梁彎曲時的位移（6學時）解析

1、第五章 梁彎曲時的位移 (6學時),2,dfafdf,劉升貴 力學系副主任,3,dfafdf,梁彎曲時的位移,5-1 梁的位移撓度及轉(zhuǎn)角 5-2 梁的撓曲線近似微分方程 5-3 按疊加原理計算梁的撓度和轉(zhuǎn)角 5-5 梁的剛度校核.提高彎曲剛度的措施 5-6 梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能,4,dfafdf,5,dfafdf,由于內(nèi)力 是載荷 的線性函數(shù)。,稱為疊加原理,1.疊加原理（對線彈性材料，小變形）,因此,同理， 結(jié)構(gòu)中的位移 （ 如 ） 也是 載荷的線性函數(shù)，故也有,2. 彎曲位移計算的載荷疊加法,5-3 按疊加原理計算梁的撓度和轉(zhuǎn)角,6,dfafdf,疊加法求彎曲變形,疊加原理,=,+,幾個載荷共

2、同作用的效果，等于各個載荷單獨效果之和,疊加原理成立的前提條件： （1）小變形 （2）材料滿足虎克定理（線性本構(gòu)關(guān)系）,“效果”指載荷引起的反力、內(nèi)力、應(yīng)力或變形,“之和”代數(shù)和,7,dfafdf,疊加法求彎曲變形,在材料服從胡克定律、且變形很小的前提下, 載荷與它所引起的變形(撓度和轉(zhuǎn)角)成線性關(guān)系。,當梁上同時作用幾個載荷時，各個載荷所引起的變形是各自獨立的，互不影響。若計算幾個載荷共同作用下在某截面上引起的變形，則可分別計算各個載荷單獨作用下的變形，然后疊加。,8,dfafdf,求圖示梁的, 例題1,9,dfafdf,例2 按疊加原理求A點轉(zhuǎn)角和C點撓度。,解、載荷分解如圖,由梁的簡單載

3、荷變形表，查簡單載荷引起的變形。,q,F,F,=,+,A,A,A,B,B,B,C,a,a,10,dfafdf, 疊加,F,11,dfafdf,例3：求,12,dfafdf,例4：求,13,dfafdf,例5 按疊加原理求C點撓度,14,dfafdf,結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法) 原理說明。,=,+,f2,15,dfafdf,F2=2kN,例6 下圖為一空心圓桿，內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm,桿的E=210GPa，求C點的撓度,B點的轉(zhuǎn)角。,=,+,+,=,16,dfafdf,=,+,+,圖1,圖2,圖3,解：結(jié)構(gòu)變換，查表求簡單 載荷變形。,A,17,dfafdf,=,+,+,圖1,

4、圖2,圖3,F2=2kN,A, 疊加求復雜載荷下的變形,18,dfafdf,19,dfafdf,例：用疊加法求,20,dfafdf,解：,21,dfafdf,例：欲使AD梁C點撓度為零，求P與q的關(guān)系。,22,dfafdf,解：,23,dfafdf,例：若圖示梁B端的轉(zhuǎn)角B=0，則力偶矩等于多少？,24,dfafdf,解：,25,dfafdf,. 梁的剛度校核,對于產(chǎn)生彎曲變形的桿件，在滿足強度條件的同時，為保證其正常工作還需對彎曲位移加以限制，即還應(yīng)該滿足剛度條件(stiffness condition)：,式中，l為跨長， 為許可的撓度與跨長之比(簡稱許可撓跨比)，q為許可轉(zhuǎn)角。上列剛度條

5、件常稱之為梁的剛度條件。,5-5 梁的剛度校核提高彎曲剛度的措施,26,dfafdf,土建工程中通常只限制梁的撓跨比， 。在機械工程中，對于主要的軸， ；對于傳動軸還要求限制在安裝齒輪處和軸承處的轉(zhuǎn)角， 。,27,dfafdf,例題1 圖a所示簡支梁由兩根槽鋼組成(圖b)，試選擇既滿足強度條件又滿足剛度條件的槽鋼型號。已知=170 MPa，=100 MPa，E=210 GPa， 。,28,dfafdf,解：一般情況下，選擇梁的截面尺寸或選擇型鋼的型號時，先按正應(yīng)力強度條件選擇截面尺寸或型鋼型號，然后按切應(yīng)力強度條件以及剛度條件進行校核，必要時再作更改。,29,dfafdf,1. 按正應(yīng)力強度條

6、件選擇槽鋼型號,作梁的剪力圖和彎矩圖,Mmax=62.4 kNm,30,dfafdf,由型鋼表查得20a號槽鋼其Wz=178 cm3,超過許用彎曲正應(yīng)力的百分數(shù)為(175-170)/1703%，未超過5%，故允許。事實上即使把梁的自重 (222.63 kg/m=0.4435 kg/m)考慮進去，超過許用彎曲正應(yīng)力的百分數(shù)仍不到5%。,現(xiàn)加以檢驗：,31,dfafdf,2. 按切應(yīng)力強度條件校核,最大剪力FS,max=138 kN,32,dfafdf,其值小于許用切應(yīng)力t=100 MPa，故選用20a號槽鋼滿足切應(yīng)力強度條件。,每根20a號槽鋼對中性軸的慣性矩由型鋼表查得為 Iz =1780 c

7、m4,于是,33,dfafdf,3. 按剛度條件校核,此簡支梁上各集中荷載的指向相同，故可將跨中截面C的撓度wC作為梁的最大撓度wmax。查表得跨中撓度wC的計算公式為,可見，對于此梁上的左邊兩個集中荷載，應(yīng)為,34,dfafdf,于是由疊加原理可得,而許可撓度為,由于wmaxw，故選用20a號槽鋼滿足剛度條件。,35,dfafdf,. 提高梁的剛度的措施,(1) 增大梁的彎曲剛度EI,由于不同牌號的鋼材它們的彈性模量E大致相同(E210 GPa)，故從增大梁的彎曲剛度來說采用高強度鋼并無明顯好處。為增大鋼梁的彎曲剛度，鋼梁的橫截面均采用使截面面積盡可能分布在距中性軸較遠的形狀，以增大截面對于

8、中性軸的慣性矩Iz，例如工字形截面和箱形截面。,36,dfafdf,跨長為l 的簡支梁受集度為q的滿布均布荷載時，最大彎矩和最大撓度均出現(xiàn)在跨中，它們分別為,(2) 調(diào)整跨長和改變結(jié)構(gòu)的體系,37,dfafdf,如果將兩個鉸支座各內(nèi)移一個距離a而成為如圖a所示的外伸梁，且a=0.207l，則不僅最大彎矩減小為,而且跨中撓度減小為,(a),38,dfafdf,而此時外伸端D和E的撓度也僅為,39,dfafdf,所謂改變結(jié)構(gòu)的體系來提高梁的剛度在這里是指增加梁的支座約束使靜定梁成為超靜定梁，例如在懸臂梁的自由端增加一個鉸支座，又例如在簡支梁的跨中增加一個鉸支座。,40,dfafdf,等直梁在線彈性

9、范圍內(nèi)工作時，由于作用在梁上的外力作功而在梁內(nèi)蓄積的彎曲應(yīng)變能Ve，并利用功能原理來求梁在簡單荷載情況下的位移。,等直梁在線彈性范圍內(nèi)純彎曲時(圖a)，其曲率 為常量，撓曲線為一圓弧，梁的兩個端面在梁彎曲后對應(yīng)的圓心角為,5-6 梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能,41,dfafdf,(a),42,dfafdf,(b),圖b示出了Me與q 的上列線性關(guān)系。圖b中斜直線下的三角形面積即代表外力偶之矩由零增大到最終值 Me 過程中，外力偶所作的功：,它在數(shù)值上就等于梁在純彎曲時的應(yīng)變能：,將 代入上式可得,43,dfafdf,梁在橫力彎曲時，既有與彎曲變形相應(yīng)的彎曲正應(yīng)變能，又有與 剪切變形相應(yīng)的剪切應(yīng)變能。但如同在5-2開始時所述，工程中常用 的梁其剪切變形對位移的影響通常很小，可略去不計。梁在橫力彎曲 時其長為dx的微段內(nèi)的彎曲應(yīng)變能為,44,dfafdf,從而全梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能為,式中，M(x)為任一橫截面上彎矩的表達式，亦即彎矩方程。,此式在求梁系(如兩根交叉在一起的梁)的位移等時是有用的,順便指出，由于直梁橫力彎曲時， ，因此上式也可寫作,45,dfafdf,例題 求圖示等直梁的彎曲應(yīng)變能Ve，并利用功能原理求自由端A的撓度wA