齊次和非齊次線性方程組的解法(整理定稿)

1、線性方程組解的結(jié)構(gòu)（解法）一、齊次線性方程組的解法【定義】 r(A)= r n ,若AX = 0（A為矩陣）的一組解為 ,且滿足：(1) 線性無(wú)關(guān);(2) AX = 0 的)任一解都可由這組解線性表示.則稱(chēng)為AX = 0的基礎(chǔ)解系. 稱(chēng)為AX = 0的通解 。其中k1,k2, kn-r為任意常數(shù)).齊次線性方程組的關(guān)鍵問(wèn)題就是求通解， 而求通解的關(guān)鍵問(wèn)題是求基礎(chǔ)解系. 【定理】 若齊次線性方程組AX = 0有解，則(1) 若齊次線性方程組AX = 0（A為矩陣）滿足，則只有零解；(2) 齊次線性方程組有非零解的充要條件是.（注：當(dāng)時(shí)，齊次線性方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式.）注：1、

2、基礎(chǔ)解系不唯一，但是它們所含解向量的個(gè)數(shù)相同，且基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)等于. 2、非齊次線性方程組的同解方程組的導(dǎo)出方程組（簡(jiǎn)稱(chēng)“導(dǎo)出組”）為齊次線性方程組所對(duì)應(yīng)的同解方程組。由上述定理可知，若是系數(shù)矩陣的行數(shù)（也即方程的個(gè)數(shù)），是未知量的個(gè)數(shù)，則有：（1） 當(dāng)時(shí)，此時(shí)齊次線性方程組一定有非零解，即齊次方程組中未知量的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)就一定有非零解；（2）當(dāng)時(shí)，齊次線性方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式；（3）當(dāng)且時(shí)，若系數(shù)矩陣的行列式，則齊次線性方程組只有零解；（4）當(dāng)時(shí)，若，則存在齊次線性方程組的同解方程組；若，則齊次線性方程組無(wú)解。1、求AX = 0（A為矩陣）通解的三步驟 （

3、1）（行最簡(jiǎn)形）; 寫(xiě)出同解方程組CX =0.(2) 求出CX =0的基礎(chǔ)解系;(3) 寫(xiě)出通解其中k1,k2, kn-r為任意常數(shù).【例題1】 解線性方程組 解法一：將系數(shù)矩陣A化為階梯形矩陣 顯然有，則方程組僅有零解，即.解法二：由于方程組的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)（即）（注意：方程組的個(gè)數(shù)不等于未知量的個(gè)數(shù)（即），不可以用行列式的方法來(lái)判斷），從而可計(jì)算系數(shù)矩陣A的行列式：，知方程組僅有零解，即.注：此法僅對(duì)n較小時(shí)方便【例題2】 解線性方程組解：將系數(shù)矩陣A化為簡(jiǎn)化階梯形矩陣 可得，則方程組有無(wú)窮多解，其同解方程組為 （其中，為自由未知量）令，得；令，得；令，得，于是得到原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)

4、解系為，.所以，原方程組的通解為 （，）.二、非齊次線性方程組的解法求 AX = b 的解（）用初等行變換求解，不妨設(shè)前r列線性無(wú)關(guān)其中 所以知時(shí),原方程組無(wú)解.時(shí),原方程組有唯一解.時(shí),原方程組有無(wú)窮多解.其通解為，為任意常數(shù)。其中：為AX = b導(dǎo)出組AX = 0的基礎(chǔ)解系，為AX = b的特解， 【定理1】 如果是非齊次線性方程組AX=b的解，是其導(dǎo)出組AX=0的一個(gè)解，則是非齊次線性方程組AX=b的解。【定理2】如果是非齊次線性方程組的一個(gè)特解，是其導(dǎo)出組的全部解，則是非齊次線性方程組的全部解。由此可知：如果非齊次線性方程組有無(wú)窮多解，則其導(dǎo)出組一定有非零解，且非齊次線性方程組的全部解

5、可表示為：其中：是非齊次線性方程組的一個(gè)特解，是導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系?！纠}3】判斷下列命題是否正確, A為mn矩陣.(1)若AX=0只有零解,則AX=b有唯一解. 答:錯(cuò), 因r(A)=n, r(A)= n = r(A |b)? (2)若AX=0有非零解,則AX=b有無(wú)窮多解. 答:錯(cuò), 因r(A)n, r(A)= r(A |b) ? (3)若AX=b有唯一解,則AX=0只有零解. 答:對(duì), r(A)= r(A |b) =n.(4)若AX=0有非零解,則ATX=0也有非零解. 答:錯(cuò),A為mn, r(A)=m n, r(AT)=m, 這時(shí)ATX=0只有零解. 例如A為34, R(A)=3 n

6、時(shí), 可以r(A |b) =n+1. 唯一解： 線性方程組有唯一解【例題4】 解線性方程組解： 可見(jiàn)，則方程組有唯一解，所以方程組的解為 無(wú)解：線性方程組無(wú)解（或若階梯形方程組出現(xiàn)，則原方程組無(wú)解）【例題5】解線性方程組解：，可見(jiàn)，所以原方程組無(wú)解. 無(wú)窮多解：線性方程組有無(wú)窮多解【例題6】解線性方程組解：可見(jiàn)，則方程組有無(wú)窮多解，其同解方程組為 （其中,為自由未知量）令得原方程組的一個(gè)特解.又原方程組的導(dǎo)出組的同解方程組為（其中,為自由未知量）令，得；令，得，于是得到導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為 ，。所以，原方程組的通解為 （，）.【例題7】 求線性方程組： 的全部解.解： 可見(jiàn)，所以方程組有無(wú)窮

7、多解，其同解方程組為 （其中為自由未知量） 令，可得原方程組的一個(gè)特解.又原方程組的導(dǎo)出組的同解方程組為（其中為自由未知量）令（注：這里取-2為了消去分母取單位向量的倍數(shù)），得，于是得到導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為.所以，原方程組的通解為 （）.【例題8】求非齊次線性方程組的全部解。解： 因?yàn)?，所以非齊次線性方程組有無(wú)窮多組解，取自由未知量為，原方程組與方程組同解取自由未知量為，得原方程組的一個(gè)特解： 再求其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，其導(dǎo)出組與方程組同解對(duì)自由未知量分別取，代入上式得到其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：則原方程組的全部解為：三、證明與判斷【例題9】已知是齊次線性方程組AX0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明也是齊

8、次線性方程組AX0的一個(gè)基礎(chǔ)解系。證：由已知可得：齊次線性方程組AX0的基礎(chǔ)解系含有3個(gè)解向量，并且由齊次線性方程組解的性質(zhì)可知都是AX0的解；因此只要證明線性無(wú)關(guān)即可。設(shè)存在數(shù)使 成立。整理得： （1）已知是齊次線性方程組AX0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，即得線性無(wú)關(guān)，則由(1)得，解得： 所以線性無(wú)關(guān)。即也是齊次線性方程組AX0的一個(gè)基礎(chǔ)解系。【例題10】已知是齊次線性方程組AX0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，若 。討論t滿足什么條件時(shí),是齊次線性方程組AX0的一個(gè)基礎(chǔ)解系解：首先，是齊次線性方程組AX0的解，只須證線性無(wú)關(guān).由已知有：因?yàn)椋壕€性無(wú)關(guān)， 即，所以當(dāng)t 1時(shí), 是齊次線性方程組AX0的一個(gè)基礎(chǔ)解系【例

9、題11】已知n階矩陣A的各行元素之和均為零,且r(A)=n-1,求線性方程組AX=0的通解.解 ：由r(A)=n-1知AX=0的基礎(chǔ)解系有一個(gè)非零解向量. 又， 即（k為任意常數(shù)）為所求通解.【例題12】設(shè)X1,X2, Xt 是非齊次線性方程組 AX =b0 的解向量,證明： 對(duì)于X0=k1 X1+k2 X2+kt Xt 當(dāng)k1 +k2+kt =1時(shí), X0是AX=b的解；當(dāng)k1 +k2+kt =0時(shí), X0是AX=0的解.證 ：AX0=A(k1 X1+k2 X2+kt Xt) =k1 AX1+k2 AX2+ktAXt=k1 b+k2 b+ktb=(k1+k2+kt)b故：當(dāng)k1+k2 +kt

10、=1時(shí), AX0 =b 當(dāng)k1 +k2+kt =0時(shí), AX0=0 由此可見(jiàn), 非齊次方程組的解對(duì)于線性組合并不一定封閉,只有組合系數(shù)的和等于1的時(shí)候,解向量組的線性組合才是非齊次方程組的解!【例題13】已知為的兩個(gè)不同解,是的一個(gè)基礎(chǔ)解系.為任意常數(shù). 則的通解為（ ） 答案B 【例題14】設(shè)是四元非齊次線性方程組AXb的三個(gè)解向量，且矩陣A的秩為3，求AXb的通解。解：因?yàn)锳的秩為3，則AX0的基礎(chǔ)解系含有431個(gè)解向量。由線性方程組解的性質(zhì)得：是AX0的解，則解得AX0的一個(gè)非零解為：。由此可得AXb的通解為：?！纠}15】設(shè)A是4階方陣, (0)是41矩陣, 是的解,且滿足 試求方程組的通解.解：先求的一個(gè)特解再求的一個(gè)基礎(chǔ)解系，因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)，所以是的一個(gè)基礎(chǔ)解系.