河南省2020屆高三數(shù)學(xué)12月聯(lián)考試題 文（含解析）（通用）

1、天一大聯(lián)考2020學(xué)年高中畢業(yè)班階段性測(cè)試（三）數(shù)學(xué)（文科）第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】所以2. 已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)（，），則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，所以，所以點(diǎn)晴：本題重點(diǎn)考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念，屬于基本題，首先對(duì)于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如，其次要熟悉復(fù)數(shù)的相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為，模為，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，共軛復(fù)數(shù)為.3. 如圖是一邊長(zhǎng)為8的

2、正方形苗圃圖案，中間黑色大圓與正方形的內(nèi)切圓共圓心，圓與圓之間是相切的，且中間黑色大圓的半徑是黑色小圓半徑的2倍若在正方形圖案上隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自白色區(qū)域的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由題意得正方形的內(nèi)切圓的半徑為4，中間黑色大圓的半徑為2，黑色小圓的半徑為1，所以白色區(qū)域的面積為，由幾何概型概率公式可得所求概率為。選D。4. 已知側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且球心在底面正方形上，則球的表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】設(shè)球的半徑為R,則由題意可得 ，解得R=1,故球的表面積 .5. 已知函數(shù)（）的最小值為2，則實(shí)數(shù)（ ）A

3、. 2 B. 4 C. 8 D. 16【答案】B【解析】由得，故函數(shù)的定義域?yàn)椋字瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得。選B。6. 若函數(shù)關(guān)于直線（）對(duì)稱(chēng)，則的最大值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由題意得，即，時(shí)，的最大值為 .7. 已知數(shù)列滿(mǎn)足，則數(shù)列前項(xiàng)的和等于（ ）A. 162 B. 182 C. 234 D. 346【答案】B【解析】由條件得，所以，因此數(shù)列為等差數(shù)列。又，所以。故。選B。點(diǎn)睛：.8. 用，表示某培訓(xùn)班10名學(xué)員的成績(jī)，其成績(jī)依次為85,68,95,75,88,92,90,80,78,87執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若分別輸入的10個(gè)值，則輸出的的值為（ ）A

4、. B. C. D. 【答案】C【解析】根據(jù)程序框圖可知程序框圖中的n記錄輸入的數(shù)據(jù)中大于等于80分的學(xué)生的人數(shù)，在給出的10個(gè)數(shù)據(jù)中，大于等于80的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為7個(gè)，故輸出的值為。選C。9. 如圖畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（ ） A. 16 B. 32 C. 48 D. 60【答案】A【解析】由三視圖可得，該幾何體是一個(gè)四棱錐，高為4，底面為上底、下底分別為2,4，高為4的直角梯形，故此四棱錐的體積為。選A。10. 已知，且，則的最小值為（ ）A. 8 B. 9 C. 12 D. 16【答案】B【解析】由，得， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。選B。11. 已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，定點(diǎn)

5、，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，若的最小值是9，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為 ，由雙曲線的定義有，所以，當(dāng) 三點(diǎn)共線時(shí)有最小值為，解得，所以離心率為.12. 已知函數(shù) ，若函數(shù)在上只有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值不可能為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】函數(shù)的零點(diǎn)為函數(shù)與圖象的交點(diǎn)，在同一直角坐標(biāo)下作出函數(shù)與的圖象，如圖所示，當(dāng)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，0）時(shí)滿(mǎn)足條件，此時(shí) ，當(dāng)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，0）時(shí)滿(mǎn)足條件，此時(shí) ，當(dāng)函數(shù)的圖象與相切時(shí)也滿(mǎn)足題意，此時(shí) ，解得， 綜上所述，或或。點(diǎn)睛:研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.

6、本題中已知函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)求參數(shù)k的取值范圍，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象的交點(diǎn)，注意到函數(shù)過(guò)定點(diǎn)（2，0），并且函數(shù)的圖象是圓的一部分，即，在線的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求k可得結(jié)論.第卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿(mǎn)分20分，將答案填在答題紙上）13. 某班學(xué)生，在高三8次月考的化學(xué)成績(jī)用莖葉圖表示如圖，其中學(xué)生的平均成績(jī)與學(xué)生的成績(jī)的眾數(shù)相等，則_【答案】5【解析】由題意，得 ，解得.14. 已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足則的最大值為_(kāi)【答案】48【解析】作出可行域如圖所示，由圖知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn) 時(shí)取得最大值，即 點(diǎn)睛：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問(wèn)題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一、準(zhǔn)確無(wú)誤地作出可行域；二、畫(huà)標(biāo)準(zhǔn)

7、函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三、一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.15. 如圖，在等腰梯形中，點(diǎn)，分別為線段，的三等分點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則_【答案】 【解析】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，連接BO，易證得為等邊三角形，所以 ，則所以，所以16. 一條斜率為2的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且與拋物線交于，兩點(diǎn)，在軸上的射影分別為，若梯形的面積為，則_【答案】所以則所以所以 所以 .三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.） 17. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)分別為1，公比不為1的等比數(shù)列的前3項(xiàng)分

8、別為4，（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1）， （2）【解析】試題分析：（1）由題意可求得，從而可得到等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比，從而可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式。（2）由（1）可得，從而利用裂項(xiàng)相消法求和。試題解析：（1）由題意，得解得（舍去）或所以等差數(shù)列的公差為，故，等比數(shù)列的公比為，故.（2）由（1）得，所以.18. 在中，內(nèi)角，的對(duì)邊分別是，滿(mǎn)足（1）求角；（2）設(shè)，且，求的面積【答案】（1）（2） 【解析】試題分析：（1）對(duì)等式進(jìn)行變換，結(jié)合正余弦定理可得，從而得到A.（2）對(duì)給定的三角等式化簡(jiǎn)可得，分和兩種情況解三角形即可.試題解析：（1），由余弦定理，得

9、，即由正弦定理與同角三角函數(shù)基本關(guān)系，得，（2）由條件得，當(dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)， 19. 隨著高等級(jí)公路的迅速發(fā)展，公路綠化受到高度重視，需要大量各種苗木某苗圃培植場(chǎng)對(duì)100棵“天竺桂”的移栽成活量（單位：棵）與在前三個(gè)月內(nèi)澆水次數(shù)間的關(guān)系進(jìn)行研究，根據(jù)以往的記錄，整理相關(guān)的數(shù)據(jù)信息如圖所示：（1）結(jié)合圖中前4個(gè)矩形提供的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求關(guān)于的回歸直線方程；（2）用表示（1）中所求的回歸直線方程得到的100棵“天竺桂”的移栽成活量的估計(jì)值，當(dāng)圖中余下的矩形對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)組的殘差的絕對(duì)值，則回歸直線方程有參考價(jià)值，試問(wèn)：（1）中所得到的回歸直線方程有參考價(jià)值嗎？（3）預(yù)測(cè)100棵“天竺桂”移

10、栽后全部成活時(shí)，在前三個(gè)月內(nèi)澆水的最佳次數(shù)附：回歸直線方程為，其中，【答案】（1）（2）見(jiàn)解析；（3）7次【解析】試題分析：（1）先計(jì)算樣本中心坐標(biāo)，利用公式求出b，a，得到回歸直線方程（2）通過(guò)回歸方程，當(dāng)時(shí)，則 （3）通過(guò)回歸方程， 100棵“天竺桂”移栽后全部成活，則由，得，可得最佳澆水次數(shù).試題解析：（1）由所給數(shù)據(jù)計(jì)算得， ，所以回歸直線方程是（2）當(dāng)時(shí)，則 ，可以認(rèn)為所得到的回歸直線方程是有參考價(jià)值的（3）預(yù)測(cè)100棵“天竺桂”移栽后全部成活，則由，得，則預(yù)測(cè)100棵“天竺桂”移栽后全部成活時(shí)，在前三個(gè)月內(nèi)澆水的最佳次數(shù)為7次20. 如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形，且，（1）求證

11、：平面平面；（2）若且，分別是，的中點(diǎn)，求多面體的體積【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】試題分析：（1）通過(guò)證明平面內(nèi)的平面，可證得平面平面.（2）利用，可求得所求體積.試題解析：（1）證明：如圖，分別取，的中點(diǎn)，連接，則四邊形為正方形，又，平面，又與為平面內(nèi)的兩條相交直線，平面，又平面，平面平面（2）解：且，則由，知，分別是，的中點(diǎn)，三棱錐與三棱錐的高均等于，又，21. 已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，若橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且的面積為2（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)斜率為1的直線與以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓交于，兩點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn)，且（），當(dāng)取得最小值時(shí)，求直線的方程【答案】（1）（2）最小值，

12、直線的方程為【解析】試題分析：（1）由三角形的面積，即可求得c=2,將點(diǎn)代入橢圓方程，由橢圓的性質(zhì)a2=b2+c2，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）直線的方程為，則原點(diǎn)到直線的距離，由弦長(zhǎng)公式可得將代入橢圓方程，得，得可得可得所求結(jié)論. 試題解析：（1）由的面積可得，即，又橢圓過(guò)點(diǎn)，由解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)直線的方程為，則原點(diǎn)到直線的距離，由弦長(zhǎng)公式可得將代入橢圓方程，得，由判別式，解得由直線和圓相交的條件可得，即，也即，綜上可得的取值范圍是設(shè)，則，由弦長(zhǎng)公式，得由，得，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)直線的方程為點(diǎn)睛:本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問(wèn)題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問(wèn)題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問(wèn)題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問(wèn)題，弦長(zhǎng)問(wèn)題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用22. 已知函數(shù)（）（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的圖象全部在直線的下方，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù),分和兩種情況進(jìn)行討論，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)的圖象全部在直線的下方,等價(jià)于在上恒成立，令，則分和