高一數(shù)學(xué)高一數(shù)學(xué)北師大版期末復(fù)習(xí)教案（通用）

1、一. 教學(xué)內(nèi)容：高一數(shù)學(xué)北師大版期末復(fù)習(xí)本講是必修二的復(fù)習(xí)提要，主要內(nèi)容包括：立體幾何初步與平面解析幾何初步。二. 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1、立體幾何部分：通過對(duì)空間幾何體的整體觀察，認(rèn)識(shí)空間圖形；以長(zhǎng)方體為載體，直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系；能用數(shù)學(xué)語言表述有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定，并對(duì)某些結(jié)論進(jìn)行論證；了解一些簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積的計(jì)算方法；2、解析幾何部分：通過在平面直角坐標(biāo)系中研究直線和圓的方程（代數(shù)方程），運(yùn)用代數(shù)方法研究其幾何性質(zhì)及其相互位置關(guān)系；了解空間直角坐標(biāo)系；體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，初步形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力。三. 知識(shí)要點(diǎn)：I、立體幾何初步（一）空間點(diǎn)、線、面

2、的位置關(guān)系1、點(diǎn)與直線：點(diǎn)在直線上，記作；點(diǎn)在直線外，記作；2、點(diǎn)與平面：點(diǎn)在平面上，記作；點(diǎn)在平面外，記作；3、直線與直線：直線共面，包括平行（記作lm）和相交（記作）；直線異面；4、直線與平面：直線在平面內(nèi)，記作；直線在平面外，包括平行（記作）和相交（記作）；5、平面與平面：平面與平面相交（記作）或平行（記作）注意：中學(xué)立體幾何中，如果不加特殊說明，兩個(gè)平面、兩條直線均不包括重合。（二）空間圖形的公理1、公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)（即直線在平面內(nèi)）；2、公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面（即可以確定一個(gè)平面）；3、公理3

3、：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線；4、公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行。5、等角定理：空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。（三）空間關(guān)系的判定與性質(zhì)空間平行關(guān)系的判定與性質(zhì)1、直線與平面平行的判定：若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；2、平面與平面平行的判定：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；3、直線與平面平行的性質(zhì)：如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么過該直線的任意一個(gè)平面與這個(gè)平面的交線與該直線平行；4、平面與平面平行的性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平

4、面相交，那么它們的交線平行空間垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)1、直線與平面垂直的判定：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直；2、平面和平面垂直的判定：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直；3、直線與平面垂直的性質(zhì)：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行；4、平面與平面垂直的性質(zhì)：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面；（四）簡(jiǎn)單幾何體的面積與體積1、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積：說明：圓臺(tái)側(cè)面積公式可作為旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積統(tǒng)一公式。2、簡(jiǎn)單多面體的側(cè)面積：，其中，為上、下底周長(zhǎng)和斜高說明：正棱臺(tái)的側(cè)面積公式可作為簡(jiǎn)單

5、多面體的側(cè)面積統(tǒng)一公式。3、體積：說明：臺(tái)體的體積公式可作為體積公式的統(tǒng)一公式。II、解析幾何初步（一）直線與直線的方程1、斜率的計(jì)算公式：2、直線的方程：點(diǎn)斜式：斜截式：兩點(diǎn)式：截距式：一般式：（二）兩條直線的位置關(guān)系1、兩條直線平行：；2、兩條直線垂直：；3、兩條直線的交點(diǎn)：聯(lián)立兩條直線的方程，求方程的公共解；4、點(diǎn)到直線的距離：（三）圓與圓的方程1、圓的方程：標(biāo)準(zhǔn)方程：一般式方程：2、直線與圓的位置關(guān)系：相離：相切：相交：3、圓與圓的位置關(guān)系：相離：相外切：相內(nèi)切：相交：內(nèi)含：（四）空間直角坐標(biāo)系1、確定空間點(diǎn)的坐標(biāo)的方法：由該點(diǎn)P向xOy平面作垂線，垂足M的橫、縱坐標(biāo)即為點(diǎn)P的橫、縱坐

6、標(biāo)；若點(diǎn)P與z軸在xOy平面的同側(cè)，則z|PM|；若點(diǎn)P與z軸在xOy平面的兩側(cè)，則z|PM|；若點(diǎn)P在xOy平面上，則z0；2、空間兩點(diǎn)的距離公式：四. 考點(diǎn)與典型例題考點(diǎn)一 共點(diǎn)、共線或共面問題例1. 點(diǎn)P、Q、R分別在三棱錐ABCD的三條側(cè)棱上，且PQBCX，QRCDZ，PRBDY。求證：X、Y、Z三點(diǎn)共線。證明：P、Q、R三點(diǎn)不共線，P、Q、R三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面。XPQ，PQ，X，又XBC，BC平面BCD，X平面BCD。點(diǎn)X是平面和平面BCD的公共點(diǎn)。同理可證，點(diǎn)Y、Z都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，即點(diǎn)X、Y、Z都在平面和平面BCD的交線上。說明：證明點(diǎn)共線的基本方法是利用公理2，證明這些

7、點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)。證明線共點(diǎn)的基本方法是證明其中兩線的交點(diǎn)在第三條直線上；證明面共點(diǎn)的基本方法是證明兩個(gè)平面的交線與第三個(gè)平面相交?？键c(diǎn)二 平行關(guān)系的研究例2. 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，P是C1D1的中點(diǎn)，M、N分別是對(duì)角線AC、DA1上的點(diǎn)，且滿足AMMCDNNA112。證明：（1）BD1MN；（2）BD1平面MND；（3）平面PB1C平面MND。證明：（1）連結(jié)D1N并延長(zhǎng)交AD于Q， A1D1NDQN，且DNNA112， Q為AD的中點(diǎn)，連QB交AC于M，易證M與M重合，在QD1B中， QNND1QMMB12， MNBD1。（2）由（1）證得MNBD1，又 BD1面

8、MND，MN面MND， BD1面MND。（3）連結(jié)B1C， A1B1CD，四邊形A1B1CD是平行四邊形， A1DB1C， A1D面PB1C。延長(zhǎng)DM交AB于，則為AB中點(diǎn)，取CD中點(diǎn)L，易證DBL，BLPB1， DPB1， D面PB1C，又 A1D與D是面MND的兩條相交直線，故面PB1C面MND。說明：判斷平行關(guān)系主要根據(jù)平行的判定定理和定義；另外，可根據(jù)面面平行的性質(zhì)證明線線平行，根據(jù)面面平行的傳遞性、垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行等結(jié)論可證明面面平行（具體可參看第14講）考點(diǎn)三 垂直關(guān)系的研究例3. 直角ABC所在平面外一點(diǎn)S，且SASBSC，D為AC中點(diǎn)。求證：面SAC面ABC；若直

9、角邊BABC，求證：BD面SAC證明：（1）連結(jié)SD，則由SASC可知：SA2AD2SD2且SDAC（*）。又BD是RtABC斜邊上中線，故BDAD，從而SA2AD2SD2BD2SD2。又SA2SB2，故SB2BD2SD2，即SDBD（*）。由（*）、（*）可知：SD平面ABC，故平面SAC平面ABC；（2）若BABC，則BDAC；又由（1）可知：SD平面ABC從而有：SDBD，故BD平面SAC。說明：垂直關(guān)系中最重要的是線線垂直，無論是線面垂直還是面面垂直，大多數(shù)情況下都是通過線線垂直研究的；但證明線線垂直除了定義法，計(jì)算法外，很多情況下又是通過線面垂直進(jìn)行判斷的。考點(diǎn)四 面積和體積的求解例

10、4. 正六棱柱的一條較長(zhǎng)對(duì)角線長(zhǎng)是13cm，側(cè)面積為180cm2，求棱柱的體積。解：設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，高為h，則S側(cè)6ah180，故ah30。因?yàn)檩^長(zhǎng)對(duì)角線長(zhǎng)為13，故有：132（2a）2h2，解得：a6或2.5。代入。說明：求面積和體積的問題一般先將其分解為求線段長(zhǎng)度和夾角兩種基本題型，然后再利用相關(guān)公式進(jìn)行求解。在求線段和夾角前需要考慮選擇哪個(gè)公式（面積公式或體積公式），這樣才能確定求哪條線段和哪個(gè)角?？键c(diǎn)五 求直線方程 例5. 求直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程。解：設(shè)所求的對(duì)稱直線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則解得因?yàn)樵谥本€上所以即說明：求直線方程的主要思路有直接法、公式法（

11、待定系數(shù)法）、相關(guān)點(diǎn)法、直線系法等。本題屬相關(guān)點(diǎn)法?？键c(diǎn)六 研究?jī)芍本€位置關(guān)系例6. 已知兩直線l1：xm2y60，l2：（m2）x3my2m0，當(dāng)m為何值時(shí)，l1與l2：（1）相交；（2）平行；（3）重合?解：當(dāng)m0時(shí)，l1：x60，l2：x0，l1l2。當(dāng)m2時(shí)，l1：x4y60，l2：3y20，l1與l2相交。當(dāng)m0且m2時(shí)，由得m1或m3，由得m3。故（1）當(dāng)m1，m3且m0時(shí)，l1與l2相交；（2）當(dāng)m1或m0時(shí)，l1l2；（3）當(dāng)m3時(shí)，l1與l2重合。說明：研究?jī)芍本€的位置關(guān)系（包括求交點(diǎn)和夾角），主要通過直線方程的系數(shù)間的關(guān)系進(jìn)行判斷?？键c(diǎn)七 圓的方程與性質(zhì)例7. 已知圓A的圓

12、心在曲線上，圓A與y軸相切，又與另一圓相外切，求圓A的方程。解：設(shè)圓A的圓心坐標(biāo)為，半徑為r，依題有解之得：或 所求圓A的方程為：或考點(diǎn)八 直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系例8. 由點(diǎn)P（0，1）引圓x2y24的割線l，交圓于A，B兩點(diǎn)，使AOB的面積為（O為原點(diǎn)），求直線l的方程。解：設(shè)直線l的方程為ykx1 將代入圓的方程整理得（1k2）x22kx30 設(shè)其兩實(shí)數(shù)根為x1，x2，由根與系數(shù)的關(guān)系得 x1x2，x1x2設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）即解得k，故直線l的方程為yx1說明：直線與圓的關(guān)系主要研究相切、相交的相關(guān)問題，如方程、弦長(zhǎng)及參數(shù)范圍的求解等。考點(diǎn)九 空間坐標(biāo)例9. 證明：

13、頂點(diǎn)是A（2，4，3），B（4，1，9），C（10，1，6）的三角形是直角三角形并求出各邊的長(zhǎng)和各內(nèi)角的大小。 證明：即： 又： 故各邊長(zhǎng)為：各內(nèi)角為：五. 本講涉及的主要數(shù)學(xué)思想方法立體幾何是對(duì)三維空間關(guān)系的研究，我們將在立體幾何的學(xué)習(xí)中認(rèn)識(shí)一些空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流能力以及幾何直觀能力；解析幾何的學(xué)習(xí)中主要掌握解析法，其本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想方法。【模擬試題】（答題時(shí)間：50分鐘）一、選擇題1. 若一個(gè)幾何體的三視圖都是等腰三角形，則這個(gè)幾何體可能是（ ）A. 圓錐 B. 正四棱錐 C. 正三棱錐 D.

14、 正三棱臺(tái) 2. 長(zhǎng)方體三個(gè)面的面積為，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)（ ）A. B. C. D. 3. 已知直線axbyc0（abc0）與圓x2y21相切，則三條邊長(zhǎng)分別為的三角形（ ）A. 是銳角三角形 B. 是直角三角形 C. 是鈍角三角形 D. 不存在4. 點(diǎn)（0，5）到直線y2x的距離為（ ）A. B. C. D. 5. 若三棱錐PABC的三條側(cè)棱與底面所成的角都相等，則點(diǎn)P在底面ABC上的射影一定是DABC的（ ）A. 外心 B. 垂心 C. 內(nèi)心 D. 重心 6. （2020全國(guó)）如圖，正四棱柱中，則異面直線所成角的余弦值為（ ）A. B. C. D. 7. 過點(diǎn)P（2，1）作圓C：x2y2

15、ax2ay2a10的切線有兩條，則a的取值范圍為（ ）A. a3 B. a3 C. 3a D. 3a或a2二、填空題8. （2020）一個(gè)等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上。已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，則該三角形的斜邊長(zhǎng)為 。9. （山東理）與直線和曲線都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 。三、解答題10. （2020山東改）已知O的方程是，O的方程是，由動(dòng)點(diǎn)向O和O所引的切線長(zhǎng)相等，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。11. （2020全國(guó)改）四棱錐SABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC底面ABCD。已知ABC45，SASB。證明：SABC。12. （2020湖北改）由直線上的一點(diǎn)向圓引切線，求切線長(zhǎng)的最小值。 13. （2020全國(guó)改）如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD底面ABCD，E、F分別是AB、SC的中點(diǎn)。（）求證：EF平面SAD；（）設(shè)SD2CD，求二面角AEFD的正切值；試題答案一、選擇題：CDBBC DD二、填空題：8. 。解答：一個(gè)等腰直角三角形DEF的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上，EDF90，已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為AB2，則該三角形的斜邊EF上的中線DG， 斜邊EF的長(zhǎng)為2。9. 解答：曲線化為，其圓心到直線的距離為所求的最小圓的圓心在直線上，其到直線的距離為，圓心坐標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)方程為。三、解答題10. 解：O：圓心，半徑