叫做Cauchy幾何方程。,和是任意一點(diǎn)在x, y 和 z方向上的線應(yīng)變（正應(yīng)變），,和分別代表在xy, yz 和xz 平面上的剪應(yīng)變。類(lèi)似于應(yīng)力矩形分量

30、，上面6個(gè)應(yīng)變分量可定義為應(yīng)變矩形分量?？疾煅芯课矬w內(nèi)任一點(diǎn)P (x, y, z )的變形，與研究物體的平衡狀態(tài)一樣，也是從物體內(nèi)P點(diǎn)處取出一個(gè)正方微元體，其三個(gè)棱邊長(zhǎng)分別為dx、dy、dz，如圖2.7所示。當(dāng)物體受力變形時(shí)，不僅微元體的棱邊長(zhǎng)度會(huì)隨之改變，各棱邊間的夾角也要發(fā)生變化。為研究方便，可將微元體分別投影到oxy、oyz和ozx三個(gè)坐標(biāo)面上，如圖2-8所示。圖2.8 位移與應(yīng)變圖2.7 微元體在外力作用下，物體可能發(fā)生兩種位移，一種是與位置改變有關(guān)的剛體位移，另一種是與形狀改變有關(guān)的形變位移。在考慮物體的變形時(shí)，可以認(rèn)為物體內(nèi)各點(diǎn)的位移都是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)。在圖2.8中，若假設(shè)A點(diǎn)

31、沿坐標(biāo)方向的位移分量為u、v，則B點(diǎn)沿坐標(biāo)方向的位移分量應(yīng)分別為 和 ，而D點(diǎn)的位移分量分別為 及。據(jù)此，可以求得 (2.36)根據(jù)線應(yīng)變（正應(yīng)變）的定義，AB線段的正應(yīng)變?yōu)?(2.37)因，故由上式可得：代入(2.36)式，得 (2.38)由于只是微小變形的情況，可略去上式中的高階微量（即平方項(xiàng)）。這樣， (2.39)當(dāng)微元體趨于無(wú)限小時(shí)，即AB線段趨于無(wú)限小，AB線段的正應(yīng)變就是P點(diǎn)沿x方向的正應(yīng)變。用同樣的方法考察AD線段，則可得到P點(diǎn)沿y方向的正應(yīng)變 (2.40)現(xiàn)在再來(lái)分析AB和AD兩線段之間夾角（直角）的變化情況。在微小變形時(shí)，變形后AB線段的轉(zhuǎn)角為 (2.41)式中 與1相比可以

32、略去，故 (2.42)同理，AD線段的轉(zhuǎn)角為 (2.43)由此可見(jiàn)，AB和AD兩線段之間夾角變形后的改變（減?。┝繛?(2.44)把AB和AD兩線段之間直角的改變量 gxy 稱為P點(diǎn)的角應(yīng)變（或稱剪應(yīng)變），它由兩部分組成，一部分是由y方向的位移引起的，而另一部分則是由x方向位移引起的；并規(guī)定角度減小時(shí)為正、增大時(shí)為負(fù)。至此，討論了微元體在oxy投影面上的變形情況。如果再進(jìn)一步考察微元體在另外兩個(gè)投影面上的變形情況，還可以得到P點(diǎn)沿其它方向的線應(yīng)變和角應(yīng)變。在三維空間中，變形體內(nèi)部任意一點(diǎn)共有六個(gè)應(yīng)變分量，即ex、ey 、ez 、gxy 、gyz 、gzx ，這六個(gè)應(yīng)變分量完全確定了該點(diǎn)的應(yīng)變狀

33、態(tài)。也就是說(shuō)，若已知這六個(gè)應(yīng)變分量，就可以求得過(guò)該點(diǎn)任意方向的正應(yīng)變及任意兩垂直方向間的角應(yīng)變，也可以求得過(guò)該點(diǎn)的任意兩線段之間的夾角的改變?？梢宰C明，在形變狀態(tài)下，物體內(nèi)的任意一點(diǎn)也一定存在著三個(gè)相互垂直的主應(yīng)變，對(duì)應(yīng)的主應(yīng)變方向所構(gòu)成的三個(gè)直角，在變形之后仍保持為直角（即剪應(yīng)變?yōu)榱悖?。幾何方程完整表示如下?(2.45)不難看出，當(dāng)物體的位移分量完全確定時(shí)，應(yīng)變分量就被完全確定。但反之，當(dāng)應(yīng)變分量完全確定時(shí)，位移分量卻不完全被確定。這是因?yàn)?，?yīng)變的產(chǎn)生是由于物體內(nèi)點(diǎn)與點(diǎn)之間存在相對(duì)位移，而具有一定形變的物體還可能產(chǎn)生不同的剛體位移。例2-2 考慮位移區(qū)域，求在P(1,0,2)的應(yīng)變分量是多

34、少？解：在(1,0,2)線應(yīng)變?yōu)樵?1,0,2)剪應(yīng)變?yōu)?.4.2相容性條件變形協(xié)調(diào)方程也稱變形連續(xù)方程，或叫相容方程。它是一組描述六個(gè)應(yīng)變分量之間所存在的關(guān)系式。在彈性力學(xué)中，我們認(rèn)為物體的材料是一個(gè)連續(xù)體，它是由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成，這些點(diǎn)充滿了物體所占的空間。從物理意義上講，物體在變形前是連續(xù)的，那么在變形后仍然是連續(xù)的。對(duì)于假定材料是連續(xù)分布且無(wú)裂隙的物體，其位移分量應(yīng)是單值連續(xù)的，即u、v、w是單值連續(xù)函數(shù)。這就是說(shuō)，當(dāng)物體發(fā)生形變時(shí)，物體內(nèi)的每一點(diǎn)都有確定的位移，且同一點(diǎn)不可能有兩個(gè)不同的位移；無(wú)限接近的相鄰點(diǎn)的位移之差是無(wú)限小的，故變形后仍為相鄰點(diǎn)，物體內(nèi)不會(huì)因變形而產(chǎn)生空隙。對(duì)于前面

35、所討論的六個(gè)應(yīng)變分量，都是通過(guò)三個(gè)單值連續(xù)函數(shù)對(duì)坐標(biāo)求偏導(dǎo)數(shù)來(lái)確定的。因而，這六個(gè)應(yīng)變分量并不是互不相關(guān)的，它們之間必然存在著一定的內(nèi)在關(guān)系。我們可以設(shè)想把一個(gè)薄板劃分成許多微元體，如圖2.9 (a) 所示。如果六個(gè)應(yīng)變分量之間沒(méi)有關(guān)聯(lián)，則各微元體的變形便是相互獨(dú)立的。從而，變形后的微元體之間有可能出現(xiàn)開(kāi)裂和重迭現(xiàn)象，這顯然是與實(shí)際情況不相符的，如圖2.9(b)、(c) 所示。要使物體變形后仍保持為連續(xù)，圖2.9 (d) 所示的情況，那么各微元體之間的變形必須相互協(xié)調(diào)，即各應(yīng)變分量之間必須滿足一定的協(xié)調(diào)條件。(a) (b) (c) (d)圖2.9 變形協(xié)調(diào)的討論 六個(gè)應(yīng)變分量之間的關(guān)系可以分兩

36、組來(lái)討論。由幾何方程 (2.46)若對(duì)（2.46）式的前兩式分別對(duì)y、x求二階偏導(dǎo)數(shù)，并注意到位移分量是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，有 (2.47)兩式相加，得 (2.48)進(jìn)行類(lèi)似的推導(dǎo)可得到另外兩個(gè)關(guān)系式。對(duì)于幾何方程的剪切應(yīng)變與位移關(guān)系式分別對(duì)z、x、y求偏導(dǎo)，得, , (2.49)先將后兩式相加、減去第一式，消去位移分量項(xiàng)，得 (2.50)再求上式對(duì)z的偏導(dǎo)，即 (2.51)同樣可得到另外兩個(gè)與上式相似的關(guān)系式。綜上兩組公式將得到應(yīng)變分量之間的如下六個(gè)微分關(guān)系式，即變形協(xié)調(diào)方程 (2.52)上述方程從數(shù)學(xué)上保證了物體變形后仍保持為連續(xù)，各微元體之間的變形相互協(xié)調(diào)，即各應(yīng)變分量之間滿足一定的相容

37、性協(xié)調(diào)條件。2.5 物理方程本節(jié)研究應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系的方程式，即物理方程（Physical equation）。物理方程與材料特性有關(guān)，它描述材料抵抗變形的能力，也叫本構(gòu)方程(Constitutive law)。本構(gòu)方程是物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述，是建立在實(shí)驗(yàn)觀察以及普遍自然原理之上。對(duì)物理現(xiàn)象進(jìn)行準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)描述一般都十分復(fù)雜甚至不可行，本構(gòu)關(guān)系則是對(duì)一般真實(shí)行為模式的一種近似。另外，本構(gòu)方程只描述材料的行為而不是物體的行為，所以，它描述的是同一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)與它相應(yīng)的應(yīng)變狀態(tài)之間的關(guān)系。2.5.1廣義虎克定律1 廣義虎克定律的一般表達(dá)式和Lame系數(shù)在進(jìn)行材料的簡(jiǎn)單拉伸實(shí)驗(yàn)時(shí)，從應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線上可以

38、發(fā)現(xiàn)，在材料達(dá)到屈服極限前，試件的軸向應(yīng)力正比于軸向應(yīng)變e，這個(gè)比例常數(shù)定義為楊氏模量E，有如下表達(dá)式 (2.53) 在材料拉伸實(shí)驗(yàn)中還可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)試件被拉伸時(shí)，它的徑向尺寸（如直徑）將減少。當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)屈服極限時(shí)，其徑向應(yīng)變與軸向應(yīng)變的比值也是常數(shù)，定義為泊松比。 實(shí)驗(yàn)證明，彈性體剪切應(yīng)力與剪應(yīng)變也成正比關(guān)系，比例系數(shù)稱之為剪切彈性模量，用G表示。 對(duì)于理想彈性體，可以設(shè)6個(gè)直角坐標(biāo)應(yīng)力分量與對(duì)應(yīng)的應(yīng)變分量成線性關(guān)系，如下式 (2.54)上式即為廣義虎克定律的一般表達(dá)式。按照廣義虎克定律，三個(gè)主應(yīng)力, , 與三個(gè)主應(yīng)變, , 之間同樣也是線性關(guān)系，以為例 (2.55)這里的a,b,c是常數(shù)。對(duì)

39、于各向同性材料，對(duì)主應(yīng)變和的影響應(yīng)該是相同的，因此b和c應(yīng)該相等。因此，上式關(guān)于的表達(dá)式可寫(xiě)成 (2.56)式中，即為體積應(yīng)變。若符號(hào)b用表示，(a-b) 用表示 ，則關(guān)于的方程可表示為 (2.57a)相似地，對(duì)于可得到 (2.57b) (2.57c)式中，和是兩個(gè)常數(shù)，稱為L(zhǎng)ame系數(shù)。2 廣義虎克定律的工程表達(dá)式在工程上，廣義虎克定律常采用的表達(dá)式為 （2.58）它與下面的表達(dá)式等價(jià) (2.59)對(duì)于剪應(yīng)力和剪應(yīng)變，線性的各向同性材料的剪應(yīng)變與剪應(yīng)力的關(guān)系是 (2.60a)式中，G剪切模量。與此類(lèi)似，其它剪應(yīng)變與其相應(yīng)的剪應(yīng)力的關(guān)系為 (2.60b) (2.60c)這樣，一點(diǎn)的六個(gè)應(yīng)力分量

40、和六個(gè)應(yīng)變分量之間的關(guān)系可以用如下矩矩陣形式來(lái)表示 (2.61)式中，D彈性矩陣，它是一個(gè)常數(shù)矩陣，只與材料常數(shù)楊氏模量E和泊松比有關(guān)。其表達(dá)式為 (2.62)在式(2.61)的基礎(chǔ)上，可以直接得到如下關(guān)系式 (2.63)用主應(yīng)力分量表達(dá)的廣義虎克定律為 (2.64)3 Lame系數(shù)與材料常數(shù)的關(guān)系由式(2.57a, b, c)可以得到 (2.65)代入式(2.57a)并整理得 (2.66)對(duì)照式(2.64)的第一式可以得到 (2.67)由式(2.67)解得 (2.68)由此得出，Lame系數(shù)等于剪切彈性模量G, 即 (2.69)2.5.2用位移表達(dá)的平衡微分方程應(yīng)力分析中推導(dǎo)出的平衡微分方程

41、是描述彈性體內(nèi)某一點(diǎn)6個(gè)直角應(yīng)力分量與體積力分量之間的關(guān)系。本節(jié)研究的物理方程則描述了應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系，綜合這兩組基本方程，可以推導(dǎo)出用應(yīng)變表示的平衡微分方程，更進(jìn)一步，再考慮描述應(yīng)變與位移關(guān)系的幾何方程，可以推導(dǎo)出用位移表示的平衡微分方程，即位移平衡微分方程。具體如下。由推導(dǎo)出的平衡微分方程為 (2.70)對(duì)于各向同性的材料，有 (2.71)將式（2.71）代入式(2.70)，變?yōu)?(2.72)再用幾何方程進(jìn)行進(jìn)一步替換，得到 (2.73)整理得 (2.74)其中考慮到體積應(yīng)變的公式 (2.75)得到下式 (2.76)上式即是位移平衡微分方程中的第一式。考慮由另外兩式導(dǎo)出的平衡微分方程，

42、經(jīng)過(guò)類(lèi)似的推導(dǎo)可得到另外兩個(gè)用位移表示的平衡微分方程。定義拉普拉斯算子，最后得到用位移表示的平衡微分方程如下 (2.77)上述用位移表達(dá)的平衡微分方程涉及應(yīng)力、應(yīng)變以及應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系，反映了彈性體的力學(xué)特征、幾何特征和物理特征，該方程在彈性力學(xué)問(wèn)題求解中較為重要。2.5.3圣維南原理在求解彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)，不僅要使應(yīng)力分量、應(yīng)變分量、位移分量在求解域內(nèi)（物體內(nèi)）完全滿足前述的基本方程，而且在邊界上要滿足給定的邊界條件。但是，在工程實(shí)際中物體所受的外載荷往往比較復(fù)雜，一般很難完全滿足邊界條件。當(dāng)所關(guān)心的并不是載荷作用區(qū)域內(nèi)的局部應(yīng)力分布時(shí)，可以利用圣維南原理加以簡(jiǎn)化。針對(duì)等截面長(zhǎng)桿的彎曲和扭轉(zhuǎn)問(wèn)題

43、, 在1855年圣維南發(fā)表了他的著名的理論。圣維南原理一般可以這樣來(lái)敘述：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（即主矢量相同、對(duì)同一點(diǎn)的主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。圣維南原理還可以表述為：如果物體一小部分邊界上的面力是一個(gè)平衡力系（即主矢量及主矩都等于零），那么，這個(gè)面力就只會(huì)使得近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，遠(yuǎn)處的應(yīng)力可以不計(jì)。應(yīng)該特別注意的是，應(yīng)用圣維南原理不能離開(kāi)“靜力等效”的條件。例如，對(duì)圖2.10（a）所示的受力桿件，如果把一端或兩端的拉力P變換為靜力等效的力P/2、或均勻分布的拉力P/A（A為桿件的橫截面積），那么只

44、有圖中虛線部分的應(yīng)力分布有顯著的改變，而其余部分所受的影響可以不計(jì)。這就是說(shuō)，在圖2-10所示的四種情況下，離開(kāi)兩端較遠(yuǎn)的部位的應(yīng)力分布并沒(méi)有顯著的差別。圖2.10 圣維南原理示意圖圣維南原理提出至今已有一百多年的歷史，雖然目前還沒(méi)有確切的數(shù)學(xué)表示和嚴(yán)格的理論證明，但無(wú)數(shù)的實(shí)際計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測(cè)量都證實(shí)了它的正確性。2.6 彈性力學(xué)中的幾個(gè)典型問(wèn)題任何一個(gè)彈性體都是一個(gè)空間物體，其所受的外力也都是空間力系，所以，嚴(yán)格地講，任何一個(gè)實(shí)際的彈性力學(xué)問(wèn)題都是空間問(wèn)題。但是，如果所分析的彈性體具有某種特殊的形狀、并且所承受的外力是某種特殊的外力，那么就可以把空間問(wèn)題簡(jiǎn)化為近似的典型問(wèn)題進(jìn)行求解。這樣的簡(jiǎn)化處

45、理可以大大簡(jiǎn)化分析計(jì)算的工作量，且所獲得的結(jié)果卻仍然能夠滿足工程上的精度要求。本節(jié)主要介紹平面問(wèn)題、軸對(duì)稱問(wèn)題和板殼問(wèn)題。2.6.1平面問(wèn)題平面問(wèn)題是工程實(shí)際中最常遇到的問(wèn)題，許多工程實(shí)際問(wèn)題都可以簡(jiǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)進(jìn)行求解。平面問(wèn)題一般可以分為兩類(lèi)，一類(lèi)是平面應(yīng)力問(wèn)題，另一類(lèi)是平面應(yīng)變問(wèn)題。1 平面應(yīng)力問(wèn)題所謂平面應(yīng)力問(wèn)題是指，所研究的對(duì)象在z方向上的尺寸很小（即呈平板狀），外載荷（包括體積力）都與z軸垂直、且沿z方向沒(méi)有變化，在 z =h/2 處的兩個(gè)外表面（平面）上不受任何載荷，如圖2.11所示。圖2.11 平面應(yīng)力問(wèn)題對(duì)于這種情況，在 z =h/2 處的兩個(gè)外表面上的任何一點(diǎn)，都有sz

46、=tzx =tzy =0。另外，由于z方向上的尺寸很小，所以可以假定，在物體內(nèi)任意一點(diǎn)的sz、tzx、tyz 都等于零，而其余的三個(gè)應(yīng)力分量sx、sy、txy 則都是x, y的函數(shù)。此時(shí)物體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)就叫做平面應(yīng)力狀態(tài)。在平面應(yīng)力狀態(tài)下，由于sz =tzx =tzy =0，所以可以很容易得到平面應(yīng)力問(wèn)題的平衡方程 (2.78)平面應(yīng)力問(wèn)題的幾何方程 (2.79)平面問(wèn)題中的物理方程 (2.80)2 平面應(yīng)變問(wèn)題圖2.12 平面應(yīng)變問(wèn)題與上述情況相反，如圖2.12所示，當(dāng)物體z方向上的尺寸很長(zhǎng)，物體所受的載荷（包括體積力）又平行于其橫截面（垂直于z軸）且不沿長(zhǎng)度方向（z方向）變化，即物體的

47、內(nèi)在因素和外來(lái)作用都不沿長(zhǎng)度方向變化，那么這類(lèi)問(wèn)題稱為平面應(yīng)變問(wèn)題。對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，一般可假想其長(zhǎng)度為無(wú)限長(zhǎng)，以任一橫截面為xy面、任一縱線為z軸，則所有應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量都不沿z方向變化，而只是x, y的函數(shù)。在這種情況下，由于任一橫截面都可以看作是對(duì)稱面，所以物體內(nèi)各點(diǎn)都只能在xy平面上移動(dòng)，而不會(huì)發(fā)生z方向上的移動(dòng)。根據(jù)對(duì)稱條件可知，tzx =tzy =0，并且由剪應(yīng)力互等關(guān)系可以斷定，txz =tyz =0。但是，由于z方向上的變形被阻止了，所以一般情況下sz 并不等于零。在平面應(yīng)變狀態(tài)下，由于sx 、sy 、sz 及txy 都只是x, y的函數(shù)，而txz =tyz =0，

48、且因外力都垂直于z軸，故無(wú)z方向的分量。由應(yīng)力平衡微分方程式可以看出，其中的第三個(gè)方程能夠自動(dòng)滿足，剩余的兩個(gè)式子與式（2.78）相同。對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，因位移分量都不沿z方向變化，且w = 0，故有 ez =gzx =gzy =0，所以其幾何方程與平面應(yīng)力問(wèn)題的幾何方程相同。但是，由于 ez = 0，即，因而平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程與平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程不同，即 (2.81)對(duì)有些實(shí)際問(wèn)題，例如擋土墻和重力壩的問(wèn)題等，雖然其結(jié)構(gòu)并不是無(wú)限長(zhǎng)，而且在靠近兩端之處的橫截面也往往是變化的、并不符合無(wú)限長(zhǎng)柱形體的條件，但這些問(wèn)題很接近于平面應(yīng)變問(wèn)題，對(duì)于離開(kāi)兩端較遠(yuǎn)之處按平面應(yīng)變問(wèn)題進(jìn)行分析計(jì)算，得出的結(jié)果是可以滿足工程要求的。2.6.2 軸對(duì)稱問(wèn)題在空間問(wèn)題中，如果彈性體的幾何形狀、約束狀態(tài)以及外載荷都對(duì)稱于某一根軸（過(guò)該軸的任一平面都是對(duì)稱面），那么彈性體的所有應(yīng)力、應(yīng)變和位移也就都對(duì)稱于這根軸。這類(lèi)問(wèn)題通常稱為空間軸對(duì)稱問(wèn)題。對(duì)于軸對(duì)稱問(wèn)題，采用圓柱坐標(biāo)r、q、z比采用直角坐標(biāo)x、y、z方便得多。這是因?yàn)?，?dāng)以彈性體的對(duì)稱軸為z軸時(shí)（如圖2.13所示），則所有的應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量都將只是r和 z的函數(shù)，而與q無(wú)關(guān)（即不隨q變化）。為推得軸對(duì)稱