四川省成都市雙流棠湖中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試試題 理(含解析)(通用)_第1頁(yè)
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1、四川省成都市雙流棠湖中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試試題 理(含解析)一、選擇題(在每個(gè)小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只 有一項(xiàng)是符合題目要求的,把正確選項(xiàng)的代號(hào)填在答題卡的指定位置.)1.已知集合,則( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出集合B再求出交集.【詳解】,則,故選A【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集的求法,是基礎(chǔ)題.2.()A. 1B. iC. 1D. i【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算得到結(jié)果即可.【詳解】 故答案為:A.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,題目比較簡(jiǎn)單.3.已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足約束條件,則的最小值為( )A. -5B. 2C. 7D. 11【

2、答案】A【解析】【分析】根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域,再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式,找到截距的最小值.【詳解】由約束條件,畫(huà)出可行域如圖變?yōu)闉樾甭蕿?3的一簇平行線(xiàn),為在軸的截距,最小的時(shí)候?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的時(shí)候,解得所以,此時(shí)故選A項(xiàng)Failed to download image : /QBM/2020/4/4/2174961318174720/2175426196512769/EXPLANATION/b87d4482fef64ebcba958e832af003c8.png【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)性規(guī)劃求一次相加的目標(biāo)函數(shù),屬于

3、常規(guī)題型,是簡(jiǎn)單題.4.設(shè)向量,則的夾角等于( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】試題分析:,的夾角等于,故選A考點(diǎn):本題考查了數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算點(diǎn)評(píng):熟練運(yùn)用數(shù)量積的概念及坐標(biāo)運(yùn)算求解夾角問(wèn)題是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵,屬基礎(chǔ)題5.設(shè), 則 “”是“”的( )A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由一定可得出;但反過(guò)來(lái),由不一定得出,如,故選A.【考點(diǎn)定位】本小題主要考查充分必要條件、不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),熟練這兩部分的基礎(chǔ)知識(shí)是解答好本類(lèi)題目的關(guān)鍵.6.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則( )A. 0.89B. 0.78C. 0

4、.22D. 0.11【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性,可求得的值.【詳解】由于正態(tài)分布,所以,故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性,屬于基礎(chǔ)題.7.若,則()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式求得的值,再利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式求得的值【詳解】若,則,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式、二倍角公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題8.在中,則的最大值為A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理得出的外接圓直徑,并利用正弦定理化邊為角,利用三角形內(nèi)角和關(guān)系以及兩角差正弦公式、配角公式化簡(jiǎn),最后利用正弦函數(shù)性質(zhì)可得出答案【詳解】中,則,其中

5、由于,所以,所以最大值為故選:A【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理以及兩角差正弦公式、配角公式,考查基本分析計(jì)算能力,屬于中等題9.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,則數(shù)列的公差( )A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,由及列方程組即可求解?!驹斀狻吭O(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,由及得:,解得:故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式,考查方程思想及計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題。10.已知雙曲線(xiàn)C:的左、右焦點(diǎn)分別為、,且雙曲線(xiàn)C與圓在第一象限相交于點(diǎn)A,且,則雙曲線(xiàn)C的離心率是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用雙曲線(xiàn)的定義和條件

6、,求得,由直徑所對(duì)的圓周角為直角,運(yùn)用勾股定理和離心率公式,計(jì)算可得所求值【詳解】雙曲線(xiàn)C與圓在第一象限相交于點(diǎn)A,可得,由,可得,由,可得,即為,即有,即有故選:A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的離心率的求法,注意運(yùn)用直徑所對(duì)的圓周角為直角,以及雙曲線(xiàn)的定義,考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力,屬于中檔題11.設(shè)曲線(xiàn)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)上任意一點(diǎn)處的切線(xiàn)為,總存在曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的切線(xiàn),使得,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求得的導(dǎo)數(shù),設(shè)為上的任一點(diǎn),可得切線(xiàn)的斜率,求得的導(dǎo)數(shù),設(shè)圖象上一點(diǎn)可得切線(xiàn)的斜率為,運(yùn)用兩直線(xiàn)垂直的條件:斜率之積為,分別求的值域A,的值域B,由題意可得,可得a的

7、不等式,可得a的范圍【詳解】的導(dǎo)數(shù)為,設(shè)為上的任一點(diǎn),則過(guò)處的切線(xiàn)的斜率為,的導(dǎo)數(shù)為,過(guò)圖象上一點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為由,可得,即,任意的,總存在使等式成立,則有的值域?yàn)?,所以的值域?yàn)橛?,即,即,解得:,故選D【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求切線(xiàn)的斜率,考查兩直線(xiàn)垂直的條件:斜率之積為,考查任意存在性問(wèn)題的解法,注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和值域的包含關(guān)系,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題12.在三棱錐中,平面ABC,且三棱錐的體積為,若三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由三棱錐的體積,求PA,將三棱錐補(bǔ)成三棱柱,可得球心在三棱柱的中心,球心到底面的距離d

8、等于三棱柱的高PA的一半,求出球的半徑,然后求出球的表面積【詳解】解:三棱錐的體積為,將三棱錐補(bǔ)成三棱柱,可得球心在三棱柱的中心,球心到底面的距離d等于三棱柱的高PA的一半,是邊長(zhǎng)為正三角形,外接圓的半徑,球的半徑為R=,球O的表面積為故選:D【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積的求法,關(guān)鍵是求出球的半徑,求外接球半徑的常見(jiàn)方法有:若三條棱兩兩垂直則用(a,b,c為三棱的長(zhǎng));若 面ABC(SA=a),則(r為外接圓半徑);可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球.二、填空題。13.某校高三科創(chuàng)班共48人,班主任為了解學(xué)生高考前的心理狀況,將學(xué)生按1至48的學(xué)號(hào)用系統(tǒng)抽樣方法抽取8人進(jìn)行調(diào)查,若抽到的最大學(xué)號(hào)為

9、48,則抽到的最小學(xué)號(hào)為_(kāi)【答案】6【解析】【分析】抽到的最大學(xué)號(hào)為48,由系統(tǒng)抽樣等基礎(chǔ)知識(shí)即可得最小學(xué)號(hào).【詳解】由系統(tǒng)抽樣方法從學(xué)號(hào)為1到48的48名學(xué)生中抽取8名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,把48人分成8組,抽到的最大學(xué)號(hào)為48,它是第8組的最后一名,則抽到的最小學(xué)號(hào)為第一組的最后一名6號(hào).故答案為:6【點(diǎn)睛】本題考查了系統(tǒng)抽樣等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題14.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi).(用數(shù)字作答)【答案】80【解析】【分析】由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可得,據(jù)此即可確定的系數(shù).【詳解】由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可得,令可得,則的系數(shù)為.故答案為:80【點(diǎn)睛】二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式,求解此類(lèi)

10、問(wèn)題可以分兩步完成:第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式,建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件,即n,r均為非負(fù)整數(shù),且nr,如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等);第二步是根據(jù)所求的指數(shù),再求所求解的項(xiàng)15.已知函數(shù)在點(diǎn) 處的切線(xiàn)方程為,則_【答案】4【解析】,則16.內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,已知,則的最小值為_(kāi)【答案】 【解析】【分析】先由正弦定理將化為,可求出,再由余弦定理可得,即可的a的最小值.【詳解】因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所以,由余弦定理,得,?【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的運(yùn)用,結(jié)合基本不等式即可求三角形邊的最值.三、解答題(解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證

11、明過(guò)程或演算步驟)17.數(shù)列滿(mǎn)足:,.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,求滿(mǎn)足的最小正整數(shù).【答案】(1);(2)10.【解析】【分析】(1)n=1時(shí),可求得首項(xiàng),n2時(shí),將已知中的n用n-1代換后,與已知作差可得,再驗(yàn)證n=1也符合,即可得到數(shù)列an的通項(xiàng);(2)由(1)可得bn的通項(xiàng)公式,由裂項(xiàng)相消法可得Sn,再由不等式,得到所求最小值n【詳解】(1)n=1時(shí),可得a14,n2時(shí),與兩式相減可得(2n1)+1=2n,n=1時(shí),也滿(mǎn)足,.(2)=Sn,又,可得n9,可得最小正整數(shù)n為10【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,注意運(yùn)用將n換為n1,以及裂項(xiàng)相消的求和公式,考查化簡(jiǎn)運(yùn)

12、算能力,屬于中檔題18.某機(jī)構(gòu)用“10分制”調(diào)查了各階層人士對(duì)某次國(guó)際馬拉松賽事的滿(mǎn)意度,現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名,如圖莖葉圖記錄了他們的滿(mǎn)意度分?jǐn)?shù)以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉:(1)指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù);(2)若滿(mǎn)意度不低于分,則稱(chēng)該被調(diào)查者的滿(mǎn)意度為“極滿(mǎn)意”,求從這16人中隨機(jī)選取3人,至少有2人滿(mǎn)意度是“極滿(mǎn)意”的概率;(3)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)被調(diào)查群體的總體數(shù)據(jù),若從該被調(diào)查群體人數(shù)很多任選3人,記表示抽到“極滿(mǎn)意”的人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望【答案】(1)86,87.5;(2);(3)【解析】【分析】由莖葉圖利用眾數(shù)與中位數(shù)的定義即可得出;

13、被調(diào)查者的滿(mǎn)意度為“極滿(mǎn)意”共有4人其滿(mǎn)意度分別為,利用超幾何分布列、古典概率計(jì)算公式即可得出;由題意可得:再利用二項(xiàng)分布列的性質(zhì)即可得出【詳解】由莖葉圖可知:這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為86,中位數(shù)被調(diào)查者的滿(mǎn)意度為“極滿(mǎn)意”共有4人其滿(mǎn)意度分別為,從這16人中隨機(jī)選取3人,至少有2人是“極滿(mǎn)意”的概率由題意可得:分布列是 0 1 2 3 P 根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)得到:.【點(diǎn)睛】本題考查了莖葉圖、眾數(shù)與中位數(shù)的定義、超幾何分布列、古典概率計(jì)算公式、二項(xiàng)分布列的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題若離散型隨機(jī)變量,則,即其均值和方差的求解既可以利用定義,也可以直接代入上述公式.19.如圖,在邊長(zhǎng)為4的

14、正方形中,點(diǎn)分別是的中點(diǎn),點(diǎn)在上,且,將分別沿折疊,使點(diǎn)重合于點(diǎn),如圖所示.試判斷與平面的位置關(guān)系,并給出證明;求二面角的余弦值.【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理直接證明即可;(2)連接交與點(diǎn),先由題中條件得到為二面角的平面角,再解三角形即可得出結(jié)果.【詳解】(1)平面證明如下:圖1中,連接,交于,交于,則,在圖2中,連接交于,連接,在中,有,平面,平面,故平面;(2)連接交與點(diǎn),圖2中的三角形與三角形PDF分別是圖1中的與,又,平面,則,又,平面,則為二面角的平面角可知,則在中,則在中,由余弦定理,得二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)面平行的判定,

15、以及二面角的求法,熟記線(xiàn)面平行的判定定理以及二面角的概念即可,屬于??碱}型.20.設(shè)函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;(2)若,求證:無(wú)零點(diǎn)【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為 ;(2)詳見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)求導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù),可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間;(2)分類(lèi)討論,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求得函數(shù)的值域,從而證得結(jié)果.【詳解】(1)若,則, 令,則,當(dāng)時(shí),即單調(diào)遞增,又,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為 (2)當(dāng)時(shí),,顯然無(wú)零點(diǎn) 當(dāng)時(shí)(i)當(dāng)時(shí),,顯然無(wú)零點(diǎn) (ii)當(dāng)時(shí),易證,,令,則,令,得,當(dāng)時(shí),;當(dāng)

16、時(shí),故,從而,顯然無(wú)零點(diǎn).綜上,無(wú)零點(diǎn)【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域證得函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn),屬于較難題目.21.如圖,已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,橢圓的中心在原點(diǎn),為其右焦點(diǎn),點(diǎn)為曲線(xiàn)和在第一象限的交點(diǎn),且(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)為拋物線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且使得線(xiàn)段的中點(diǎn)在直線(xiàn)上,為定點(diǎn),求面積的最大值【答案】(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為; (2)面積的最大值為【解析】試題分析:(1)由已知得,跟據(jù)拋物線(xiàn)定義,得,所以點(diǎn);據(jù)橢圓定義,得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方式是(2)因?yàn)闉榫€(xiàn)段的中點(diǎn),得直線(xiàn)的方程為;聯(lián)立,得,由弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離,得再根

17、據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得面積的最大值為試題解析:(1)設(shè)橢圓的方程為,半焦距為由已知,點(diǎn),則設(shè)點(diǎn),據(jù)拋物線(xiàn)定義,得由已知,則從而,所以點(diǎn)設(shè)點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn),則,據(jù)橢圓定義,得,則從而,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方式是(2)設(shè)點(diǎn),則兩式相減,得,即因?yàn)闉榫€(xiàn)段的中點(diǎn),則所以直線(xiàn)的斜率從而直線(xiàn)的方程為,即聯(lián)立,得,則所以設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為,則所以由,得令,則設(shè),則由,得從而在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),所以,故面積的最大值為考點(diǎn):1、拋物線(xiàn)的定義;2、橢圓的方程;3、最值問(wèn)題【方法點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線(xiàn)和橢圓相交中的有關(guān)中點(diǎn)弦的問(wèn)題,綜合性強(qiáng),屬于難題;對(duì)于直線(xiàn)和圓錐曲

18、線(xiàn)相交中的中點(diǎn)弦問(wèn)題,解決此類(lèi)題目的最有效方法是點(diǎn)差法,兩式直接相減就可以表示出斜率;而第二問(wèn)中面積公式求出后,函數(shù)單調(diào)性的研究更是加深了此題的難度,運(yùn)算量也比較大,不容易拿高分22.在平面直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為,直線(xiàn)的參數(shù)方程為為參數(shù),直線(xiàn)與曲線(xiàn)分別交于兩點(diǎn).(1)若點(diǎn)的極坐標(biāo)為,求的值;(2)求曲線(xiàn)的內(nèi)接矩形周長(zhǎng)的最大值.【答案】(1)4;(2)16.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意,將曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程變形為標(biāo)準(zhǔn)方程,將直線(xiàn)的參數(shù)方程與曲線(xiàn)C的方程聯(lián)立,可得,由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算可得答案;(2)寫(xiě)出曲線(xiàn)C的參數(shù)方程,分析可得以P為頂點(diǎn)的內(nèi)接矩形周長(zhǎng)l,由正弦函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案【詳解】(1)由,將x=cos,y=sin代入得到+3=12,所以曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為+3=12,的極坐標(biāo)為,化為直角坐標(biāo)為(-2,0)由直線(xiàn)l的參數(shù)方程為:(t為參數(shù)),知直線(xiàn)l是過(guò)點(diǎn)P(-2,0),且傾斜角為的直線(xiàn),把直線(xiàn)的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)C得,所以|PM|PN|t1t

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