概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三章習(xí)題解

1、- 1 - 第三章第三章 多維隨機(jī)變量及其分布習(xí)題解多維隨機(jī)變量及其分布習(xí)題解 （習(xí)（習(xí) 題題 三）三） 1 1.定義二元函數(shù) + + = )0( )0( , , 0 1 ),( yx yx yxF，試驗(yàn)證此函數(shù)對(duì)每個(gè)變量單調(diào) 不減，右連續(xù)，且滿足分布函數(shù)的性質(zhì)(3)，但不滿足性質(zhì)(4). 解解:.對(duì)任意 21 xx，有yxyx+ 21 ，則由已知函數(shù)： 0 21 +yxyx時(shí)：),( 1 yxF),( 2 yxF0；0yxyx+ 21 時(shí)： ),( 1 yxF),( 2 yxF1；0, 0 21 +yxyx時(shí)：),( 1 yxF0),( 2 yxF1. 故綜合之，對(duì)任意 21 xx，總使),

2、( 1 yxF),( 2 yxF成立，),(yxF對(duì)變量x單 調(diào)不減.對(duì)稱地，),(yxF對(duì)變量y亦單調(diào)不減. .對(duì)任意Rx 0 ，當(dāng)0 0 +yx時(shí)，1)(),(lim 0 0 =+= + yxFyxF xx ，當(dāng)0 0 +yx 時(shí)， 0)(),(lim 0 0 =+= + yxFyxF xx ， ),(yxF對(duì)變量x右連續(xù)， 對(duì)稱地，),(yxF對(duì)變量y 亦右連續(xù). .顯然 0),(yxF1；當(dāng)x，或y時(shí)，總存在時(shí)刻0+yx， 使0),(),(=xFyF；當(dāng),+x或+y時(shí)，總存在時(shí)刻0+yx， 使),(+F=1。 .取( 1 x, 2 x)=(-1,0),( 1 y, 2 y)=(0,1)

3、,則由已知函數(shù)： ),( 22 yxF=) 1 , 0(F1，),( 21 yxF) 1 , 1(F=1 ),( 12 yxF1)0 , 0(=F，),( 11 yxF)0 , 1(F=0 ),( 22 yxF-),( 21 yxF-),( 12 yxF+),( 11 yxF=1-1-1+0=-1P 1-(0.01+0.01+0.01+0.03+0.01+0.04)1-0.110.89 6 6.在一箱子里裝有 12 只開關(guān)，其中兩只是次品，從中隨機(jī)地取兩次，每次 取一只，考慮兩種試驗(yàn)：(1).有放回抽樣；(2).無放回抽樣.我們定義隨機(jī)變量 - 5 - 、如下： 若第一次取出的是次品 若第一次

4、取出的是正品 , , 1 0 ， 若第二次取出的是次品 若第二次取出的是正品 , , 1 0 試就(1)、(1)兩種情況寫出、的聯(lián)合概率分布. 解解：(1).有放回抽樣試驗(yàn)條件下，、取各組值的聯(lián)合概率為： =(P0,=0)10/1210/1225/36 =(P0,=1)10/122/125/36 =(P1,=0)2/1210/125/36 =(P1,=1)2/122/121/36 則有放回試驗(yàn)條件下，、的聯(lián)合概率為： 01 0 1 25/365/36 5/361/36 (2). 無放回抽樣試驗(yàn)條件下，、取各組值的聯(lián)合概率為： =(P0,=0)10/129/1145/66 =(P0,=1)10/

5、122/1110/66 =(P1,=0)2/1210/1110/66 =(P1,=1)2/121/111/66 則無放回試驗(yàn)條件下，、的聯(lián)合概率為： 7 7.隨機(jī)變量(,)的分布密度為： 01 0 1 45/665/33 5/331/66 - 6 - + + + = )( )( , , 0 )( ),( 222 222 22 Ryx Ryx yxRA yxf 求：(1).系數(shù)A；(2). 隨機(jī)變量(,)落在圓)( 222 Rrryx=+內(nèi)的概率. 解解：(1).由聯(lián)合分布密度性質(zhì)： + + =+= D R dRAddxdyyxRAdxdyyxf 2 00 22 )()(),( 1 3 1 0

6、) 3 1 2 1 (2 332 =AR R RA，從而得： 3 3 R A =. (其中D： 222 Ryx+,化為極坐標(biāo)式求二重積分）. (2).記D：)( 222 Rrryx+,則(,)落在圓)( 222 Rrryx = + 其它）( )0, 0( , , 0 ),( )43( yxAe yxf yx (1).確定常數(shù)A；(2).求(,)的分布函數(shù)；(3).求)20 , 10(yx時(shí)： - 7 - + = xy x y vu dudvedxdyyxfyxF 0 0 )43( 12),(),( y y x x dyedxe 0 4 0 3 12= 1)(1 ( 00 343xvu e y

7、e x e) 4y e 綜合之，的聯(lián)合分布函數(shù)為： = （其它） )0, 0( , , 0 )1)(1 ( ),( 43 yxee yxF yx . (3).用分布函數(shù)求用分布函數(shù)求： )0 , 0()0 , 1 ()2 , 0()2 , 1 ()20 , 10(FFFFP+= 95 . 0 )1)(1 ()2 , 1 ( 83 = eeF. 用密度函數(shù)求用密度函數(shù)求： )20 , 10(P= 1 0 2 0 )43( 12dxdye yx 95 . 0 ) 1)(1( 0 2 0 1 12 8343 2 0 4 1 0 3 = = eeeedyedxe yxyx . 9 9. 求出在D上服從

8、均勻分布的隨機(jī)變量(,)的分布密度及分布函數(shù)， 其中 D為x軸、y軸及直線y2x1 圍成的三角形區(qū)域. 解解：D如下頁圖，D的面積為：A1/4，由均勻分布定義，(,)的分 布密度為： = 其它 Dyx yxf ),( , , 0 4 ),( 用不等式表示三角形區(qū)域D：-1/2x0，0y2x1，則由連續(xù)型隨機(jī) 變量分布函數(shù)的定義及已知密度函數(shù)： .當(dāng)x-1/2, 或y0 時(shí)：),(yxF = xy dxdy00 - 8 - .當(dāng) -1/2x0，0y2x1 時(shí)： += xyyx y y dyyxdydxdxdyyxfyxF 0)1(2/10 ) 12(24),(),( 22 ) 12(22/1)

9、12(2yyxyyx+=+ （ 22 )12() 12(yxx+） .當(dāng) -1/2x0，y2x1 時(shí)： + + += xyxx y x dyyxdydxdxdyyxfyxF 12 0)1(2/1 12 0 ) 12(24),(),( 22 ) 12( 0 12 2 1 ) 12(2+= + +x x yyx . 當(dāng)x0，0y1 時(shí)： = xyy y y dyydydxdxdyyxfyxF 0 0 )1(2/10 )1 (24),(),( 22 )1 (1 0 )1 (y y y= .當(dāng)x0，y1 時(shí)： + += xyx dxxdydxdxdyyxfyxF 0 2/1 12 0 0 2/1 )

10、12(44),(),( 1 2/1 0 ) 12( 2 = +x 綜合，隨機(jī)變量(,)的分布函數(shù)為： - 9 - + + + + = ) 1, 0( ) 10 , 0( ) 12, 02/1( ) 120 , 02/1( )02/1( , , , , , 1 )1 (1 ) 12( ) 12(2 0 ),( 2 2 2 yx yx xyx xyx yx y x yyx yxF 或 1010.設(shè)二維隨機(jī)變量(,)的概率密度為 = )( )0 , 10( , , 0 )2(8 . 4 ),( 其它 xyxxy yxf 求,的邊沿分布密度. 解解：),(yxf的非 0 值區(qū)域D如下圖所示，則由邊沿分

11、布密度的定義有： (1).當(dāng)x1 時(shí)： + + =00),()(dydyyxfxf； 當(dāng) 0 x1 時(shí)： + =dyyxfxf),()( = x x yxdyxy 0 2 0 )2(4 . 2)2(8 . 4 2 )2(4 . 2xx. 綜合之，關(guān)于隨機(jī)變量的邊沿分布密度為： = ) 1, 0( ) 10( , , 0 )2(4 . 2 )( 2 xx xxx xf (2).當(dāng)y1 時(shí)： + =dxyxfyf),()( + = 00dx； 當(dāng) 0yx時(shí)： + =dxyxfyf),()( += 1 22 )34(4 . 2 1 )2(4 . 2)2(8 . 4 y yyy y xydxxy. -

12、 10 - 綜合之，關(guān)于隨機(jī)變量的邊沿分布密度為： + = ), 0( )0( , , 0 )34(4 . 2 )( 2 xyy xyyyy yf 1111.離散型隨機(jī)變量(,)的概率分布如下表所示： (1).求隨機(jī)變量、的邊沿概率分布；(2). 與是否獨(dú)立. 解解：由(,)的聯(lián)合概率分布表： (1). 隨機(jī)變量的邊沿概率分布為： 0123 p 0.6270.2600.0950.018 隨機(jī)變量的邊沿概率分布為： (2). 有)()(),(jPiPjiP=，如 )0()()0,(=PiPiP(i=0,1,2,3) 與相互不獨(dú)立. 1212.設(shè)隨機(jī)變量(,)的分布函數(shù)為： 0123456 0 1

13、 2 3 0.2020.1740.1130.0620.0490.0230.004 00.0990.0640.0400.0310.0200.006 000.0310.0250.0180.0130.008 0000.0010.0020.0040.011 0123456 p 0.2020.2730.2080.1280.1000.0600.029 - 11 - ) 3 arctan)( 2 arctan(),( y C x BAyxF+=， 求：(1).系數(shù)A,B,C；(2).(,)的分布密度；(3).與的邊沿分布密度； (4).與是否相互獨(dú)立. 解解：(1).依據(jù)聯(lián)合分布函數(shù)的規(guī)范性質(zhì)： 由1)2/

14、)(2/(),(=+=+CBAF，得 A CBBC 1 4 )( 2 2 =+ - 由0)2/)(2/(),(=+=+CBAF，得 0 4 )( 2 2 =+ CBBC- 由0)2/)(2/(),(=+=+CBAF，得 0 4 )( 2 2 =+ BCBC- 聯(lián)解得：2/=CB,代入得： 2 /1=A，從而(,)的分布函數(shù)為： ) 3 arctan 2 )( 2 arctan 2 ( 1 ),( 2 yx yxF+= ， （ 2 ),(Ryx）. (2).由連續(xù)隨機(jī)變量密度函數(shù)的性質(zhì): yx yxF yxf = ),( ),( 2 ，有： ) 3 arctan 2 ( )4( 2),( 22

15、y xx yxF + + = ， 222 2 )9)(4( 6),( yxyx yxF + = ， 即(,)的分布密度為： - 12 - ),(yxf 222 )9)(4( 6 yx+ ， （ 2 ),(Ryx）. (3).的邊沿分布密度為： + + + + = + = 22222 )4( 3/arctan2 )9)(4( 6 ),()( x y dy yx dyyxfxf )4( 2 2 x+ ， （Rx）. 的邊沿分布密度為： + + + + = + = 22222 )9( 2/arctan3 )9)(4( 6 ),()( y x dx yx dxyxfyf )9( 3 2 y+ ， （R

16、y）. 1313.已知二維離散型隨機(jī)變量(,)的聯(lián)合分布入下頁表所示，問,為何 值時(shí)，,相互獨(dú)立？ 解解：把,的邊沿分布分別列于已知聯(lián)合分布表的右列和下行，則由： 1221 ppp= ，即 9 1 ) 9 1 ( 3 1 =+，得： 9 2 =；(接表下): / 123 i p 1 2 1/61/91/18 1/3 1/3 +1/3 j p1/2+1/9+1/18 1 - 13 - 1331 ppp= ，即 18 1 ) 18 1 ( 3 1 =+，得： 9 1 =. 當(dāng) 9 2 =， 9 1 =時(shí)總有有： jiij ppp =， (2 , 1; 3 , 2 , 1=ji） ， ,獨(dú) 立. 1

17、414.本章習(xí)題第二題中的兩個(gè)隨機(jī)變量是否獨(dú)立. 解解：由 2 題解的聯(lián)合概率分布表，顯然有： ijji ppp ，(i,j=1,2,3) ,不是相互獨(dú)立的. 1515.已知(,)的概率密度為： = 其它）( ) 1,0( , , 0 )2(6 ),( yxyxxy yxf 問,是否相互獨(dú)立. 解解：.求的分布密度： 當(dāng)x1 時(shí)， + =00)(dyxf 當(dāng) 0 x1 時(shí)： = 1 0 )2(6)(dyyxxyxf 0 1 ) 3 1 2 1 (6 322 yxyyx 2 34xx 則的分布密度函數(shù)為： = ) 1, 0( ) 10( , , 0 34 )( 2 yy yyy yf. . =)

18、,( )( ) 1,0( , , 0 )34)(34( )()(yxf yxyxxy yfxf 其它 - 14 - ,不相互獨(dú)立. 1616.設(shè)隨機(jī)變量,相互獨(dú)立，分布密度分別為： = )0( )0( , , 0 2/1 )( 2 1 x x e xf x ， = )0( )0( , , 0 3/1 )( 3 1 y y e yf y . 求隨機(jī)變量+=Z的分布密度. 解解：,相互獨(dú)立，則： + =dxxzfxfzfZ)()()( ，其中由,的密度 有： = + )( )0, 0( , , 0 6/1 )()( ) 3 1 6 1 ( 其它 xzx e xzfxf zx ， 且由0 x，0 x

19、z決定的平面區(qū)域如圖， 當(dāng)0z時(shí)： + + =dxdxxzfxfzfZ0)()()( 0； 當(dāng)0z時(shí)： + = z xz Z dxeedxxzfxfzf 0 6/3/ 6 1 )()()( )1 ( 0 6/3/6/3/zzxz ee z ee = 綜合之，+=Z的分布密度為： = )0( )0( , , 0 )1 ( )( 6/3/ z zee zf zz Z . 1717.設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(,)的密度函數(shù)為),(yxf，用函數(shù)),(yxf表達(dá) 隨機(jī)變量=Z的分布密度. - 15 - 解： = zyxD Z dxdyyxfzPzZPzF : ),()()()(，其中D如下圖所示. (1)

20、.把積分區(qū)域D表示為：D：zyx+， +y，則 + + = zy Z dxdyyxfzF),()(.令 ytx+=，則有dtdx=，且x時(shí)t， zyx+=時(shí)，zt=，從而 + += z Z dtdyyytfzF),()(， （Rz）- 于是對(duì)z求導(dǎo)，得=Z的分布密度為： + +=dyyyzfzfZ),()(， （Rz）- (2).把積分區(qū)域D表示為 ：D：+x，+ = + )( )0, 0( , , 0 ),( )( 其它 yxe yxf yx ， - 16 - 求)( 2 1 +=Z的分布密度. 解解：1)1)類和函數(shù)推解法類和函數(shù)推解法： )( 2 1 +=Z的分布函數(shù)為： + = zyx

21、 dudvvufzZPzF 2 ),()()(. 如圖，把積分區(qū)域D:zyx2+化為： D:+x，xzy = )( )02 , 0( , , 0 2 )2 ,(2 2 其它 xzxe xzxf z , 且由0 x，02xz決定的平面區(qū)域如右圖，則： 當(dāng)0z時(shí)： =)(zf + dxxzxf)2 ,(2 + = 00dx； 當(dāng)0z時(shí)： =)(zf + dxxzxf)2 ,(2 = z zz zedxe 2 0 22 42. )( 2 1 +=Z的密度函數(shù)為： = )0( )0( , , 0 4 )( 2 z zze zf z . 2)2)化歸公式法：化歸公式法： Z=+的分布密度為(教材 90

22、P): + =dxxzxfzf),()(，Z2=+,即 - 17 - )( 2 1 +=Z的分布密度為： + =dxxzxfzf)2 ,(2)(，從而類上解可得： )( 2 1 +=Z的分布密度為： = )0( )0( , , 0 4 )( 2 z zze zf z . 綜合練習(xí)三綜合練習(xí)三 1.1.填空題填空題 (1).設(shè)二維隨機(jī)變量(,)的聯(lián)合分布函數(shù)為： + = + )( )0, 0( , , 0 1 ),( )( 其它 yxeee yxF yxyx . 則=)(xF )0( )0( , , 0 1 x xe x ；=)2, 1(P546 . 0 1 321 + eee. 解：=)(xF

23、 =+ )0( )0( , , 0 1 ),( x xe xF x ； =)2, 1(P1 (F,2) 321 1 +eee. (2). 設(shè)二維隨機(jī)變量(,)的密度函數(shù)為： + = )( )2/,0( , , 0 )sin( ),( 其它 yxyxA yxf,則2/1=A. 解：由 + + +=+= 2/ 0 2/ 0 2/ 0 0 2/ )cos()sin(),( dyyxAdxdyyxAdxdyyxf =+ 2/ 0 12 0 2/ )cos(sin)cos(sin AyyAdyyyA,得2/1=A. (3). 設(shè)二維隨機(jī)變量(,)的密度函數(shù)為： = )( ) 10( . , 0 15 )

24、,( 2 其它 xyxy yxf， - 18 - 則 = . ) 1, 0( ) 10( , , 0 )1 (2/15 )( 22 yy yyy yf 解：.當(dāng)x1 時(shí)，),(yxf0，此時(shí))(xf0； 當(dāng)10 xy時(shí)， + = x x x xydyxydyyxfxf 0 432 5 0 515),()( ， = ) 1, 0( ) 10( , , 0 5 )( 4 xx xx xf. .當(dāng)y1 時(shí)，),(yxf0，此時(shí))(yf0； 當(dāng)10 xy時(shí),)1 ( 2 15 1 2 15 15)( 2222 1 2 yy y xydxxyyf y = , = )0( )0( , , 0 )( x x

25、e xf x ，則(,)的聯(lián)合密度為:=),(yxf)(d. (a). = + )( )0, 0( , , 0 2 ),( )( 其它 yxe yxf yx ；(b). = + )( )0, 0( , , 0 ),( )( 其它 yxe yxf yx ； (c). + = 其它）( )0, 0( , , 0 )0, 0( , , 0 ),( yxyxee yxf yx ；(d).以上結(jié)論均不對(duì). 解：對(duì)于(a)：當(dāng)x0 時(shí)： + + = = 0 )()( 0 22),()( yxyx edyedyyxfxf，(a)； 對(duì)于(b)：當(dāng)x0 時(shí)： + + = = 0 )()( 0 ),()( yxyx edyedyyxfxf，(b)； 對(duì)于(c)：當(dāng)x0 時(shí)： + = =+= 0 0 )()(),()( yxyx eyedyeedyyxfxf，(c)；