材料力學(xué) 扭轉(zhuǎn)

1、第五章 扭 轉(zhuǎn),5-1 扭轉(zhuǎn)的概念,一、扭轉(zhuǎn)的概念及實例,汽車的轉(zhuǎn)向操縱桿,絲錐、電動機軸,cl5tu1,受力特征：桿受一對大小相等、方向相反的 力偶，力偶作用面垂直于軸線。 變形特征：橫截面繞軸線轉(zhuǎn)動。,cl5tu2,二、外力偶矩的計算,設(shè)某輪所傳遞的功率是n kw，軸的轉(zhuǎn)速是 n rpm,cl5tu18,5-2 扭矩和扭矩圖,扭矩,cl5tu6,例： 圖示傳動軸，主動輪a輸入功率na=50 馬力，從動輪b、c、d輸出功率分別為 nb=nc=15馬力 ，nd=20馬力，軸的轉(zhuǎn)速為n=300轉(zhuǎn)/分。作軸的扭矩圖。,cl5tu3,解：,5-3 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)實驗,一、薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力分析 等厚

2、度的薄壁圓筒,平均半徑為 r,壁厚為 t,cl5tu4,受扭前在其表面上用圓周線和縱向線畫成方格,然后加載。,(1) 縱向線傾斜了同一微小角度 (2) 圓周線的形狀、大小及圓周線之間的距離沒有改變 根據(jù)以上實驗現(xiàn)象,可得結(jié)論： 圓筒橫截面上沒有正應(yīng)力，只有剪應(yīng)力。剪應(yīng)力在截面上均勻分布，方向垂直于半徑。,觀察到如下現(xiàn)象：,剪應(yīng)力在截面上均勻分布，方向垂直于半徑,根據(jù)精確的理論分析,當tr/10時,上式的誤差不超過4.52%,是足夠精確的。,二、剪應(yīng)力互等定理,cl5tu7,微元體 單元體,剪應(yīng)力互等定理 : 在相互垂直的兩個平面上,剪應(yīng)力一定成對出現(xiàn)，其數(shù)值相等，方向同時指向或背離兩平面的交線

3、。,三、剪切胡克定律,cl5tu8,薄壁圓筒的實驗, 證實了剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間存在著象拉壓胡克定律類似的關(guān)系, 即當剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限p時,剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比,g稱為材料的剪切彈性模量。上式關(guān)系稱為剪切胡克定律。,剪切彈性模量g 材料常數(shù)：拉壓彈性模量e 泊松比,對于各向同性材料,可以證明:e、g、 三個彈性常數(shù)之間存在著如下關(guān)系,5-4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形,一、圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力,變形幾何關(guān)系 從三方面考慮：物理關(guān)系 靜力學(xué)關(guān)系,cl5tu5,觀察到下列現(xiàn)象: (1)各圓周線的形狀、大小以及兩圓周線間的距離沒有變化 (2)縱向線仍近似為直線, 但都傾斜了同一角度,1.

4、變形幾何關(guān)系,平面假設(shè)： 變形前為平面的橫截面變形后仍為平面，它像剛性平面一樣繞軸線旋轉(zhuǎn)了一個角度。,cl5tu5,cl5tu5,根據(jù)剪切胡克定律, 當剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時,剪應(yīng)力方向垂直于半徑,2. 物理關(guān)系,3.靜力學(xué)關(guān)系,cl5tu9,cl5tu5,二、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形,cl5tu5,圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度條件和剛度條件,例：實心圓軸受扭，若將軸的直徑減小一半時，橫截面的最大剪應(yīng)力是原來的 倍？圓軸的扭轉(zhuǎn)角是原來的 倍？,8,16,例：圖示鑄鐵圓軸受扭時，在 面上發(fā)生斷裂，其破壞是由 應(yīng)力引起的。在圖上畫出破壞的截面。,cl5tu10,45 螺旋,最大拉,例：內(nèi)外徑分別為20mm和

5、40mm的空心圓截面軸，受扭矩t=1knm作用，計算橫截面上a點的剪應(yīng)力及橫截面上的最大和最小剪應(yīng)力。,cl5tu11,解：,例：一直徑為d1的實心軸，另一內(nèi)外徑之比d2d20.8的空心軸，若兩軸橫截面上的扭矩相同，且最大剪應(yīng)力相等。求兩軸外直徑之比d2/d1。,解：由,得：,例：在強度相同的條件下，用d/d=0.5的空心圓軸取代實心圓軸，可節(jié)省材料的百分比為多少?,解：設(shè)實心軸的直徑為 d1 ，由,得：,0.8,0.8,1.192,0.8,0.512,例：一厚度為30mm、內(nèi)直徑為230mm 的空心圓管，承受扭矩t=180 knm 。試求管中的最大剪應(yīng)力，使用： (1)薄壁管的近似理論； (

6、2)精確的扭轉(zhuǎn)理論。,解：(1) 利用薄壁管的近似理論可求得,(2) 利用精確的扭轉(zhuǎn)理論可求得,例：一空心圓軸，內(nèi)外徑之比為=0.5，兩端受扭轉(zhuǎn)力偶矩作用，最大許可扭矩為，若將軸的橫截面面積增加一倍，內(nèi)外徑之比仍保持不變，則其最大許可扭矩為的多少倍？（按強度計算）。,解：設(shè)空心圓軸的內(nèi)、外徑原分別為d、d，面 積增大一倍后內(nèi)外徑分別變?yōu)閐1 、 d1 ，最 大許可扭矩為1,例：一空心軸=d/d=0.8，轉(zhuǎn)速n=250r/m, 功率n=60kw，=40mpa，求軸的外直徑d和內(nèi)直徑d。,解：,例：水平面上的直角拐，ab段為圓軸，直徑為 d，在端點c受鉛垂力p作用，材料的剪切彈性模量為g，不計bc

7、段變形。求c點的鉛垂位移。,cl5tu12,解：,例：已知一直徑d=50mm的鋼制圓軸在扭轉(zhuǎn)角為 6時，軸內(nèi)最大剪應(yīng)力等于90mpa，g=80gpa。求該軸長度。,解：,例：圓截面橡膠棒的直徑d=40mm,受扭后,原來表面上的圓周線和縱向線間夾角由 90變?yōu)?88。如桿長 l=300mm，試求兩端截面間的扭轉(zhuǎn)角；如果材料的剪變模量g=2.7mpa，試求桿橫截面上最大剪應(yīng)力和桿端的外力偶矩。,cl5tu13,解：由,例：傳動軸傳遞外力偶矩5knm,材料的=30mpa, g=80gpa, =0.5/m,試選擇軸的直徑。,解：,例：一圓鋼管套在一實心圓鋼軸上，長度均為，鋼管與鋼軸材料相同，先在實心圓

8、軸兩端加外力偶矩，使軸受扭后，在兩端把管與軸焊起來，去掉外力偶矩。求此外管與內(nèi)軸的最大剪應(yīng)力。,cl5tu14,解：外管與內(nèi)軸承受的扭矩相等，設(shè)為t,例：兩端固定的圓截面等直桿ab，在截面c受外力偶矩m作用，試求桿兩端的支座反力偶矩。,cl5tu15,解：,靜力平衡方程為：,變形協(xié)調(diào)條件為：,即：,作業(yè)：（p68-71） 3、4、6、8、10、11、17、19,5-6 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念,圓截面桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形公式,均建立在平面假設(shè) 的基礎(chǔ)上。 對于非圓截面桿,受扭時橫截面不再保持為平面，桿的橫截面已由原來的平面變成了曲面。這一現(xiàn)象稱為截面翹曲。 因此,圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力、變形公式對非圓截面桿均不適用。,cl5tu20,非圓截面桿在扭轉(zhuǎn)時有兩種情形:,cl5tu21,1.自由扭轉(zhuǎn)或純扭轉(zhuǎn) 在扭轉(zhuǎn)過程中,桿的各橫截面的翹曲不受任何約束,任意兩相鄰橫截面的翹曲程度完全相同。此時橫截面只有剪應(yīng)力,而沒有正應(yīng)力。,2.約束扭轉(zhuǎn) 扭轉(zhuǎn)時,由于桿的端部支座的約束,使桿件截面翹曲受到一定限制,而引起任意兩相鄰橫截面的翹曲程度不同,將在橫截面上產(chǎn)生附加的正應(yīng)力。,cl5tu21,對于矩形和橢圓形的實體截面桿，由