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文檔簡介
1、遼寧省2020年朝陽市重點高中高三第四次模擬考試理科數(shù)學第卷(共60分)一、選擇題:本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算,即可求出結(jié)果.【詳解】.故選B【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運算,熟記運算法則即可,屬于基礎(chǔ)題型.2.已知集合,若,則由實數(shù)的所有可能的取值組成的集合為( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分為空集和不為空集兩種情況討論,分別求出的范圍,即可得出結(jié)果.【詳解】因為集合,若為空集,則方程無解,解得;若不為空集,則;由解得
2、,所以或,解得或,綜上,由實數(shù)的所有可能的取值組成的集合為.故選D【點睛】本題主要考查由集合間的關(guān)系求參數(shù)的問題,熟記集合間的關(guān)系即可,屬于基礎(chǔ)題型.3.已知函數(shù)的兩個相鄰的對稱軸之間的距離為,為了得到函數(shù)的圖象,只需將的圖象( )A. 向左平移個單位長度B. 向右平移個單位長度C. 向左平移個單位長度D. 向右平移個單位長度【答案】D【解析】【分析】先由函數(shù)的兩個相鄰的對稱軸之間的距離為,得到周期,求出,再由平移原則,即可得出結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)的兩個相鄰的對稱軸之間的距離為,所以的最小正周期為,因此,所以,因此,為了得到函數(shù)圖象,只需將的圖象向右平移個單位長度.故選D【點睛】本題主要考查
3、三角函數(shù)的性質(zhì),以及三角函數(shù)的平移問題,熟記三角函數(shù)的平移原則即可,屬于??碱}型.4.已知圓的方程為,點在直線上,則圓心到點的最小距離為( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由圓的方程,得到圓心坐標,根據(jù)點到直線距離公式,求出圓心到直線的距離,即可得出結(jié)果.【詳解】因為圓的方程為,所以其圓心坐標為,又在直線上,所以求圓心到點的最小距離,即是求圓心到直線的距離,由點到直線距離公式可得:.故選C【點睛】本題主要考查圓心到直線上一點距離的最值問題,熟記點到直線距離公式即可,屬于??碱}型.5.在等比數(shù)列中,則( )A. 3B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先設(shè)等比數(shù)列的公
4、比為,根據(jù)題中條件判斷公比為正,再由等比數(shù)列的性質(zhì),即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,因為,所以,又,所以.故選A【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì),熟記等比數(shù)列性質(zhì)即可,屬于基礎(chǔ)題型.6.甲,乙,丙,丁四名學生,僅有一人閱讀了語文老師推薦的一篇文章.當它們被問到誰閱讀了該篇文章時,甲說:“丙或丁閱讀了”;乙說:“丙閱讀了”;丙說:“甲和丁都沒有閱讀”;丁說:“乙閱讀了”.假設(shè)這四名學生中只有兩人說的是對的,那么讀了該篇文章的學生是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】【分析】分別假設(shè)甲閱讀,乙閱讀,丙閱讀,丁閱讀,結(jié)合題中條件,即可判斷出結(jié)果.【詳解】若甲閱讀了語文
5、老師推薦的文章,則甲、乙、丙、丁說的都不對,不滿足題意;若乙閱讀了語文老師推薦的文章,則甲、乙說的都不對,丙、丁都正確;滿足題意;若丙閱讀了語文老師推薦的文章,則甲、乙、丙說的都對,丁說的不對,不滿足題意;若丁閱讀了語文老師推薦的文章,則甲說的對,乙、丙、丁說的都不對,不滿足題意;故選B【點睛】本題主要考查邏輯推理的問題,推理案例是常考內(nèi)容,屬于基礎(chǔ)題型.7.已知是兩條不重合的直線,是兩個不重合的平面,下列命題正確的是( )A. 若,則B. 若,則C. 若,則D. 若,則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間中線線、線面位置關(guān)系,逐項判斷即可得出結(jié)果.【詳解】A選項,若,則或與相交;故A錯;B選項
6、,若,則,又,是兩個不重合的平面,則,故B正確;C選項,若,則或或與相交,又,是兩個不重合的平面,則或與相交;故C錯;D選項,若,則或或與相交,又,是兩個不重合的平面,則或與相交;故D錯;故選B【點睛】本題主要考查與線面、線線相關(guān)的命題,熟記線線、線面位置關(guān)系,即可求解,屬于??碱}型.8.已知函數(shù)(表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)),若函數(shù)的零點為,則( )A. B. -2C. D. 【答案】B【解析】【分析】先對函數(shù)求導(dǎo),判斷函數(shù)單調(diào)性,再根據(jù)函數(shù)零點存在性定理,確定的大致范圍,求出,進而可得出結(jié)果.【詳解】因為,所以在上恒成立,即函數(shù)在上單調(diào)遞增;又,所以在上必然存在零點,即,因此,所以.故選B【
7、點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,以及函數(shù)的零點,熟記導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性,以及零點的存在性定理即可,屬于??碱}型.9.一般來說,一個班級的學生學號是從1 開始的連續(xù)正整數(shù),在一次課上,老師隨機叫起班上8名學生,記錄下他們的學號是:3、21、17、19、36、8、32、24,則該班學生總數(shù)最可能為( )A. 39人B. 49人C. 59人D. 超過59人【答案】A【解析】【分析】根據(jù)隨機抽樣中,每個個體被抽到的機會都是均等的,得到每十個個體被抽到的機會也是均等的,結(jié)合題中數(shù)據(jù),即可估計出結(jié)果.【詳解】因為隨機抽樣中,每個個體被抽到的機會都是均等的,所以,.,每組抽取的人數(shù),理論上應(yīng)均等;又所抽
8、取的學生的學號按從小到大順序排列為3、8、17、19、21、24、32、36,恰好使,四組中各有兩個,因此該班學生總數(shù)應(yīng)為40左右;故選A【點睛】本題主要考查簡單隨機抽樣,熟記隨機抽樣的特征即可,屬于基礎(chǔ)題型.10.已知為等邊三角形所在平面內(nèi)的一個動點,滿足,若,則( )A. B. 3C. 6D. 與有關(guān)數(shù)值【答案】C【解析】【分析】以中點為坐標原點,以方向為軸正方向,方向為軸正方向,建立平面直角坐標系,結(jié)合圖像,根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義,即可求出結(jié)果.【詳解】如圖:以中點為坐標原點,以方向為軸正方向,方向為軸正方向,建立平面直角坐標系,因為,則,因為為等邊三角形所在平面內(nèi)的一個動點,滿足,所
9、以點在直線,所以在方向上的投影為,因此.故選C【點睛】本題主要考查向量的數(shù)量積運算,通??捎米鴺讼档姆椒ㄌ幚恚煊浵蛄繑?shù)量積的幾何意義與運算法則即可,屬于常考題型.11.已知,為雙曲線的左、右焦點,直線與雙曲線的一個交點在以線段為直徑的圓上,則雙曲線的離心率為( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由題意得到,不妨令在第一象限內(nèi),再得到為等邊三角形,求出,結(jié)合雙曲線的定義,即可求出結(jié)果.【詳解】因為直線與雙曲線的一個交點在以線段為直徑的圓上,所以,不妨令在第一象限內(nèi),又為中點,所以,因為直線的傾斜角為,所以為等邊三角形,所以,因此,在中,由雙曲線的定義可得:,所以雙曲線的離心
10、率為.故選C【點睛】本題主要考查求雙曲線的離心率,熟記雙曲線的簡單性質(zhì)以及雙曲線的定義即可,屬于??碱}型.12.已知函數(shù),若對任意,都有成立,則實數(shù)的取值范圍是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先令,根據(jù)題中條件得到在上恒成立,轉(zhuǎn)化為在上恒成立;令,用導(dǎo)數(shù)的方法求出最小值,即可得出結(jié)果.【詳解】令,則,因為對任意,都有成立,所以在上恒成立;即在上恒成立;即在上恒成立;令,則,由得,解得(舍)或,所以,當時,單調(diào)遞減;當時,單調(diào)遞增;所以,因為在上恒成立,所以只需,解得.故選D【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的問題,通常需要用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性
11、、最值等,屬于常考題型.第卷(共90分)二、填空題(每題5分,滿分20分,將答案填在答題紙上)13.已知是定義域為的奇函數(shù),且滿足,當時,則_【答案】【解析】【分析】先由得到的最小正周期為2,再由函數(shù)為奇函數(shù),結(jié)合題中解析式,即可求出結(jié)果.【詳解】因為滿足,所以,因此的最小正周期為2;又是定義域為的奇函數(shù),當時,所以.故答案為【點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性與周期性的應(yīng)用,熟記函數(shù)的奇偶性與周期性即可,屬于??碱}型.14.設(shè),則_【答案】【解析】【分析】分別令和,得到兩式,兩式相加,即可求出結(jié)果.【詳解】由題意,令得,令得,兩式相加得,所以.故答案為【點睛】本題主要考查二項式定理,用賦值法處理即
12、可,屬于??碱}型.15.在中,內(nèi)角的對邊分別為,若,且的面積為,則最小值為_【答案】48【解析】【分析】根據(jù)條件和余弦定理,求得,進而可得。結(jié)合三角形面積公式,可得,代入條件式可得 的關(guān)系,結(jié)合不等式即可求得的最小值?!驹斀狻吭谥?,結(jié)合余弦定理可得 所以由三角形面積公式,可得代入化簡可得 代入中可得因為所以解不等式可得所以最小值為【點睛】本題考查了余弦定理及三角形面積公式,不等式在求最值中的應(yīng)用,屬于中檔題。16.已知邊長為的空間四邊形的頂點都在同一個球面上,若,二面角的余弦值為,則該球的體積為_【答案】【解析】【分析】先由題意得到與均為等邊三角形,取中點,連結(jié),在,上分別取,使得,得到分別為
13、與外接圓圓心,記空間四邊形外接球球心為,得到平面,平面,再由題中數(shù)據(jù),結(jié)合二倍角公式、勾股定理以及球的體積公式,即可求出結(jié)果.【詳解】因為空間四邊形的各邊長均為,又,所以與均為等邊三角形;取中點,連結(jié),在,上分別取,使得,則分別為與外接圓圓心,記空間四邊形外接球球心為,則平面,平面;因為二面角的余弦值為,即,由題意,所以,因為,所以,因此空間四邊形外接球半徑為所以,該球的體積為.故答案為【點睛】本題主要考查幾何體外接球的體積,熟記球的體積公式,結(jié)合題中條件即可求解,屬于??碱}型.三、解答題 (本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.) 17.已知等差數(shù)列的前項和為,滿
14、足,且成等比數(shù)列.(1)求及;(2)設(shè),數(shù)列的前項和為,求.【答案】(1) 或;或;(2)或;【解析】【分析】(1)先設(shè)等差數(shù)列的公差為,根據(jù)題中條件列出方程組,求出首項和公差,結(jié)合公式即可求出結(jié)果;(2)先由(1)得到,再由錯位相減法,即可求出結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,因為,且成等比數(shù)列,所以有,即,解得或,;所以或;或;(2)由(1)可得,若,則,因為數(shù)列的前項和為,所以,因此,兩式作差得,整理得;若,則,則;綜上,或.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列,以及數(shù)列的求和,熟記等差數(shù)列的通項公式、求和公式,以及錯位相減法求數(shù)列的和即可,屬于??碱}型.18.國家學生體質(zhì)健康測試專家組到
15、某學校進行測試抽查,在高三年級隨機抽取100名男生參加實心球投擲測試,測得實心球投擲距離(均在5至15米之內(nèi))的頻數(shù)分布表如下(單位:米):分組頻數(shù)102240208以各組數(shù)據(jù)的中間值代表這組數(shù)據(jù)的平均值,將頻率視為概率.(1)根據(jù)以往經(jīng)驗,可以認為實心球投擲距離近似服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均值,近似為樣本方差,若規(guī)定:時,測試成績?yōu)椤傲己谩保埞浪阍撔8呷昙壞猩鷮嵭那蛲稊S測試成績?yōu)椤傲己谩钡陌俜直?;?)現(xiàn)在從實心球投擲距離在,之內(nèi)的男生中用分層抽樣的方法抽取5人,再從這5人中隨機抽取3人參加提高體能的訓(xùn)練,在被抽取的3人中,記實心球投擲距離在內(nèi)的人數(shù)為,求的概率分布及數(shù)學期望.附:
16、若服從,則,.【答案】(1);(2)分布列見詳解,期望為【解析】【分析】(1)先由頻數(shù)分布表求出樣本均值,再結(jié)合正態(tài)分布的特征,根據(jù)附表中的概率求解,即可得出結(jié)果;(2)先用分層抽樣的方法確定每組所抽的人數(shù),得到的所有可能取值,求出對應(yīng)概率,即可得出分布列與期望.【詳解】(1)由頻數(shù)分布表可得:;又,所以;所以該校高三年級男生實心球投擲測試成績?yōu)椤傲己谩钡陌俜直葹?;?)因為投擲距離在,之內(nèi)的男生共50人,且人數(shù)之比為,又兩組共抽取5人,所以投擲距離在的有1人,投擲距離在的有4人,先從這5人中隨機抽取3人參加提高體能的訓(xùn)練,在被抽取的3人中,記實心球投擲距離在內(nèi)的人數(shù)為,則的可能取值為;所以;
17、因此的分布列為:期望【點睛】本題主要考查正態(tài)分布,以及超幾何分布,熟記正態(tài)分布的特征,以及超幾何分布的分布列與期望的計算方法即可,屬于??碱}型.19.已知為橢圓的右焦點,點在上,且軸,橢圓的離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)若直線與橢圓相交于,兩點,且(為坐標原點),求的取值范圍.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)題意,先求出,再由離心率求出,根據(jù)求出,即可得出橢圓方程;(2)先設(shè),聯(lián)立直線與橢圓方程,結(jié)合韋達定理與,以及判別式大于0,即可求出的取值范圍.【詳解】(1)因為為橢圓的右焦點,點在上,且軸,所以;又橢圓的離心率為,所以,因此,所以橢圓的方程為;(2)設(shè),由得 ,所以
18、,故,由,得,即,整理得,解得;又因,整理得,解得或;綜上,的取值范圍是.【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程,以及根據(jù)直線與橢圓位置關(guān)系求參數(shù)的問題,通常需要聯(lián)立直線與橢圓方程,結(jié)合韋達定理,判別式等求解,屬于??碱}型.20.在三棱錐中,是邊長為4的等邊三角形,平面平面,點為棱的中點,點在棱上且滿足,已知使得異面直線與所成角的余弦值為的有兩個不同的值.(1)求的值;(2)當時,求二面角的余弦值.【答案】(1),;(2)【解析】【分析】先取中點,連結(jié),根據(jù)題意證明,兩兩垂直;以為坐標原點,方向分別為軸,軸,軸正方向,建立空間直角坐標系,由得到的坐標;(1)用向量的方法,結(jié)合題意得到,求出的值,即
19、可得出結(jié)果;(2)由(1)得到,求出平面的一個法向量,根據(jù)題意,再得到為平面的一個法向量,求兩法向量夾角余弦值,即可得出結(jié)果.【詳解】取中點,連結(jié),因為是邊長為4的等邊三角形,所以,;又,所以,;因為平面平面,所以平面,所以,兩兩垂直;以為坐標原點,方向分別為軸,軸,軸正方向,建立如圖所示空間直角坐標系,則有,;因為為棱的中點,所以,又點在棱上且滿足,所以,即;所以;(1)因為,又異面直線與所成角的余弦值為所以,即,整理得,解得或;因為,所以,;(2)由(1)可得,則,又,設(shè)平面的一個法向量為,則有即,令,則,即,又平面,即平面,所以為平面的一個法向量;所以.由圖像易知,二面角銳二面角,所以二
20、面角的余弦值為.【點睛】本題主要考查由異面直線所成的角求其它的量,以及求二面角的問題,靈活掌握空間向量的方法求解即可,屬于??碱}型.21.已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若有兩個極值點,當時,求的最大值.【答案】(1)當時,在上單調(diào)遞增;當時,在,上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減;(2)【解析】【分析】(1)先對函數(shù)求導(dǎo),分別討論和,即可得出結(jié)果;(2)先由(1)得到,對化簡整理,再令,得到,根據(jù)(1)和求出的范圍,再令,用導(dǎo)數(shù)的方法求其最大值,即可得出結(jié)果.詳解】(1)由得;因為,所以;因此,當時,在上恒成立,所以在上單調(diào)遞增;當時,由得,解得或;由得;所以在,上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減;綜上,當時,在上單調(diào)遞增;當時,在,上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減;(2)若有兩個極值點,由(1)可得, 是方程的兩不等實根,所以,因此,令,則;由(1)可知,當時,所以,令,則在上恒成立;所以在上單調(diào)遞減,故.即的最大值為.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,通常需要對函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性、
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