電磁場(chǎng)與電磁波

1、第六章 時(shí) 變 電 磁 場(chǎng),6.1 法拉第電磁感應(yīng)定律（33.34學(xué)時(shí)） 6.2 位移電流 6.3 麥克斯韋方程組 （36.36學(xué)時(shí)） 6.4 時(shí)變電磁場(chǎng)的邊界條件 6.6 時(shí)變電磁場(chǎng)的能量與能流 （37.38學(xué)時(shí)） 6.6 正弦電磁場(chǎng) 6.7 波動(dòng)方程 （39.40學(xué)時(shí)） 6.8 時(shí)變電磁場(chǎng)中的位函數(shù),返回,第33.34學(xué)時(shí) 6.1 法拉第電磁感應(yīng)定律,法拉第電磁感應(yīng)定律,返回,當(dāng)回路線(xiàn)圈不止一匝時(shí)，例如一個(gè)N匝線(xiàn)圈，可以把它看成是由N個(gè)一匝線(xiàn)圈串聯(lián)而成的， 其感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為,如果定義非保守感應(yīng)場(chǎng)Eind沿閉合路徑l的積分為l中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，那么上式可改寫(xiě)為,如果空間同時(shí)還存在由靜止電荷產(chǎn)生的

2、保守電場(chǎng)Ec，則總電場(chǎng)E為兩者之和，即E=Ec+Eind。但是，,又可改寫(xiě)為,引起與閉合回路鉸鏈的磁通發(fā)生變化的原因可以是磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間的變化，也可以是閉合回路l自身的運(yùn)動(dòng)(大小、形狀、位置的變化)。,利用矢量斯托克斯(Stokes)定理，上式可寫(xiě)為,上式對(duì)任意面積均成立，所以,磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)回路,穿過(guò)該回路的磁通量變化率為,式中B(t+t)為t+t時(shí)刻由lb圍住的曲面Sb上的磁感應(yīng)強(qiáng)度，B(t)是t時(shí)刻由la圍住的曲面Sa上的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 若把靜磁場(chǎng)中的磁通連續(xù)性原理SBdS=0推廣到時(shí)變場(chǎng)，則時(shí)刻t+t通過(guò)封閉面S=Sa+Sb+Sc的磁通量為零，因此,將B(t+t)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，有,由

3、于側(cè)面積Sc上的面積元dS=dlvt, 當(dāng)t0 時(shí)，,因此，l由la的位置運(yùn)動(dòng)到lb的位置時(shí)，穿過(guò)該回路的磁通量的時(shí)變率為,這樣運(yùn)動(dòng)回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)可表示為,上式可改寫(xiě)為,設(shè)靜止觀察者所看到的電場(chǎng)強(qiáng)度為E，那么E=E-vB。因此，運(yùn)動(dòng)回路中，,或,6.2 位 移 電 流,電荷守恒定律的數(shù)學(xué)描述就是電流連續(xù)性方程：,式中J是電流體密度，它的方向就是它所在點(diǎn)上的正電荷流動(dòng)的方向，它的大小就是在垂直于電流流動(dòng)方向的單位面積上每單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)的電荷量(單位是A/m2)。上式表明，每單位時(shí)間內(nèi)流出包圍體積V的閉合面S的電荷量等于S面內(nèi)每單位時(shí)間所減少的電荷量-dQ/dt。,利用散度定理(也稱(chēng)為高斯公式

4、),用體積分表示， 對(duì)靜止體積有,上式對(duì)任意體積V均成立， 故有,上式是電流連續(xù)性方程的微分形式。,靜態(tài)場(chǎng)中的安培環(huán)路定律之積分形式和微分形式為,和,此外，對(duì)于任意矢量A，其旋度的散度恒為零，即,在承認(rèn),也適用于時(shí)變場(chǎng)的前提下，則有,由于,所以位移電流,對(duì)任意封閉曲面S有,即,穿過(guò)任意封閉面的各類(lèi)電流之和恒為零，這就是全電流連續(xù)性原理。將其應(yīng)用于只有傳導(dǎo)電流的回路中，可知節(jié)點(diǎn)處傳導(dǎo)電流的代數(shù)和為零(流出的電流取正號(hào)，流入的電流取負(fù)號(hào))。這就是基爾霍夫(G.R.Kirchhoff)電流定律：I=0。,例 計(jì)算銅中的位移電流密度和傳導(dǎo)電流密度的比值。設(shè)銅中的電場(chǎng)為E0sint，銅的電導(dǎo)率=6.81

5、07S/m, 0。 解： 銅中的傳導(dǎo)電流大小為,例 證明通過(guò)任意封閉曲面的傳導(dǎo)電流和位移電流總量為零。解： 根據(jù)麥克斯韋方程,可知，通過(guò)任意封閉曲面的傳導(dǎo)電流和位移電流為,例 在坐標(biāo)原點(diǎn)附近區(qū)域內(nèi)，傳導(dǎo)電流密度為,試求： (1) 通過(guò)半徑r=1mm的球面的電流值； (2) 在r=1mm的球面上電荷密度的增加率； (3) 在r=1mm的球內(nèi)總電荷的增加率。,解：(1),(2) 因?yàn)?由電流連續(xù)性方程式，得,(3) 在r=1 mm的球內(nèi)總電荷的增加率：,例 在無(wú)源的自由空間中，已知磁場(chǎng)強(qiáng)度,求位移電流密度Jd。 解：無(wú)源的自由空間中J=0,第36.36學(xué)時(shí) 6.3 麥克斯韋方程組,6.3.1 麥克

6、斯韋方程組,返回,如果假設(shè)過(guò)去或?qū)?lái)某一時(shí)刻，B在空間每一點(diǎn)上都為零，則 B在任何時(shí)刻處處為零， 所以有,6.3.2 麥克斯韋方程的輔助方程本構(gòu)關(guān)系,一般而言，表征媒質(zhì)宏觀電磁特性的本構(gòu)關(guān)系為,對(duì)于各向同性的線(xiàn)性媒質(zhì)，可得,電荷(運(yùn)動(dòng)或靜止)激發(fā)電磁場(chǎng)，電磁場(chǎng)反過(guò)來(lái)對(duì)電荷有作用力。當(dāng)空間同時(shí)存在電場(chǎng)和磁場(chǎng)時(shí)，以恒速v運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)電荷q所受的力為,如果電荷是連續(xù)分布的，其密度為，則電荷系統(tǒng)所受的電磁場(chǎng)力密度為,上式稱(chēng)為洛侖茲力公式。近代物理學(xué)實(shí)驗(yàn)證實(shí)了洛侖茲力公式對(duì)任意運(yùn)動(dòng)速度的帶電粒子都是適應(yīng)的。,6.3.3 洛侖茲力,例 證明均勻?qū)щ娒劫|(zhì)內(nèi)部，不會(huì)有永久的自由電荷分布。 解：將J=E代入電流連續(xù)

7、性方程，考慮到媒質(zhì)均勻，有,由于,例 已知在無(wú)源的自由空間中，,其中E0、為常數(shù)，求H。 解：所謂無(wú)源，就是所研究區(qū)域內(nèi)沒(méi)有場(chǎng)源電流和電荷，即J=0, =0。,由上式可以寫(xiě)出：,6.4 時(shí)變電磁場(chǎng)的邊界條件,法向分量邊界條件,設(shè)n是分界面上任意點(diǎn)處的法向單位矢量；F表示該點(diǎn)的某一場(chǎng)矢量(例如D、B、)，它可以分解為沿n方向和垂直于n方向的兩個(gè)分量。 因?yàn)槭噶亢愕仁?所以,上式第一項(xiàng)沿n方向，稱(chēng)為法向分量；第二項(xiàng)垂直于n方向，切于分界面，稱(chēng)為切向分量。,6.4.1 一般情況,如果分界面的薄層內(nèi)有自由電荷，則圓柱面內(nèi)包圍的總電荷為,由上面兩式，得電位移矢量的法向分量邊界條件的矢量形式為,或者如下的

8、標(biāo)量形式：,若分界面上沒(méi)有自由面電荷， 則有,然而D=E，所以,綜上可見(jiàn)，如果分界面上有自由面電荷，那么電位移矢量D的法向分量Dn越過(guò)分界面時(shí)不連續(xù)，有一等于面電荷密度S的突變。如S=0，則法向分量Dn連續(xù)；但是，分界面兩側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的法向分量En不連續(xù)。,磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量的法向分量的矢量形式的邊界條件為,或者如下的標(biāo)量形式的邊界條件：,由于B=H，所以,切向分量邊界條件將麥克斯韋方程,設(shè)n(由媒質(zhì)2指向媒質(zhì)1)、l分別是l中點(diǎn)處分界面的法向單位矢量和切向單位矢量，b是垂直于n且與矩形回路成右手螺旋關(guān)系的單位矢量，三者的關(guān)系為,將麥克斯韋方程,因?yàn)?有限而h0，所以,如果分界面的薄層內(nèi)有自由

9、電流，則在回路所圍的面積上，,綜合以上三式得,b是任意單位矢量，且nH與JS共面(均切于分界面)，所以,如果分界面處沒(méi)有自由面電流，那么,由上式可以獲得,6.4.2 兩種特殊情況,矢量形式的邊界條件為,它們相應(yīng)的標(biāo)量形式為,理想導(dǎo)體是指，所以在理想導(dǎo)體內(nèi)部不存在電場(chǎng)。此外，在時(shí)變條件下，理想導(dǎo)體內(nèi)部也不存在磁場(chǎng)。故在時(shí)變條件下，理想導(dǎo)體內(nèi)部不存在電磁場(chǎng)，即所有場(chǎng)量為零。設(shè)n是理想導(dǎo)體的外法向矢量，E、H、D、B為理想導(dǎo)體外部的電磁場(chǎng)，那么理想導(dǎo)體表面的邊界條件為,例 設(shè)z=0 的平面為空氣與理想導(dǎo)體的分界面，z0 一側(cè)為理想導(dǎo)體，分界面處的磁場(chǎng)強(qiáng)度為,試求理想導(dǎo)體表面上的電流分布、電荷分布以及

10、分界面處的電場(chǎng)強(qiáng)度。 解：,假設(shè)t=0 時(shí)，S=0，由邊界條件nD=S以及n的方向可得,例 證明在無(wú)初值的時(shí)變場(chǎng)條件下，法向分量的邊界條件已含于切向分量的邊界條件之中，即只有兩個(gè)切向分量的邊界條件是獨(dú)立的。 因此，在解電磁場(chǎng)邊值問(wèn)題中只需代入兩個(gè)切向分量的邊界條件。 解： 在分界面兩側(cè)的媒質(zhì)中，,將矢性微分算符和場(chǎng)矢量都分解為切向分量和法向分量，即令,于是有,由上式可見(jiàn)：,對(duì)于媒質(zhì) 1 和媒質(zhì) 2 有,上面兩式相減得,代入切向分量的邊界條件：,有,從而有,如果t=0 時(shí)的初值B1、B2都為零，那么C=0。 故,同理，將式,中的場(chǎng)量和矢性微分算符分解成切向分量和法向分量，并且展開(kāi)取其中的法向分量

11、，有,此式對(duì)分界面兩側(cè)的媒質(zhì)區(qū)域都成立， 故有,將兩式相減并用,代入，得,再將切向分量的邊界條件,例 設(shè)區(qū)域(z0)的媒質(zhì)參數(shù)r2=6, r2=20, 2=0。區(qū)域中的電場(chǎng)強(qiáng)度為,區(qū)域中的電場(chǎng)強(qiáng)度為,試求： (1) 常數(shù)A； (2) 磁場(chǎng)強(qiáng)度H1和H2； (3) 證明在z=0處H1和H2滿(mǎn)足邊界條件。,解：(1) 在無(wú)耗媒質(zhì)的分界面z=0處， 有,由于E1和E2恰好為切向電場(chǎng)，,(2) 根據(jù)麥克斯韋方程,有,所以,同理，可得,(3) 將z=0代入(2)中得,第37.38學(xué)時(shí) 6.6 時(shí)變電磁場(chǎng)的能量與能流,假設(shè)電磁場(chǎng)在一有耗的導(dǎo)電媒質(zhì)中，媒質(zhì)的電導(dǎo)率為，電場(chǎng)會(huì)在此有耗導(dǎo)電媒質(zhì)中引起傳導(dǎo)電流J=

12、E。根據(jù)焦耳定律，在體積V內(nèi)由于傳導(dǎo)電流引起的功率損耗是,由麥克斯韋方程式,返回,利用矢量恒等式,利用散度定理上式可改寫(xiě)為,這就是適合一般媒質(zhì)的坡印廷定理。,利用矢量函數(shù)求導(dǎo)公式,對(duì)于各向同性的線(xiàn)性媒質(zhì)，即D=E, B=H, J=E, 可知，,同理，,坡印廷定理表示如下：,為了說(shuō)明上式的物理意義，首先假設(shè)儲(chǔ)存在時(shí)變電磁場(chǎng)中的電磁能量密度的表示形式和靜態(tài)場(chǎng)的相同，即w=we+wm。其中，we=1/2(DE)為電場(chǎng)能量密度，wm=1/2(BH)為磁場(chǎng)能量密度，它們的單位都是J/m3。另外，引如一個(gè)新矢量,稱(chēng)為坡印廷矢量，單位是W/m2。 據(jù)此，坡印廷定理可以寫(xiě)成,上式右邊第一項(xiàng)表示體積V中電磁能量

13、隨時(shí)間的增加率，第二項(xiàng)表示體積V中的熱損耗功率(單位時(shí)間內(nèi)以熱能形式損耗在體積V中的能量)。根據(jù)能量守恒定理，上式左邊一項(xiàng)-SSdS=-S(EH)dS必定代表單位時(shí)間內(nèi)穿過(guò)體積V的表面S流入體積V的電磁能量。因此，面積分S SdS=S(EH)dS表示單位時(shí)間內(nèi)流出包圍體積V的表面S的總電磁能量。由此可見(jiàn)，坡印廷矢量S=EH可解釋為通過(guò)S面上單位面積的電磁功率。,在靜電場(chǎng)和靜磁場(chǎng)情況下，由于電流為零以及 ，所以坡印廷定理只剩一項(xiàng)S(EH)dS=0。由坡印廷定理可知，此式表示在場(chǎng)中任何一點(diǎn)，單位時(shí)間流出包圍體積V表面的總能量為零，即沒(méi)有電磁能量流動(dòng)。由此可見(jiàn)，在靜電場(chǎng)和靜磁場(chǎng)情況下， S=EH并不

14、代表電磁功率流密度。,在恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng)情況下， ， 所以由坡印廷定理可知，V JEdV=-S(EH)dS。因此，在恒定電流場(chǎng)中，S=EH可以代表通過(guò)單位面積的電磁功率流。說(shuō)明，在無(wú)源區(qū)域中，通過(guò)S面流入V內(nèi)的電磁功率等于V內(nèi)的損耗功率。 在時(shí)變電磁場(chǎng)中，S=EH代表瞬時(shí)功率流密度，它通過(guò)任意截面積的面積分P=S(EH)dS代表瞬時(shí)功率。,例 試求一段半徑為b，電導(dǎo)率為，載有直流電流I的長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)表面的坡印廷矢量，并驗(yàn)證坡印廷定理。 解：如圖一段長(zhǎng)度為l的長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)，其軸線(xiàn)與圓柱坐標(biāo)系的z軸重合，直流電流將均勻分布在導(dǎo)線(xiàn)的橫截面上，于是有,坡印廷定理驗(yàn)證,在導(dǎo)線(xiàn)表面，,因此，導(dǎo)線(xiàn)表面的坡印廷矢

15、量,其方向處處指向?qū)Ь€(xiàn)的表面。將坡印廷矢量沿導(dǎo)線(xiàn)段表面積分，有,例 一同軸線(xiàn)的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為b，內(nèi)、外導(dǎo)體間為空氣，內(nèi)、外導(dǎo)體均為理想導(dǎo)體，載有直流電流I，內(nèi)、 外導(dǎo)體間的電壓為U。求同軸線(xiàn)的傳輸功率和能流密度矢量。 解：分別根據(jù)高斯定理和安培環(huán)路定律，可以求出同軸線(xiàn)內(nèi)、外導(dǎo)體間的電場(chǎng)和磁場(chǎng)：,上式說(shuō)明電磁能量沿z軸方向流動(dòng)，由電源向負(fù)載傳輸。 通過(guò)同軸線(xiàn)內(nèi)、外導(dǎo)體間任一橫截面的功率為,這一結(jié)果與電路理論中熟知的結(jié)果一致。,6.6 正 弦 電 磁 場(chǎng),6.6.1 正弦電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示法 時(shí)變電磁場(chǎng)的任一坐標(biāo)分量隨時(shí)間作正弦變化時(shí)，其振幅和初相也都是空間坐標(biāo)的函數(shù)。以電場(chǎng)強(qiáng)度為例，

16、在直角坐標(biāo)系中，,式中電場(chǎng)強(qiáng)度的各個(gè)坐標(biāo)分量為,與電路理論中的處理相似，利用復(fù)數(shù)或相量來(lái)描述正弦電磁場(chǎng)場(chǎng)量，可使數(shù)學(xué)運(yùn)算簡(jiǎn)化：對(duì)時(shí)間變量t進(jìn)行降階(把微積分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程)減元(消去各項(xiàng)的共同時(shí)間因子e jt)。例如，,因此，把 稱(chēng)為Ex(x, y, z, t)=Exm(x, y, z)cost+x(x, y, z)的復(fù)數(shù)形式。給定函數(shù)Ex(x, y, z, t)=Exm(x, y, z)cost+x(x, y, z)，有唯一的復(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng)； 反之亦然。,由于,采用復(fù)數(shù)表示時(shí)，正弦量對(duì)時(shí)間t的偏導(dǎo)數(shù)等價(jià)于該正弦量的復(fù)數(shù)形式乘以j，即,同理，電場(chǎng)強(qiáng)度矢量也可用復(fù)數(shù)表示為,式中 稱(chēng)為電場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)

17、振幅矢量或復(fù)矢量， 它只是空間坐標(biāo)的函數(shù)，與時(shí)間t無(wú)關(guān)。把時(shí)間t和空間x、y、z的四維(x, y, z, t)矢量函數(shù)簡(jiǎn)化成了空間(x, y, z)的三維函數(shù)，即,若要得出瞬時(shí)值，只要將其復(fù)振幅矢量乘以ejt并取實(shí)部，便得到其相應(yīng)的瞬時(shí)值：,例將下列用復(fù)數(shù)形式表示的場(chǎng)矢量變換成瞬時(shí)值，或作相反的變換。,例 將下列場(chǎng)矢量的復(fù)數(shù)形式寫(xiě)為瞬時(shí)值形式。,6.6.2 麥克斯韋方程的復(fù)數(shù)形式 在復(fù)數(shù)運(yùn)算中，對(duì)復(fù)數(shù)的微分和積分運(yùn)算是分別對(duì)其實(shí)部和虛部進(jìn)行的，并不改變其實(shí)部和虛部的性質(zhì)，故,故當(dāng)t任意時(shí)，,以及電流連續(xù)性方程的復(fù)數(shù)形式：,6.6.3 復(fù)坡印廷矢量,對(duì)正弦電磁場(chǎng)，當(dāng)場(chǎng)矢量用復(fù)數(shù)表示時(shí)：,從而坡印

18、廷矢量瞬時(shí)值可寫(xiě)為,它在一個(gè)周期T=2/內(nèi)的平均值為,式中：,S稱(chēng)為復(fù)坡印廷矢量，它與時(shí)間t無(wú)關(guān)，表示復(fù)功率流密度，其實(shí)部為平均功率流密度(有功功率流密度)，虛部為無(wú)功功率流密度。注意式中的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度是復(fù)振幅值而不是有效值；E*、 H*是E、H的共扼復(fù)數(shù)，Sav稱(chēng)為平均能流密度矢量或平均坡印廷矢量。,類(lèi)似地可得到電場(chǎng)能量密度、磁場(chǎng)能量密度和導(dǎo)電損耗功率密度的表示式：,6.6.4 復(fù)介電常數(shù)與復(fù)磁導(dǎo)率,媒質(zhì)在電磁場(chǎng)作用下呈現(xiàn)三種狀態(tài)：極化、磁化和傳導(dǎo)，它們可用一組宏觀電磁參數(shù)表征，即介電常數(shù)、磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率。在靜態(tài)場(chǎng)中這些參數(shù)都是實(shí)常數(shù)；而在時(shí)變電磁場(chǎng)作用下，反映媒質(zhì)電磁特性的宏觀參數(shù)與

19、場(chǎng)的時(shí)間變化有關(guān)，對(duì)正弦電磁場(chǎng)即與頻率有關(guān)。研究表明：一般情況下(特別在高頻場(chǎng)作用下)，描述媒質(zhì)色散特性的宏觀參數(shù)為復(fù)數(shù)，其實(shí)部和虛部都是頻率的函數(shù)， 且虛部總是大于零的正數(shù)，即,對(duì)于具有復(fù)介電常數(shù)的導(dǎo)電媒質(zhì)，考慮到傳導(dǎo)電流J=E,上式表明，導(dǎo)電媒質(zhì)中的傳導(dǎo)電流和位移電流可以用一個(gè)等效的位移電流代替；導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率和介電常數(shù)的總效應(yīng)可用一個(gè)等效復(fù)介電常數(shù)表示，即,6.6.6 復(fù)坡印廷定理,利用矢量恒等式,可知,這個(gè)公式表示了作為點(diǎn)函數(shù)的功率密度關(guān)系。 對(duì)其兩端取體積分，并應(yīng)用散度定理得,這就是用復(fù)矢量表示的坡印廷定理， 稱(chēng)為復(fù)坡印廷定理。 設(shè)宏觀電磁參數(shù)為實(shí)數(shù)， 磁導(dǎo)率和介電常數(shù)為復(fù)數(shù)， 則有,式中pav,c、pav,e、pav,m分別是單位體積內(nèi)的導(dǎo)電損耗功率、極化損耗功率和磁化損耗功率的時(shí)間平均值；wav,e和wav,m分別是電場(chǎng)和磁場(chǎng)能量密度的時(shí)間平均值。,例 已知無(wú)源(=0, J=0)的自由空間中，時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng) 強(qiáng)度復(fù)矢量 式中k、E0為常數(shù)。求： 磁場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量；