2020年全國(guó)高一數(shù)學(xué) 聯(lián)合競(jìng)賽預(yù)賽試題（湖北?。?新人教版（通用）

1、2020年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽湖北省預(yù)賽試題（高一年級(jí)）說(shuō)明：評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)。填空題只設(shè)8分和0分兩檔；解答題的評(píng)閱，只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分。一、填空題（本題滿分64分，每小題8分。直接將答案寫(xiě)在橫線上。） 1計(jì)算： 5 2設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則_7_3已知P是ABC所在平面上一點(diǎn)，滿足，則ABP與ABC的面積之比為45滿足方程（）的實(shí)數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為 8 6已知函數(shù)的定義域?yàn)椋ㄆ渲校?，值域?yàn)?，則符合條件的數(shù)組為7設(shè)集合.如果方程（）至少有一個(gè)根，就稱該方程為合格方程，則合格方程的個(gè)數(shù)為 23 8已知關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)

2、根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是二、解答題（本大題滿分56分，第9題16分，第10題20分，第11題20分）9已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（1，13），且函數(shù)是偶函數(shù).（1）求的解析式；（2）函數(shù)的圖象上是否存在這樣的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)是正整數(shù)，縱坐標(biāo)是一個(gè)完全平方數(shù)？如果存在，求出這樣的點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解 （1）因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，故. -4分又因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（1，13），所以，故.因此，的解析式為. -8分（2）如果函數(shù)的圖象上存在符合要求的點(diǎn)，設(shè)為P，其中為正整數(shù)，為自然數(shù)，則，從而，即. -12分注意到43是質(zhì)數(shù)，且，所以有解得因此，函數(shù)的圖象上存在符合要求的點(diǎn)，它的坐標(biāo)為（10，121）. -16分10已知，關(guān)于的方程有一個(gè)實(shí)根，求的最小值解 設(shè)為方程的實(shí)根，則有，即. 顯然. -5分容易證明，于是. -15分當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，.結(jié)合可求得或因此的最小值為8. -20分11已知數(shù)列滿足.證明：對(duì)一切，有（1）； （2）解 （1）顯然，所以（）.所以，對(duì)一切，所以. -5分所以，當(dāng)時(shí)，所以.又，故對(duì)一切，有.因此，對(duì)一切，有. -1