數(shù)學建模++防洪物資調運問題

1、目 錄摘 要2一、問題重述與分析31、問題的重述32、問題分析3二、模型假設與符號說明41、模型假設42、符號說明4三、模型的分析、建立與求解51、關于問題（1）的分析與求解：52、關于問題（2）模型的分析、建立和求解63、關于問題（3）的分析與求解：114、關于問題（4）的分析和模型的建立、求解：14四、模型的評價與改進17參考文獻：17附錄18摘 要防洪物資調運問題實質是個運籌學網(wǎng)絡規(guī)劃中的最短路問題。由于災害發(fā)生地點和時間具有較大隨機性，結合實際情況，我們對其建立了相應的模型。前三問是提前做好物資的儲備，所以我們假設時間相對較寬裕。將運輸分為三個階段，分別為：“使儲備庫優(yōu)先達到預測庫存”

2、、“使各庫存都達到預測值”和“使各庫存在允許最大庫存范圍內盡可能的多”。使用圖論中的方法將交通網(wǎng)絡圖轉化成數(shù)學圖形，并用floyd算法求出企業(yè)至各儲備庫及倉庫的運輸資金最少的各條路線，即將高等公路轉化為普通路線后的等效最短路線。第一階段：使儲備庫達到預測值，以總運費最少為目標建立模型，求出具體調運量。第二階段：達到預測庫存前以調運時間最少為目標建立模型，求出每條路線前期的調運量。再按照以當天庫存與預測庫存相對差值的最大值盡可能小為原則建立模型，如果相對差值相同，遠距離優(yōu)先運輸建立模型，求出各路線每天的具體調運量。第三階段：達到預測后以調運費用最少為目標建立模型，求出每條路線后期的調運量。在同等

3、考慮儲備庫的情況下，以同樣的原則建立模型，求出各路線每天的具體調運量。同時根據(jù)問題三的要求，求得20天后各倉庫和儲存庫的物資量如下表所示：儲備庫1儲備庫2倉庫1倉庫2倉庫331592500697698455倉庫4倉庫5倉庫6倉庫7倉庫8350777379559606問題四中的緊急調運的問題，我們的首要目標是使防洪物資盡可能早的運輸?shù)絻鋷旒皞}庫。此時，我們不再考慮運費資金問題，以實際路程最短為目標求出各企業(yè)與倉庫間的最優(yōu)路線。同樣將運輸分為兩個階段（第一階段為到達庫存前，第二階段達到預測庫存后）都以調運時間最短即以最短路為目標建立模型，求出各路線的調運量。本文通過以上模型結合處理實際問題時目標

4、不同，分別求出了合理的運輸路線和調運量以及調運時間和費用，同時還考慮到路線中斷等其它情況，具有較大的靈活性和實用性。關鍵詞防洪物資調運 線性規(guī)劃模型 lingo軟件 floyd算法一、問題重述與分析1、問題的重述我國是一個氣候多變的國家，各種自然災害頻頻發(fā)生，其中各流域的洪澇災害尤其嚴重。為了盡可能的減小國家和人民的損失，各級政府通過氣象預報及歷史經(jīng)驗要提前做好防洪物資的儲備工作。該地區(qū)生產(chǎn)該物資的三家企業(yè)和八個大小物資倉庫、兩個國家級儲備庫，以及附件1中各庫庫存、需求情況和附件2中其分布情況。另外已知各路段的運輸成本，高等級公路2元/公里百件，普通公路1.2元/公里百件。研究如下問題：（1）

5、根據(jù)附件2中給出的生產(chǎn)企業(yè)、物資倉庫及國家級儲備庫分布圖，建立該地區(qū)交通網(wǎng)數(shù)學模型。（2）在優(yōu)先保證國家級儲備庫的情況下，建立一種調運量及調運路線的方案模型。（3）根據(jù)自己所建立的調運方案，求出20天后各庫存量。31239-2726-2511-14-（4）如果汛期下列路段因洪水交通中斷，能否用問題二的模型解決緊急調運的問題，如果不能，請修改你的模型。中斷路段： ， ， ， 2、問題分析（1） 我們可以根據(jù)題目及附件2的數(shù)據(jù)信息加以分析，把實際圖形（曲線圖）轉化為理想的純數(shù)學圖，再根據(jù)圖論知識，想辦法把理想的純數(shù)學圖放在圖論中，加以假設，從而得到可以求解的數(shù)學模型。（2） 合理的調運方案實際上就

6、是在滿足倉庫、儲備庫各自的需求下，要求總運費最少，其實是一個線性規(guī)劃問題。路線可以根據(jù)模型圖統(tǒng)計出來。（3） 20天后，先求出每個企業(yè)總的生產(chǎn)量，根據(jù)（2）的方案得出各個庫的物質量。（4） 根據(jù)（2）的調運方案中的調運路線看是否經(jīng)過斷橋的地方，如果不經(jīng)過（2）的調運方案是可行的，如果經(jīng)過那么要再考慮其它的路線，我們可以在圖一的模型中去掉橋所對應的邊，再重復（2）的步驟求解。二、模型假設與符號說明1、模型假設1.假定該預測值是科學的可靠的。2.假設公路交匯點27為儲備庫1，交匯點30為儲備庫2，將交匯點15與28之間的交匯點9改為42。（參考資料2）3.假設車輛在高等級公路和普通公路的調運速度相

7、同。4.假設政府有能力雇傭足夠多的車輛將每天所要運的物資一次性的運往目的地。5.假設每次調運均以百件為單位。6.為了表述方便假設將兩儲備庫分別處理為倉庫9、10。2、符號說明：表示企業(yè)的日產(chǎn)量；：倉庫的預測庫存；：表示企業(yè)的現(xiàn)有庫存；：表示倉庫的預測庫存；：表示第天倉庫的庫存量；：表示第天倉庫的相對差量；：表示企業(yè)向倉庫的調運量；：八天后企業(yè)運往倉庫的總量；：第天相對差量（）的最大值；：表示第個企業(yè)在第天運往第個倉庫的量；：表示處理后企業(yè)到倉庫的最短路程；三、模型的分析、建立與求解1、關于問題（1）的分析與求解：要求建立公路交通網(wǎng)數(shù)學模型，即用數(shù)學語言來描述各段公路的距離。附件2中的點經(jīng)過假設

8、處理后，得到42個公路交匯點，其中包括三個企業(yè)、八個倉庫和兩個儲備庫等。我們用兩個頂點及邊線圖表來描述這個交通網(wǎng)，把兩點之間有直接公路連接的描述為如下表格（頂點無向圖）： 表-1：起點終點路程起點終點路程起點終點路程起點終點路程1240.00 10780.00 202280.00 313250.00 13360.00 101252.00 202450.00 323150.00 13445.00 11653.33 212245.00 323425.00 2140.00 111593.33 221972.00 323598.00 2335.00 112566.67 222080.00 323868

9、.00 2750.00 112780.00 222145.00 323962.00 2962.00 121052.00 231450.00 33160.00 3235.00 121380.00 231665.00 333640.00 31042.00 131280.00 231752.00 333738.00 33650.00 132068.00 231845.00 34145.00 4516.67 132783.34 242050.00 343225.00 4630.00 14860.00 242630.00 353298.00 42966.67 141793.34 251166.67 35

10、39170.00 43070.00 142350.00 251546.00 36350.00 5416.67 15863.33 251850.01 363340.00 5646.67 151193.33 252618.00 373338.00 539141.67 151858.00 261928.00 373835.00 54063.33 152546.00 262430.00 383268.00 6430.00 154228.00 262518.00 383735.00 6546.67 1618125.00 262770.00 395141.67 61153.33 162058.00 277

11、116.69 393015.00 64030.00 162365.00 27940.00 393262.00 64148.00 171493.34 271180.00 3935170.00 7250.00 172352.00 271383.34 40563.33 71080.00 181558.00 272670.00 40630.00 727116.69 1816125.00 274053.33 40928.00 81460.00 181922.00 28883.33 402753.33 81563.33 182345.00 282960.00 41648.00 82883.33 18255

12、0.01 284242.00 414226.00 9262.00 191822.00 29466.67 421528.00 92740.00 192272.00 292860.00 422842.00 93152.00 192628.00 30470.00 424126.00 94028.00 201368.00 303915.00 10342.00 201658.00 31952.00 2、關于問題（2）模型的分析、建立和求解由于發(fā)洪水具有隨機性，為有效預防，要在最短的時間里保證各倉庫的預測庫存，也就是說在達到預測庫存前我們以時間為第一目標建立模型。而在達到預測庫存后，各地區(qū)已有一定的防備能

13、力，所以我們以經(jīng)濟為第一目標建立模型。首先進行數(shù)據(jù)處理，將高等級公路長度按運費折算成普通公路的等效長度，采用floyd算法用c語言編程求出各企業(yè)到各倉庫等效路程最短的路線。其結果如下： 表-2：起點目的地路程最優(yōu)路線企業(yè)1儲備庫110024-26-27儲備庫226824-26-25-11-6-4-30倉庫116424-26-25-15-42-28倉庫212524-26-19-18-23倉庫334024-26-27-9-31-32-35倉庫419224-26-27-9-31倉庫513024-20-22倉庫628724-26-27-9-2-3-36倉庫722424-26-25-15-42-28-2

14、9倉庫831024-26-27-9-31-32-38企業(yè)2儲備庫1131.341-6-40-27儲備庫214841-6-4-30倉庫16841-42-28倉庫215741-42-15-18-23倉庫330641-6-40-9-31-32-35倉庫415841-6-40-9-31倉庫520641-42-15-18-19-22倉庫625341-6-40-9-2-3-36倉庫712841-42-28-29倉庫827641-6-40-9-31-32-38企業(yè)3儲備庫116134-32-31-9-27儲備庫215234-32-39-30倉庫1298.734-32-39-30-4-29-28倉庫23323

15、4-32-31-9-27-26-19-18-23倉庫312334-32-35倉庫47534-32-31倉庫533734-32-31-9-27-21-19-22倉庫614534-1-33-36倉庫7238.6734-32-39-30-4-29倉庫89334-32-38倉庫3儲備庫124035-32-31-9-27儲備庫217535-32-39-30倉庫1371.6735-32-39-30-4-29-28倉庫240535-32-31-9-27-26-19-18-23倉庫414835-32-31倉庫541035-32-31-9-27-26-19-22倉庫626835-32-34-1-33-36倉庫7

16、311.6735-32-39-30-4-29倉庫816635-32-38倉庫5儲備庫117022-19-26-27儲備庫233822-19-26-25-11-6-4-30倉庫122222-19-18-15-42-28倉庫213922-19-18-23倉庫341022-19-26-27-9-31-32-35倉庫426222-19-26-27-9-31倉庫635722-19-26-27-9-2-3-36倉庫728222-19-18-15-42-28-29倉庫838022-19-26-27-9-31-32-38第一階段：我們使儲備庫達到預測庫存，由企業(yè)和超過預測庫存的倉庫3、5向儲備庫提供。對該階段

17、初步計算，企業(yè)現(xiàn)存量和倉庫超過預測的量能夠滿足儲備庫的需求，所以此時不再以總調運時間最小為目標，而以該階段的調用費用最少為目標求各企業(yè)的調運路線及分配量。模型1的建立：目標函數(shù)： 總的調運費用最小，約束條件：各企業(yè)(包括倉庫3、5)向外運輸量不大于現(xiàn)有的庫存量， 使儲備庫要達到預測庫存， 用lingo求解,得到第一階段各企業(yè)向各儲備庫的具體分配量如下: 表-3： 分配量可運輸量儲備庫1儲備庫2企業(yè)16006000企業(yè)236031050企業(yè)3 5000500倉庫31500150倉庫5400900 第二階段：使其他各個倉庫達到預測庫存。通過分析第一階段的結果，發(fā)現(xiàn)三個企業(yè)現(xiàn)存量已全部運完，倉庫3剛

18、好達到預測庫存，而倉庫5超過預測庫存310。通過公式（）得到各庫存都達到預測值時間為7.44天，即至少需要8天。然后我們把8天后各企業(yè)總產(chǎn)量處理為其在8天可調運的總量，建立以運費最少為目標的模型，得到每個企業(yè)向各倉庫8天的總分配量。模型2的建立： 目標函數(shù):約束條件：各企業(yè)(包括倉庫5)向外運輸量不大于現(xiàn)有的庫存量， 被運輸?shù)母鱾}庫要達到預備庫存， 用lingo求解,得到第二階段各企業(yè)向各倉庫的具體分配量如下:表-4：分配量倉庫1倉庫2倉庫3倉庫4倉庫5倉庫6倉庫7倉庫8企業(yè)1170700800000企業(yè)2130000001100企業(yè)3000400200100倉庫50260000000第三階段

19、：在達到預測庫存之后，該地區(qū)已經(jīng)具備了防御一般洪水的能力，為了防御更大的洪水，應該使庫存物資盡可能多。通過公式（）得到各庫存都達到預測值時間為38.8889天，即至少需要39天。然后我們把39天后各企業(yè)總產(chǎn)量處理為其在39天可調運的總量，建立以運費最少為目標的模型，得到每個企業(yè)向各倉庫39天的總分配量。建立模型3如下： 目標函數(shù)： 約束條件： 企業(yè)1、2、3在達到預測庫存后39天向外運輸?shù)目偭糠謩e不應超過、，各庫存不超過其最大儲存量， 模型3求解的企業(yè)后期調運分配方案如下：表-5：分配量儲備庫1儲備庫2倉庫1倉庫2倉庫3倉庫4倉庫5倉庫6倉庫7倉庫8企業(yè)17100030000550000企業(yè)2

20、290470300000001000企業(yè)30300030050020002003、關于問題（3）的分析與求解：在模型2、3中我們已經(jīng)求得了各企業(yè)在兩個階段向各倉庫的調運總量，現(xiàn)在的目的就是求出每天調運的先后順序和分配量。我們認為相關部門有能力將現(xiàn)有庫存及第一天的產(chǎn)量都運送出去,即第一天就能夠使儲備庫達到預測庫存值。對于調運的先后順序問題，在優(yōu)先使儲備庫達到預測庫存之后，我們考慮到倉庫的現(xiàn)有庫存與預測庫存的相對差值越大，則說明它抵抗洪澇災害的能力越小，應該優(yōu)先給予調運，提高整體防洪水平。如果上述相對差值相同時，我們又考慮到調運路線越長，則因洪水導致交通中斷的概率越大，同時發(fā)生洪災時緊急調運的時間

21、就越長，因此應該先給路程遠的優(yōu)先調運。根據(jù)上述思路，我們對二、三階段建立調運先后順序和分配量的模型4：使每天各倉庫與預測值（后期為最大值）的相對差值中的最大值盡可能的小（相對差值相同時，路程遠的優(yōu)先調運）。目標函數(shù):約束條件：每一天各企業(yè)的產(chǎn)量都分配完，八天后各企業(yè)運輸都要到位，即各倉庫至少要達到預測庫存，的求解表達式，的求解方法，每一天的最大差量，用lingo求解得到，。進一步分析出前八天具體的分配方案模型5。目標函數(shù)：約束條件：其他約束同模型4。同理可求出后39天的分配方案。最終可得到47天的分配方案。下圖是前20天的分配方案：表-6：時間/天企業(yè)至倉庫調運量時間/天企業(yè)至倉庫調運量11儲

22、160011 1740 12儲131011 213 1倉5儲19011 2927 12儲25011 3520 13儲250012 1740 1倉3儲215012 215 1倉5倉226012 2925 11140 12 3520 12130 13 1740 13420 13 218 21140 13 2322 22130 13 3515 23420 13 385 31133 14 1415 3147 14 1725 32124 14 215 3276 14 2325 33820 14 3511 41122 14 389 41418 15 1436 4214 15 174 42726 15 21

23、5 43820 15 2325 51118 15 3511 5125 15 389 51417 16 143 5216 16 1737 52724 16 215 53610 16 2325 53810 16 3511 6116 16 389 61222 17 144 61413 17 1736 62112 17 215 62718 17 2325 6369 17 3511 63811 17 389 7116 18 1140 71222 18 215 71413 182325 72112 183511 72718 18389 73820 191111 8116 191429 81222 1921

24、5 81413 192325 82112 193511 82718 19389 91740 20114 92121 201410 9231 201726 9298 20215 9357 202325 93813 20357 101740 20386 10 2130 203106 10 3520 進而得到20天后各庫存量分別為：表-7：儲備庫1儲備庫2倉庫1倉庫2倉庫331592500697698455倉庫4倉庫5倉庫6倉庫7倉庫83507773795606064、關于問題（4）的分析和模型的建立、求解：在汛期時,相當于緊急調運。與問題（2）的模型有所不同，此時，無論在什么情況下，都要以時間為第

25、一目標，即要滿足調運時所走路線的實際距離最短,不僅不用考慮調用的經(jīng)濟問題,而且不用考慮儲備庫優(yōu)先的情況。分達到預測前和預測后兩個階段考慮。其中，我們要把中斷路程處理為無路，再按照問題（2）中的floyd算法求出相應的最短路程和具體路線。 表-8：起點目的地路程最優(yōu)路線企業(yè)1儲備庫116824-20-13-27儲備庫228224-26-25-15-11-6-4-30倉庫116424-26-25-15-42-28倉庫212324-26-25-18-23倉庫339724-26-25-15-11-6-5-39-35倉庫440724-26-25-15-11-6-5-39-32-31倉庫513024-20

26、-22倉庫634224-20-13-12-10-3-36倉庫722424-26-25-15-42-28-29倉庫842524-26-25-11-6-5-39-32-38企業(yè)2儲備庫111041-6-40-27儲備庫214841-6-4-30倉庫16841-42-28倉庫215741-42-15-18-23倉庫326341-6-5-39-35倉庫427341-6-5-39-32-31倉庫520641-42-15-18-19-22倉庫625341-6-40-9-2-3-36倉庫711841-6-4-29倉庫829141-6-5-39-32-38企業(yè)3儲備庫118734-1-2-9-27儲備庫210

27、234-32-39-30倉庫127234-32-39-30-4-29-28倉庫239134-32-39-5-6-11-15-18-23倉庫312334-32-35倉庫47534-32-31倉庫538534-1-2-9-27-13-20-22倉庫614534-1-33-36倉庫721234-32-39-30-4-29倉庫89334-32-38倉庫3儲備庫131035-32-34-1-2-9-27儲備庫217535-32-39-30倉庫1371.6735-32-39-30-4-29-28倉庫251035-32-34-1-2-9-27-11-25-18-23倉庫414835-32-31倉庫54113

28、5-39-5-6-11-25-18-19-22倉庫626835-32-34-1-33-36倉庫7311.6735-32-39-30-4-29倉庫816635-32-38倉庫5儲備庫119822-20-13-27儲備庫233822-19-26-25-11-6-4-30倉庫122222-19-18-15-42-28倉庫213922-19-18-23倉庫341122-19-18-25-11-6-5-39-35倉庫441522-19-26-25-11-6-5-39-32-31倉庫639322-19-26-25-11-27-9-2-3-36倉庫728222-19-18-15-42-28-29倉庫8433

29、22-19-26-25-11-6-5-39-32-38第一階段，到達預測庫存前。（模型6）目標函數(shù)：調運總時間最短，約束條件：各企業(yè)(包括倉庫3、5)向外運輸量不大于現(xiàn)有的庫存量， 被運輸?shù)母鱾}庫要達到預備庫存，用lingo求解,在達到預備前各企業(yè)向各倉庫的具體分配量如下:表-9：分配量儲備庫1儲備庫2倉庫1倉庫2倉庫4倉庫6倉庫7倉庫8企業(yè)19200000000企業(yè)2601303000001100企業(yè)3042000120200100倉庫30150000000倉庫520000330000第二階段，達到預測庫存后。（模型7）在問題（2）的基礎上要加以改進，目標有所不同。目標函數(shù)：調運總時間最短，

30、約束條件與問題（2）中的第三階段相同。求解得到分配量如下：表-10：分配量儲備庫1儲備庫2倉庫1倉庫2倉庫3倉庫4倉庫5倉庫6倉庫7倉庫8企業(yè)17000030000550000企業(yè)2300470300000001000企業(yè)3030003005002000200四、模型的評價與改進本文采用了線性規(guī)劃的方法，從實際問情況出發(fā),針對不同情況下的要求和不同側重點建立了不同的模型，把問題分階段考慮，讓結果更合理。此外，模型的實用性強、速度快，可以對突發(fā)事件作出及時的調整。模型的改進，在本文中我們假設了車輛在高等級公路和普通公路的速度相同，而在實際過程中速度是不可能相同的。根據(jù)兩者速度的比值對交通網(wǎng)絡圖中

31、的路程數(shù)據(jù)作相應的處理，然后在按同樣的模型求解，可以得到更好的實際調運方案。對于提前作好防洪物資儲備的情況，利用模型2及模型3調運一段時間之后，如果此時發(fā)生洪澇災害需要緊急調運時，我們可以以此時的庫存量為起點，調整為按模型5進行緊急調運，以此來應對突發(fā)事件。在實際問題中，對于緊急調運問題，還可以考慮讓發(fā)生災害地區(qū)附近的倉庫、企業(yè)及儲備庫都向災區(qū)提供適量的物資援助，節(jié)省救助時間，盡量減小災害所造成的損失。參考文獻：1 朱求長. 運籌學及其應用 武漢大學出版社 2006.12 謝兆鴻，范正森，王艮遠. 數(shù)學建模技術 中國水利水電出版社 2003.93 沙特 m.h.alsuwaiyel 算法設計技

32、巧與分析 2007年6月4 數(shù)學建模網(wǎng)：/formus/index.php?showtopic=44094 2008-6-23附錄附件1：各庫庫存及需求情況（單位：百件）庫存單位現(xiàn)有庫存預測庫存最低庫存最大庫存產(chǎn)量（/天）企業(yè)160080040企業(yè)236060030企業(yè)350060020倉庫1200500100800倉庫2270600200900倉庫3450300200600倉庫4230350100400倉庫58004003001000倉庫6280300200500倉庫7390500300600倉庫8500600400800儲備庫12000300010

33、004000儲備庫21800250010003000附件2：生產(chǎn)企業(yè)，物資倉庫及國家級儲備庫分布圖注：1312123高等級公路 普通公路 河流 等表示公路交匯點；30，50，28等表示公路區(qū)間距離，單位：公里，如 與 之間距離為80公里。l floyd算法floyd(int *l,int n)int *d=(int *)malloc(n+1)*(n+1)*sizeof(int);int i,j;for(i=1;i=n;i+) for(j=1;j=n;j+) dij=lij;for(k=0;kn;k+) for(i=0;in;i+) for(j=0;jn;j+) di*n+j=min(di*n+

34、j, di*n+k+dk*n+j);l 模型一程序lingo代碼：model:sets:z/1,2/:c;x/1.5/:d;links(x,z):l,y;endsetsmin=sum(links(i,j):l(i,j)*y(i,j);for(x(i):sum(z(j):y(i,j)d(i);for(z(j):sum(x(i):y(i,j)=c(j);data:d=600,360,500,450,800;c=3000 2500;l=100 268 131.3 148 161 152 240 175 170 338;enddataendl 模型二程序lingo代碼：model:sets:z/1.8

35、/:c;x/1.4/:d;links(x,z):l,y;endsetsmin=sum(links(i,j):l(i,j)*y(i,j);for(x(i):sum(z(j):y(i,j)d(i);for(z(j):sum(x(i):y(i,j)=c(j);data:d=600,360,500,800;c=500 600 300 350 400 300 500 600;l=164 125 340 192 130 287 224 310 68 157 306 158 206 253 128 276 298.7 332 123 75 337 145 238.67 93 222 139 410 262 0 357 2