繞任意軸旋轉(zhuǎn)

1、幾何變換詳解在三維圖形學(xué)中，幾何變換大致分為三種，平移變換（Translation），縮放變換（Scaling），旋轉(zhuǎn)變換（Rotation）。以下討論皆針對(duì)DirectX，所以使用左手坐標(biāo)系。將三維空間中的一個(gè)點(diǎn)x, y, z, 1移動(dòng)到另外一個(gè)點(diǎn)x, y, z, 1，三個(gè)坐標(biāo)軸的移動(dòng)分量分別為dx=Tx, dy=Ty, dz=Tz, 即x = x + Txy = y + Tyz = z + Tz平移變換的矩陣如下。將模型放大或者縮小，本質(zhì)也是對(duì)模型上每個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行放大和縮?。旤c(diǎn)坐標(biāo)值變大或變小），假設(shè)變換前的點(diǎn)是x, y, z, 1，變換后的點(diǎn)是x, y, z, 1，那么x = x * S

2、xy = y * Syz = z * Sz縮放變換的矩陣如下。這是三種變換中最復(fù)雜的變換，這里只討論最簡單的情況，繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，關(guān)于繞任意軸旋轉(zhuǎn)，在后續(xù)的隨筆中介紹。繞X軸旋轉(zhuǎn)繞X軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，頂點(diǎn)的x坐標(biāo)不發(fā)生變化，y坐標(biāo)和z坐標(biāo)繞X軸旋轉(zhuǎn)度，旋轉(zhuǎn)的正方向?yàn)轫槙r(shí)針方向（沿著旋轉(zhuǎn)軸負(fù)方向向原點(diǎn)看）。x, y, z, 1表示變換前的點(diǎn)，x, y, z, 1表示變換后的點(diǎn)。變換矩陣如下。關(guān)于旋轉(zhuǎn)的正方向，OpenGL與多數(shù)圖形學(xué)書籍規(guī)定旋轉(zhuǎn)正方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向（沿著坐標(biāo)軸負(fù)方向向原點(diǎn)看），比如Computer Graphics C Version，p409。繞Y軸旋轉(zhuǎn)繞Y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，頂點(diǎn)的y坐標(biāo)不發(fā)生變化

3、，x坐標(biāo)和z坐標(biāo)繞Y軸旋轉(zhuǎn)度。x, y, z, 1表示變換前的點(diǎn)，x, y, z, 1表示變換后的點(diǎn)。變換矩陣如下。繞Z軸旋轉(zhuǎn)繞Z軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，頂點(diǎn)的z坐標(biāo)不發(fā)生變化，x坐標(biāo)和y坐標(biāo)繞Z軸旋轉(zhuǎn)度。x, y, z, 1表示變換前的點(diǎn)，x, y, z, 1表示變換后的點(diǎn)。變換矩陣如下。繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的矩陣推導(dǎo)上面三個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣是如何得來的呢？我們推導(dǎo)一下，首先看一下二維的情況，再擴(kuò)展到三維即可。實(shí)際上上面三種繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的情況屬于特殊的二維旋轉(zhuǎn)，比如繞Z軸旋轉(zhuǎn)，相當(dāng)于在與XOY平面上繞原點(diǎn)做二維旋轉(zhuǎn)。假設(shè)點(diǎn)P(x, y)是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，其到原點(diǎn)的距離為r，其與X軸的夾角為A，現(xiàn)將點(diǎn)P繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)度，

4、得到點(diǎn)P(x, y)，P與X軸的夾角為B，則A = B - 。（注意，在二維坐標(biāo)中，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)角度為正，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)角度為負(fù)，下圖中由P旋轉(zhuǎn)到P，角度為，若是由P轉(zhuǎn)到P，則角度為-）。 于是可得下面的轉(zhuǎn)換方程（式一）寫成矩陣的形式就是求得旋轉(zhuǎn)矩陣為由于這里使用齊次坐標(biāo)，所以還需加上一維，最終變成如下形式繞Z軸旋轉(zhuǎn)矩陣和前面給出的繞Z軸旋轉(zhuǎn)矩陣完全吻合。對(duì)于繞X軸旋轉(zhuǎn)的情況，我們只需將式一中的x用y替換，y用z替換，z用x替換即可。替換后得到(式二)對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣為繞X軸旋轉(zhuǎn)矩陣對(duì)于繞Y軸旋轉(zhuǎn)的情況，只需對(duì)式二做一次同樣的替換即可，的到的變換方程為對(duì)應(yīng)的變換矩陣為繞Y軸旋轉(zhuǎn)矩陣平移變換矩陣的逆

5、矩陣與原來的平移量相同，但是方向相反。旋轉(zhuǎn)變換矩陣的逆矩陣與原來的旋轉(zhuǎn)軸相同但是角度相反?？s放變換的逆矩陣正好和原來的效果相反，如果原來是放大，則逆矩陣是縮小，如果原來是縮小，則逆矩陣是放大。= Happy Coding =作者：zdd出處：/graphics/繞任意軸旋轉(zhuǎn)的情況比較復(fù)雜，主要分為兩種情況，一種是平行于坐標(biāo)軸的，一種是不平行于坐標(biāo)軸的，對(duì)于平行于坐標(biāo)軸的，我們首先將旋轉(zhuǎn)軸平移至與坐標(biāo)軸重合，然后進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，最后再平移回去。 將旋轉(zhuǎn)軸平移至與坐標(biāo)軸重合，對(duì)應(yīng)平移操作 旋轉(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)操作 步驟1的逆過程，對(duì)應(yīng)操作 整個(gè)過程就是對(duì)于不平行于坐標(biāo)軸的

6、，可按如下方法處理。（該方法實(shí)際上涵蓋了上面的情況）1 將旋轉(zhuǎn)軸平移至原點(diǎn)2 將旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)至YOZ平面3 將旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)至于Z軸重合4 繞Z軸旋轉(zhuǎn)度5 執(zhí)行步驟3的逆過程6 執(zhí)行步驟2的逆過程7 執(zhí)行步驟1的逆過程假設(shè)用v1(a1, b2, c2)和v2(a2, b2, c2)來表示旋轉(zhuǎn)軸，表示旋轉(zhuǎn)角度。為了方便推導(dǎo)，暫時(shí)使用右手系并使用列向量，待得出矩陣后轉(zhuǎn)置一下即可，上面步驟對(duì)應(yīng)的流程圖如下。步驟1是一個(gè)平移操作，將v1v2平移至原點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的矩陣為步驟2是一個(gè)旋轉(zhuǎn)操作，將p(p = v2 -v1)旋轉(zhuǎn)至XOZ平面，步驟3也是一個(gè)旋轉(zhuǎn)操作，將p旋轉(zhuǎn)至與Z軸重合，這兩個(gè)操作對(duì)應(yīng)的圖如下。做點(diǎn)p在

7、平面YOZ上的投影點(diǎn)q。再過q做Z軸垂線，則r是p繞X軸旋轉(zhuǎn)所得，且旋轉(zhuǎn)角度為，且, 于是旋轉(zhuǎn)矩陣為現(xiàn)在將r繞Y軸旋轉(zhuǎn)至與Z軸重合，旋轉(zhuǎn)的角度為-beta（方向?yàn)轫槙r(shí)針），且, 于是得到旋轉(zhuǎn)矩陣為最后是繞Z軸旋轉(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)的矩陣如下如果旋轉(zhuǎn)軸是過原點(diǎn)的，那么第一步和最后一步的平移操作可以省略，也就是把中間五個(gè)矩陣連乘起來，再轉(zhuǎn)置一下，得到下面的繞任意軸旋轉(zhuǎn)的矩陣即對(duì)應(yīng)的函數(shù)代碼如下。void RotateArbitraryAxis(D3DXMATRIX* pOut, D3DXVECTOR3* axis, float theta) D3DXVec3Normalize(axis, axis); flo

8、at u = axis-x; float v = axis-y; float w = axis-z; pOut-m00 = cosf(theta) + (u * u) * (1 - cosf(theta); pOut-m01 = u * v * (1 - cosf(theta) + w * sinf(theta); pOut-m02 = u * w * (1 - cosf(theta) - v * sinf(theta); pOut-m03 = 0; pOut-m10 = u * v * (1 - cosf(theta) - w * sinf(theta); pOut-m11 = cosf(t

9、heta) + v * v * (1 - cosf(theta); pOut-m12 = w * v * (1 - cosf(theta) + u * sinf(theta); pOut-m13 = 0; pOut-m20 = u * w * (1 - cosf(theta) + v * sinf(theta); pOut-m21 = v * w * (1 - cosf(theta) - u * sinf(theta); pOut-m22 = cosf(theta) + w * w * (1 - cosf(theta); pOut-m23 = 0; pOut-m30 = 0; pOut-m31

10、 = 0; pOut-m32 = 0; pOut-m33 = 1;如果旋轉(zhuǎn)軸是不過原點(diǎn)的，那么第一步和最后一步就不能省略，將所有七個(gè)矩陣連乘起來，得到如下變換矩陣對(duì)應(yīng)如下這個(gè)超長的矩陣，在這里(u, v, w) = (a2, b2, c2) - (a1, b1, c1)，且是單位向量，a, b, c分別表示(a1, b1, c1)將上面的過程寫成函數(shù)，該函數(shù)接受四個(gè)參數(shù)，第一個(gè)參數(shù)是一個(gè)輸出參數(shù)，用來保存得到的旋轉(zhuǎn)矩陣，第二個(gè)和第三個(gè)參數(shù)是旋轉(zhuǎn)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，最后一個(gè)參數(shù)是旋轉(zhuǎn)角度，注意，在函數(shù)中我們已經(jīng)將上面的矩陣轉(zhuǎn)置了，因?yàn)樯厦媸前凑樟邢蛄坑?jì)算的。void RotateArbitraryLi

11、ne(D3DXMATRIX* pOut, D3DXVECTOR3* v1, D3DXVECTOR3* v2, float theta) float a = v1-x; float b = v1-y; float c = v1-z; D3DXVECTOR3 p = *v2 - *v1; D3DXVec3Normalize(&p, &p); float u = p.x; float v = p.y; float w = p.z; float uu = u * u; float uv = u * v; float uw = u * w; float vv = v * v; float vw = v

12、* w; float ww = w * w; float au = a * u; float av = a * v; float aw = a * w; float bu = b * u; float bv = b * v; float bw = b * w; float cu = c * u; float cv = c * v; float cw = c * w; float costheta = cosf(theta); float sintheta = sinf(theta); pOut-m00 = uu + (vv + ww) * costheta; pOut-m01 = uv * (

13、1 - costheta) + w * sintheta; pOut-m02 = uw * (1 - costheta) - v * sintheta; pOut-m03 = 0; pOut-m10 = uv * (1 - costheta) - w * sintheta; pOut-m11 = vv + (uu + ww) * costheta; pOut-m12 = vw * (1 - costheta) + u * sintheta; pOut-m13 = 0; pOut-m20 = uw * (1 - costheta) + v * sintheta; pOut-m21 = vw * (1 - costheta) - u * sintheta; pOut-m22 = ww + (uu + vv) * costheta; pOut-m23 = 0; pOut-m30 = (a * (vv + ww) - u * (bv + cw) * (1 - c