四川省成都市雙流棠湖中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試試題 理（含解析）（通用）

1、四川省成都市雙流棠湖中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試試題 理（含解析）一、選擇題(在每個(gè)小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只 有一項(xiàng)是符合題目要求的，把正確選項(xiàng)的代號(hào)填在答題卡的指定位置.）1.已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出集合B再求出交集.【詳解】，則，故選A【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集的求法，是基礎(chǔ)題.2.（）A. 1B. iC. 1D. i【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算得到結(jié)果即可.【詳解】 故答案為：A.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，題目比較簡(jiǎn)單.3.已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足約束條件，則的最小值為（ ）A. -5B. 2C. 7D. 11【

2、答案】A【解析】【分析】根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式，找到截距的最小值.【詳解】由約束條件，畫(huà)出可行域如圖變?yōu)闉樾甭蕿?3的一簇平行線(xiàn)，為在軸的截距，最小的時(shí)候?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的時(shí)候，解得所以，此時(shí)故選A項(xiàng)Failed to download image : /QBM/2020/4/4/2174961318174720/2175426196512769/EXPLANATION/b87d4482fef64ebcba958e832af003c8.png【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)性規(guī)劃求一次相加的目標(biāo)函數(shù)，屬于

3、常規(guī)題型，是簡(jiǎn)單題.4.設(shè)向量，則的夾角等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】試題分析：，的夾角等于，故選A考點(diǎn)：本題考查了數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算點(diǎn)評(píng)：熟練運(yùn)用數(shù)量積的概念及坐標(biāo)運(yùn)算求解夾角問(wèn)題是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題5.設(shè), 則 “”是“”的（ ）A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由一定可得出；但反過(guò)來(lái)，由不一定得出，如，故選A.【考點(diǎn)定位】本小題主要考查充分必要條件、不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，熟練這兩部分的基礎(chǔ)知識(shí)是解答好本類(lèi)題目的關(guān)鍵.6.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則（ ）A. 0.89B. 0.78C. 0

4、.22D. 0.11【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性，可求得的值.【詳解】由于正態(tài)分布，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性，屬于基礎(chǔ)題.7.若，則（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式求得的值，再利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式求得的值【詳解】若，則，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式、二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題8.在中，則的最大值為A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理得出的外接圓直徑，并利用正弦定理化邊為角，利用三角形內(nèi)角和關(guān)系以及兩角差正弦公式、配角公式化簡(jiǎn)，最后利用正弦函數(shù)性質(zhì)可得出答案【詳解】中，則，其中

5、由于，所以，所以最大值為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理以及兩角差正弦公式、配角公式，考查基本分析計(jì)算能力，屬于中等題9.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則數(shù)列的公差（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由及列方程組即可求解?！驹斀狻吭O(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由及得：，解得：故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，考查方程思想及計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。10.已知雙曲線(xiàn)C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，且雙曲線(xiàn)C與圓在第一象限相交于點(diǎn)A，且，則雙曲線(xiàn)C的離心率是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用雙曲線(xiàn)的定義和條件

6、，求得，由直徑所對(duì)的圓周角為直角，運(yùn)用勾股定理和離心率公式，計(jì)算可得所求值【詳解】雙曲線(xiàn)C與圓在第一象限相交于點(diǎn)A，可得，由，可得，由，可得，即為，即有，即有故選：A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的離心率的求法，注意運(yùn)用直徑所對(duì)的圓周角為直角，以及雙曲線(xiàn)的定義，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題11.設(shè)曲線(xiàn)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)上任意一點(diǎn)處的切線(xiàn)為，總存在曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的切線(xiàn)，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求得的導(dǎo)數(shù)，設(shè)為上的任一點(diǎn)，可得切線(xiàn)的斜率，求得的導(dǎo)數(shù)，設(shè)圖象上一點(diǎn)可得切線(xiàn)的斜率為，運(yùn)用兩直線(xiàn)垂直的條件：斜率之積為，分別求的值域A，的值域B，由題意可得，可得a的

7、不等式，可得a的范圍【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)為上的任一點(diǎn)，則過(guò)處的切線(xiàn)的斜率為，的導(dǎo)數(shù)為，過(guò)圖象上一點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為由，可得，即，任意的，總存在使等式成立,則有的值域?yàn)?，所以的值域?yàn)橛?，即，即，解得：，故選D【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線(xiàn)的斜率，考查兩直線(xiàn)垂直的條件：斜率之積為，考查任意存在性問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和值域的包含關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題12.在三棱錐中，平面ABC，且三棱錐的體積為，若三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由三棱錐的體積，求PA，將三棱錐補(bǔ)成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，球心到底面的距離d

8、等于三棱柱的高PA的一半，求出球的半徑，然后求出球的表面積【詳解】解：三棱錐的體積為，將三棱錐補(bǔ)成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，球心到底面的距離d等于三棱柱的高PA的一半，是邊長(zhǎng)為正三角形，外接圓的半徑，球的半徑為R=，球O的表面積為故選：D【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積的求法，關(guān)鍵是求出球的半徑，求外接球半徑的常見(jiàn)方法有：若三條棱兩兩垂直則用（a,b,c為三棱的長(zhǎng)）；若 面ABC（SA=a），則（r為外接圓半徑）；可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球.二、填空題。13.某校高三科創(chuàng)班共48人，班主任為了解學(xué)生高考前的心理狀況，將學(xué)生按1至48的學(xué)號(hào)用系統(tǒng)抽樣方法抽取8人進(jìn)行調(diào)查，若抽到的最大學(xué)號(hào)為

9、48，則抽到的最小學(xué)號(hào)為_(kāi)【答案】6【解析】【分析】抽到的最大學(xué)號(hào)為48，由系統(tǒng)抽樣等基礎(chǔ)知識(shí)即可得最小學(xué)號(hào).【詳解】由系統(tǒng)抽樣方法從學(xué)號(hào)為1到48的48名學(xué)生中抽取8名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，把48人分成8組，抽到的最大學(xué)號(hào)為48，它是第8組的最后一名，則抽到的最小學(xué)號(hào)為第一組的最后一名6號(hào).故答案為：6【點(diǎn)睛】本題考查了系統(tǒng)抽樣等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題14.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi).（用數(shù)字作答）【答案】80【解析】【分析】由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可得，據(jù)此即可確定的系數(shù).【詳解】由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可得，令可得，則的系數(shù)為.故答案為：80【點(diǎn)睛】二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類(lèi)

10、問(wèn)題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且nr，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)15.已知函數(shù)在點(diǎn) 處的切線(xiàn)方程為，則_【答案】4【解析】，則16.內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，則的最小值為_(kāi)【答案】 【解析】【分析】先由正弦定理將化為，可求出，再由余弦定理可得，即可的a的最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，由余弦定理，得，?【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，結(jié)合基本不等式即可求三角形邊的最值.三、解答題（解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證

11、明過(guò)程或演算步驟）17.數(shù)列滿(mǎn)足：，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿(mǎn)足的最小正整數(shù).【答案】（1）；（2）10.【解析】【分析】（1）n=1時(shí)，可求得首項(xiàng)，n2時(shí)，將已知中的n用n-1代換后，與已知作差可得，再驗(yàn)證n=1也符合，即可得到數(shù)列an的通項(xiàng)；（2）由（1）可得bn的通項(xiàng)公式，由裂項(xiàng)相消法可得Sn，再由不等式，得到所求最小值n【詳解】（1）n=1時(shí)，可得a14，n2時(shí)，與兩式相減可得（2n1）+1=2n，n=1時(shí)，也滿(mǎn)足，.（2）=Sn，又，可得n9，可得最小正整數(shù)n為10【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用將n換為n1，以及裂項(xiàng)相消的求和公式，考查化簡(jiǎn)運(yùn)

12、算能力，屬于中檔題18.某機(jī)構(gòu)用“10分制”調(diào)查了各階層人士對(duì)某次國(guó)際馬拉松賽事的滿(mǎn)意度，現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名，如圖莖葉圖記錄了他們的滿(mǎn)意度分?jǐn)?shù)以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉：（1）指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；（2）若滿(mǎn)意度不低于分，則稱(chēng)該被調(diào)查者的滿(mǎn)意度為“極滿(mǎn)意”，求從這16人中隨機(jī)選取3人，至少有2人滿(mǎn)意度是“極滿(mǎn)意”的概率；（3）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)被調(diào)查群體的總體數(shù)據(jù)，若從該被調(diào)查群體人數(shù)很多任選3人，記表示抽到“極滿(mǎn)意”的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望【答案】（1）86，87.5；（2）；（3）【解析】【分析】由莖葉圖利用眾數(shù)與中位數(shù)的定義即可得出；

13、被調(diào)查者的滿(mǎn)意度為“極滿(mǎn)意”共有4人其滿(mǎn)意度分別為，利用超幾何分布列、古典概率計(jì)算公式即可得出；由題意可得：再利用二項(xiàng)分布列的性質(zhì)即可得出【詳解】由莖葉圖可知：這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為86，中位數(shù)被調(diào)查者的滿(mǎn)意度為“極滿(mǎn)意”共有4人其滿(mǎn)意度分別為，從這16人中隨機(jī)選取3人，至少有2人是“極滿(mǎn)意”的概率由題意可得：分布列是 0 1 2 3 P 根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)得到：.【點(diǎn)睛】本題考查了莖葉圖、眾數(shù)與中位數(shù)的定義、超幾何分布列、古典概率計(jì)算公式、二項(xiàng)分布列的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題若離散型隨機(jī)變量，則，即其均值和方差的求解既可以利用定義，也可以直接代入上述公式.19.如圖，在邊長(zhǎng)為4的

14、正方形中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，將分別沿折疊，使點(diǎn)重合于點(diǎn)，如圖所示.試判斷與平面的位置關(guān)系，并給出證明；求二面角的余弦值.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理直接證明即可；（2）連接交與點(diǎn)，先由題中條件得到為二面角的平面角，再解三角形即可得出結(jié)果.【詳解】（1）平面證明如下：圖1中，連接，交于，交于，則，在圖2中，連接交于，連接，在中，有，平面，平面，故平面；（2）連接交與點(diǎn)，圖2中的三角形與三角形PDF分別是圖1中的與，又，平面，則，又，平面，則為二面角的平面角可知，則在中，則在中，由余弦定理，得二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)面平行的判定，

15、以及二面角的求法，熟記線(xiàn)面平行的判定定理以及二面角的概念即可，屬于?？碱}型.20.設(shè)函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)（1）若,求的單調(diào)區(qū)間;（2）若,求證:無(wú)零點(diǎn)【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為 ；（2）詳見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間；（2）分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的值域，從而證得結(jié)果.【詳解】（1）若,則, 令,則,當(dāng)時(shí),即單調(diào)遞增,又,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為 （2）當(dāng)時(shí),，顯然無(wú)零點(diǎn) 當(dāng)時(shí)(i)當(dāng)時(shí),，顯然無(wú)零點(diǎn) (ii)當(dāng)時(shí)，易證，,令，則，令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)

16、時(shí)，故，從而，顯然無(wú)零點(diǎn).綜上,無(wú)零點(diǎn)【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域證得函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，屬于較難題目.21.如圖，已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，橢圓的中心在原點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，點(diǎn)為曲線(xiàn)和在第一象限的交點(diǎn)，且（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為拋物線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且使得線(xiàn)段的中點(diǎn)在直線(xiàn)上，為定點(diǎn)，求面積的最大值【答案】（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為； （2）面積的最大值為【解析】試題分析：（1）由已知得，跟據(jù)拋物線(xiàn)定義，得，所以點(diǎn)；據(jù)橢圓定義，得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方式是（2）因?yàn)闉榫€(xiàn)段的中點(diǎn)，得直線(xiàn)的方程為；聯(lián)立，得，由弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，得再根

17、據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得面積的最大值為試題解析：（1）設(shè)橢圓的方程為，半焦距為由已知，點(diǎn)，則設(shè)點(diǎn)，據(jù)拋物線(xiàn)定義，得由已知，則從而，所以點(diǎn)設(shè)點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，則，據(jù)橢圓定義，得，則從而，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方式是（2）設(shè)點(diǎn)，則兩式相減，得，即因?yàn)闉榫€(xiàn)段的中點(diǎn)，則所以直線(xiàn)的斜率從而直線(xiàn)的方程為，即聯(lián)立，得，則所以設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則所以由，得令，則設(shè)，則由，得從而在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以，故面積的最大值為考點(diǎn)：1、拋物線(xiàn)的定義；2、橢圓的方程；3、最值問(wèn)題【方法點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線(xiàn)和橢圓相交中的有關(guān)中點(diǎn)弦的問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，屬于難題；對(duì)于直線(xiàn)和圓錐曲

18、線(xiàn)相交中的中點(diǎn)弦問(wèn)題，解決此類(lèi)題目的最有效方法是點(diǎn)差法，兩式直接相減就可以表示出斜率；而第二問(wèn)中面積公式求出后，函數(shù)單調(diào)性的研究更是加深了此題的難度，運(yùn)算量也比較大，不容易拿高分22.在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，直線(xiàn)的參數(shù)方程為為參數(shù)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)分別交于兩點(diǎn).（1）若點(diǎn)的極坐標(biāo)為，求的值；（2）求曲線(xiàn)的內(nèi)接矩形周長(zhǎng)的最大值.【答案】（1）4；（2）16.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，將曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程變形為標(biāo)準(zhǔn)方程，將直線(xiàn)的參數(shù)方程與曲線(xiàn)C的方程聯(lián)立，可得，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算可得答案；（2）寫(xiě)出曲線(xiàn)C的參數(shù)方程，分析可得以P為頂點(diǎn)的內(nèi)接矩形周長(zhǎng)l，由正弦函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案【詳解】（1）由，將x=cos，y=sin代入得到+3=12,所以曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為+3=12，的極坐標(biāo)為，化為直角坐標(biāo)為（-2，0）由直線(xiàn)l的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)），知直線(xiàn)l是過(guò)點(diǎn)P（-2，0），且傾斜角為的直線(xiàn)，把直線(xiàn)的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)C得，所以|PM|PN|t1t