高中數(shù)學 第二章 函數(shù) 2.1 函數(shù)的概念學習與理解素材 蘇教版必修1（通用）

1、函數(shù)的概念一、函數(shù)定義（一）基本定義 定義1：設在一個變化過程中有兩個變量和，如果對于的每一個值，都有唯一的值與它對應，那么就說是的函數(shù)，叫自變量，與值對應的值叫函數(shù)值 定義2 ：設，是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系，使對于集合中的任意一個數(shù)，在集合中都有惟一確定的數(shù)和它對應，那么就稱為從集合到集合的一個函數(shù)，記作其中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域；與值對應的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域顯然，值域是集合的子集（二）定義分析定義1是函數(shù)的傳統(tǒng)定義，定義2是函數(shù)的近代定義兩個定義本質(zhì)是一致的，只是敘述概念的出發(fā)點不同，傳統(tǒng)定義是從運動變化的觀點出發(fā)，而近代定義是從集合

2、的觀點出發(fā)函數(shù)的實質(zhì)都是從非空數(shù)集 到非空數(shù)集的一個特殊的對應舉例：（1）正比例函數(shù)（2）反比例函數(shù)解析：（1）是對于每一個實數(shù)，都有惟一的實數(shù)與其對應，是的3倍；非空數(shù)集、是實數(shù)集，對應關系是乘3 （2）對每個不等于0的實數(shù)，都有惟一的實數(shù)與其對應，是的倒數(shù)；非空集合是不等于0的全體實數(shù)組成的集合，非空集合可以是實數(shù)集（只要包含集合即可），對應關系是求倒數(shù)從以上兩個例子中，可以進一步明確函數(shù)的兩個定義本質(zhì)上是相同的，只是敘述方式略有不同符號表示的是“是的函數(shù)”的數(shù)學表示，理解為：是自變量，它是對應關系所施加的對象；是對應關系，它可以是一個或幾個解析式，可以是圖象、表格，也可以是文字描述；是自

3、變量的函數(shù)，當為允許的某一具體值時，相應的值與該自變量值對應的函數(shù)值，當用解析式表示時，則解析式為函數(shù)解析式，而僅僅是函數(shù)符號，表示的是與對應的函數(shù)值（三）定義學習在初中階段主要學習了函數(shù)的傳統(tǒng)定義、一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)；在高中階段還會學習函數(shù)的近代定義以及更多的函數(shù)，如：對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等因為任何函數(shù)都屬于函數(shù)，都具有函數(shù)的共同特征，所以函數(shù)概念的學習尤為重要學習函數(shù)的概念可以通過概念的同化和知識的遷移來完成因為在初中階段已經(jīng)學過函數(shù)的定義，學生對于函數(shù)的概念已經(jīng)基本形成，學生認知結(jié)構(gòu)中已有概念的基礎，教師可以以定義的方式用準確的語言直接向?qū)W生講授函數(shù)概念，突出函數(shù)概念

4、的關鍵特征，控制無關特征，運用恰當?shù)恼c反例，從而使學生獲得函數(shù)概念同時，由于函數(shù)的傳統(tǒng)定義已經(jīng)學習過，在學習函數(shù)的近代定義時會發(fā)生學習的遷移為了防止產(chǎn)生負遷移，教師應該有意識地引導學生發(fā)現(xiàn)不同知識之間的共同點和不同點，啟發(fā)學生進行概括，指導學生運用已有的知識去學習新的知識函數(shù)的傳統(tǒng)定義指出了函數(shù)中和的關系，同時涉及到兩個集合，即自變量的取值范圍和函數(shù)值的取值范圍，但這兩個集合在定義中都沒有說明近代定義中既概括了與之間的對應關系是，還明確地指出的取值范圍是集合，的取值范圍是集合，比函數(shù)的傳統(tǒng)定義更具體，特點更明顯二、函數(shù)三要素（一）函數(shù)的三要素由函數(shù)的近代定義知函數(shù)概念包括三個要素：定義域、

5、值域、對應法則定義域是自變量的取值范圍，是構(gòu)成函數(shù)不可缺少的組成部分值域之所以用而不用表示，那是因為值域是集合的子集；集合中不僅包含與任意相對應的值，還可能包含其它數(shù)值，故集合包含集合函數(shù)的值域是由函數(shù)的定義域和對應法則確定的例1：對應法則就是集合到集合的函數(shù)嗎？答：不是集合、以及對應法則一起稱為集合到集合的函數(shù)例2：寫出的定義域、值域解：函數(shù)定義域是，值域是與例2相比較，集合可以是，而值域是，顯然；同時集合也可以是值域（即），但是不能是的真子集（）（二）三要素的幾點說明1定義域不同，兩個函數(shù)不同；如：2對應法則不同，兩個函數(shù)不同；如：3定義域、值域分別相同的函數(shù)，也不一定是同一個函數(shù)，還要看

6、對應法則；如：不同；相同4的區(qū)別表示當時函數(shù)的值，是一個常量例3：判斷表示的是否為同一函數(shù)？解：，對應法則是的值等于的值；，對應法則是等于的絕對值；，對應法則是等于的絕對值；根據(jù)函數(shù)的三要素，判斷（2）和（3）表示的是同一函數(shù) 注意：由于值域是由定義域和對應法則來決定，當且僅當定義域和對應法則分別相同時，函數(shù)才是同一函數(shù)例4：判斷是否為同一函數(shù)？解：的定義域、值域、對應法則完全相同，故是同一函數(shù)注意：函數(shù)是兩個數(shù)集之間的對應關系，與使用什么字母來表示自變量、因變量以及對應關系都是無關的三、函數(shù)與映射（一）映射的定義及特點1定義：設，是兩個非空的集合，如果按某一確定的對應關系，使對于集合中的任意

7、一個元素，在集合中都有惟一確定的元素與之對應，那么就稱對應為從集合到集合的一個映射2映射特點：映射中集合、可以是數(shù)集，也可以是點集或其他集合，同時兩個集合必須有先后次序，從集合到集合的映射與從集合到集合的映射截然不同；映射包括集合、以及到的對應法則，三者缺一不可；對于一個從集合到集合的映射，中的每一個元素必有唯一的象，但中的每一個元素卻不一定都有原象，也不一定只有一個原象例5：判斷下列關系是不是集合到集合的映射？解：集合中的負數(shù)在集合中沒有元素與之對應，并且一個原象有兩個象，故不是映射；集合中的0，1，2，4，9分別對應集合中的1，0，1，9，64，一個原象有惟一確定象，故是映射例6：試舉兩例

8、生活中的映射解：每本書的封底都有一個條形碼，這個條形碼與書之間是一個映射；每個學校都給該校的學生編寫一個學號，學號與學生之間是映射（二）函數(shù)與映射通過學習映射的概念可以進一步理解函數(shù)，即：集合、是非空數(shù)的集合，且中的每一個元素都有原象時，映射，就是從定義域到值域的函數(shù)記作：簡記：一個數(shù)集到另一個數(shù)集的映射，即稱函數(shù)（注意：此時的集合就是值域）舉例：映射；我國的每位居民與他的身份證號之間的映射；平面上的點到其坐標的對應關系是從平面上的點集到二元實數(shù)集 的一個映射與函數(shù)關系解析：是二次函數(shù)，是從定義域到值域的函數(shù). 不是函數(shù).因為居民與其身份證號的集合都不是數(shù)集,故不是函數(shù). 不是函數(shù).因為平面上的點構(gòu)成的集合是點集不是數(shù)集，故不是函數(shù).映射中的集合可以是數(shù)集、點集或其他集合；而函數(shù)中的集合只能是數(shù)集，可以說函數(shù)是特殊的映射映射的范圍要廣于函數(shù)，可以更廣泛地應用于實際生活中函數(shù)概念既是中學數(shù)學的學習重點也是學習難點。函數(shù)概念在初中采用“變量說”，在高中采用“對應說”，它的學習決不是單純的知識記憶。