正弦定理余弦定理及其運用

1、正弦定理、余弦定理及其運用,一、考綱解讀：,在課標及教學(xué)要求中對正弦定理、余弦定理的要求均為理解。在高考試題中，出現(xiàn)的有關(guān)試題大多為容易題，主要考查正弦定理、余弦定理及利用三角公式進行恒等變換的技能及運算能力，以化簡、求值或判斷三角形形狀為主。,二、正弦定理及其變形：,( 其中 R是,外接圓的半徑）,1、已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；(三角形形狀唯一） 2、已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角。（三角形形狀不一定唯一）,解決題型：,三、余弦定理及其變形：,解決題型：,1、已知三邊，求三個角；（只有一解） 2、已知兩邊和它們的夾角，求第三邊 和其他兩個角。（只有一解）,四、實際應(yīng)用問題

2、中的基本概念和術(shù)語,仰角和俯角是與目標視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，其中目標視線在水平線上方時叫仰角；目標視線在水平線下方時叫俯角。 方位角：一般指北方向線順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角。,(某學(xué)生的解）,五、例題講解,錯因分析：,因為,是銳角三角形，則要求,前面解法忽視了對,的討論。,正確解答,即,若這個三角形有兩解，求,的取值范圍。,例2.,解得情況如下：,A,B,C,b,a,A,B,B,C,A,B,C,C,B,A,上表中A為銳角時，,A為直角時，,均無解。,時，無解；,解法一：原式可化為,即：,整理得：,即,是等腰三角形或是直角三角形。,解法二：原式可化為,化簡得：,也即

3、,即,是等腰三角形或是直角三角形。,判斷三角形形狀時，可以將邊化到角也可以,將角化到邊，或邊角同時互化。在轉(zhuǎn)化過程,中，三角形邊角具有的基本性質(zhì)不能忘記。,如內(nèi)角和為,，每個內(nèi)角大于,等。,點評：,且滿足,求證：,例四：,證明：,點評:本題通過基本不等式的運用構(gòu)造不等關(guān)系，再利用三角形的內(nèi)角具有的范圍，得到結(jié)論.,例五、如圖所示，某海島上一觀察哨A上午,12時20分測得船在海島北偏西,12時40分輪船到達位于海島正西方且距海,如果輪船始終勻速直線前,的B處，,11時測得一輪船在海島北偏東,的C處，,的E港口，,進，問船速多少？,分析：,已知從C到B及B到E的時間，要知船速度， 只需知道CB,B

4、E或CE中的任一長度即可。 題中只知AE=5km，那么只要將已知長度的邊長和需要計算的那個邊長納入到同一個三角形中，或是通過間接的途徑納入到同一個三角形中，再通過正弦定理或余弦定理進行計算即可。,解：輪船從C到B用時80分鐘，,從B到E用時20,分鐘， 而船始終勻速前進，由此,可見：,設(shè),，則,，由已知得,在,中，由正弦定理,在,中，由正弦定理得：,在,中，由余弦定理得：,所以船速,六、高考題再現(xiàn)：,1.（山東理）已知,的對邊，向量,若,且,則角B= ,三個內(nèi)角,分析：求邊長，考慮將角向邊轉(zhuǎn)化。,3.（浙江理）,在,中，三個內(nèi)角,所對的邊分別為,且滿足,(1)求,的面積；,（2）若,求,的值.,分析：利用倍角公式求出A的三角函數(shù)值，,4.（2010江蘇）在銳角三角形,的對邊分別為,則, ,小結(jié)：,處理三角形問題，必須結(jié)合三角形全等的判定定理理解斜