高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 2.1 函數(shù)的概念學(xué)習(xí)與理解素材 蘇教版必修1（通用）

1、函數(shù)的概念一、函數(shù)定義（一）基本定義 定義1：設(shè)在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量和，如果對(duì)于的每一個(gè)值，都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)是的函數(shù)，叫自變量，與值對(duì)應(yīng)的值叫函數(shù)值 定義2 ：設(shè)，是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使對(duì)于集合中的任意一個(gè)數(shù)，在集合中都有惟一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)為從集合到集合的一個(gè)函數(shù)，記作其中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域；與值對(duì)應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域顯然，值域是集合的子集（二）定義分析定義1是函數(shù)的傳統(tǒng)定義，定義2是函數(shù)的近代定義兩個(gè)定義本質(zhì)是一致的，只是敘述概念的出發(fā)點(diǎn)不同，傳統(tǒng)定義是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā)，而近代定義是從集合

2、的觀點(diǎn)出發(fā)函數(shù)的實(shí)質(zhì)都是從非空數(shù)集 到非空數(shù)集的一個(gè)特殊的對(duì)應(yīng)舉例：（1）正比例函數(shù)（2）反比例函數(shù)解析：（1）是對(duì)于每一個(gè)實(shí)數(shù)，都有惟一的實(shí)數(shù)與其對(duì)應(yīng)，是的3倍；非空數(shù)集、是實(shí)數(shù)集，對(duì)應(yīng)關(guān)系是乘3 （2）對(duì)每個(gè)不等于0的實(shí)數(shù)，都有惟一的實(shí)數(shù)與其對(duì)應(yīng)，是的倒數(shù)；非空集合是不等于0的全體實(shí)數(shù)組成的集合，非空集合可以是實(shí)數(shù)集（只要包含集合即可），對(duì)應(yīng)關(guān)系是求倒數(shù)從以上兩個(gè)例子中，可以進(jìn)一步明確函數(shù)的兩個(gè)定義本質(zhì)上是相同的，只是敘述方式略有不同符號(hào)表示的是“是的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示，理解為：是自變量，它是對(duì)應(yīng)關(guān)系所施加的對(duì)象；是對(duì)應(yīng)關(guān)系，它可以是一個(gè)或幾個(gè)解析式，可以是圖象、表格，也可以是文字描述；是自

3、變量的函數(shù)，當(dāng)為允許的某一具體值時(shí)，相應(yīng)的值與該自變量值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，當(dāng)用解析式表示時(shí)，則解析式為函數(shù)解析式，而僅僅是函數(shù)符號(hào)，表示的是與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值（三）定義學(xué)習(xí)在初中階段主要學(xué)習(xí)了函數(shù)的傳統(tǒng)定義、一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)；在高中階段還會(huì)學(xué)習(xí)函數(shù)的近代定義以及更多的函數(shù)，如：對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等因?yàn)槿魏魏瘮?shù)都屬于函數(shù)，都具有函數(shù)的共同特征，所以函數(shù)概念的學(xué)習(xí)尤為重要學(xué)習(xí)函數(shù)的概念可以通過(guò)概念的同化和知識(shí)的遷移來(lái)完成因?yàn)樵诔踔须A段已經(jīng)學(xué)過(guò)函數(shù)的定義，學(xué)生對(duì)于函數(shù)的概念已經(jīng)基本形成，學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有概念的基礎(chǔ)，教師可以以定義的方式用準(zhǔn)確的語(yǔ)言直接向?qū)W生講授函數(shù)概念，突出函數(shù)概念

4、的關(guān)鍵特征，控制無(wú)關(guān)特征，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)恼c反例，從而使學(xué)生獲得函數(shù)概念同時(shí)，由于函數(shù)的傳統(tǒng)定義已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)，在學(xué)習(xí)函數(shù)的近代定義時(shí)會(huì)發(fā)生學(xué)習(xí)的遷移為了防止產(chǎn)生負(fù)遷移，教師應(yīng)該有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同知識(shí)之間的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行概括，指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有的知識(shí)去學(xué)習(xí)新的知識(shí)函數(shù)的傳統(tǒng)定義指出了函數(shù)中和的關(guān)系，同時(shí)涉及到兩個(gè)集合，即自變量的取值范圍和函數(shù)值的取值范圍，但這兩個(gè)集合在定義中都沒(méi)有說(shuō)明近代定義中既概括了與之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是，還明確地指出的取值范圍是集合，的取值范圍是集合，比函數(shù)的傳統(tǒng)定義更具體，特點(diǎn)更明顯二、函數(shù)三要素（一）函數(shù)的三要素由函數(shù)的近代定義知函數(shù)概念包括三個(gè)要素：定義域、

5、值域、對(duì)應(yīng)法則定義域是自變量的取值范圍，是構(gòu)成函數(shù)不可缺少的組成部分值域之所以用而不用表示，那是因?yàn)橹涤蚴羌系淖蛹患现胁粌H包含與任意相對(duì)應(yīng)的值，還可能包含其它數(shù)值，故集合包含集合函數(shù)的值域是由函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則確定的例1：對(duì)應(yīng)法則就是集合到集合的函數(shù)嗎？答：不是集合、以及對(duì)應(yīng)法則一起稱(chēng)為集合到集合的函數(shù)例2：寫(xiě)出的定義域、值域解：函數(shù)定義域是，值域是與例2相比較，集合可以是，而值域是，顯然；同時(shí)集合也可以是值域（即），但是不能是的真子集（）（二）三要素的幾點(diǎn)說(shuō)明1定義域不同，兩個(gè)函數(shù)不同；如：2對(duì)應(yīng)法則不同，兩個(gè)函數(shù)不同；如：3定義域、值域分別相同的函數(shù)，也不一定是同一個(gè)函數(shù)，還要看

6、對(duì)應(yīng)法則；如：不同；相同4的區(qū)別表示當(dāng)時(shí)函數(shù)的值，是一個(gè)常量例3：判斷表示的是否為同一函數(shù)？解：，對(duì)應(yīng)法則是的值等于的值；，對(duì)應(yīng)法則是等于的絕對(duì)值；，對(duì)應(yīng)法則是等于的絕對(duì)值；根據(jù)函數(shù)的三要素，判斷（2）和（3）表示的是同一函數(shù) 注意：由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)法則來(lái)決定，當(dāng)且僅當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則分別相同時(shí)，函數(shù)才是同一函數(shù)例4：判斷是否為同一函數(shù)？解：的定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則完全相同，故是同一函數(shù)注意：函數(shù)是兩個(gè)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，與使用什么字母來(lái)表示自變量、因變量以及對(duì)應(yīng)關(guān)系都是無(wú)關(guān)的三、函數(shù)與映射（一）映射的定義及特點(diǎn)1定義：設(shè)，是兩個(gè)非空的集合，如果按某一確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使對(duì)于集合中的任意

7、一個(gè)元素，在集合中都有惟一確定的元素與之對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)對(duì)應(yīng)為從集合到集合的一個(gè)映射2映射特點(diǎn)：映射中集合、可以是數(shù)集，也可以是點(diǎn)集或其他集合，同時(shí)兩個(gè)集合必須有先后次序，從集合到集合的映射與從集合到集合的映射截然不同；映射包括集合、以及到的對(duì)應(yīng)法則，三者缺一不可；對(duì)于一個(gè)從集合到集合的映射，中的每一個(gè)元素必有唯一的象，但中的每一個(gè)元素卻不一定都有原象，也不一定只有一個(gè)原象例5：判斷下列關(guān)系是不是集合到集合的映射？解：集合中的負(fù)數(shù)在集合中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)，并且一個(gè)原象有兩個(gè)象，故不是映射；集合中的0，1，2，4，9分別對(duì)應(yīng)集合中的1，0，1，9，64，一個(gè)原象有惟一確定象，故是映射例6：試舉兩例

8、生活中的映射解：每本書(shū)的封底都有一個(gè)條形碼，這個(gè)條形碼與書(shū)之間是一個(gè)映射；每個(gè)學(xué)校都給該校的學(xué)生編寫(xiě)一個(gè)學(xué)號(hào)，學(xué)號(hào)與學(xué)生之間是映射（二）函數(shù)與映射通過(guò)學(xué)習(xí)映射的概念可以進(jìn)一步理解函數(shù)，即：集合、是非空數(shù)的集合，且中的每一個(gè)元素都有原象時(shí)，映射，就是從定義域到值域的函數(shù)記作：簡(jiǎn)記：一個(gè)數(shù)集到另一個(gè)數(shù)集的映射，即稱(chēng)函數(shù)（注意：此時(shí)的集合就是值域）舉例：映射；我國(guó)的每位居民與他的身份證號(hào)之間的映射；平面上的點(diǎn)到其坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是從平面上的點(diǎn)集到二元實(shí)數(shù)集 的一個(gè)映射與函數(shù)關(guān)系解析：是二次函數(shù)，是從定義域到值域的函數(shù). 不是函數(shù).因?yàn)榫用衽c其身份證號(hào)的集合都不是數(shù)集,故不是函數(shù). 不是函數(shù).因?yàn)槠矫嫔系狞c(diǎn)構(gòu)成的集合是點(diǎn)集不是數(shù)集，故不是函數(shù).映射中的集合可以是數(shù)集、點(diǎn)集或其他集合；而函數(shù)中的集合只能是數(shù)集，可以說(shuō)函數(shù)是特殊的映射映射的范圍要廣于函數(shù)，可以更廣泛地應(yīng)用于實(shí)際生活中函數(shù)概念既是中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)重點(diǎn)也是學(xué)習(xí)難點(diǎn)。函數(shù)概念在初中采用“變量說(shuō)”，在高中采用“對(duì)應(yīng)說(shuō)”，它的學(xué)習(xí)決不是單純的知識(shí)記憶。