概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)必考大題解題索引

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)必考大題解題索引編制：王健 審核：題型一：古典概型：全概率公式和貝葉斯公式的應(yīng)用。【相關(guān)公式】v 全概率公式：v 貝葉斯公式：【相關(guān)例題】1.三家工廠生產(chǎn)同一批產(chǎn)品，各工廠的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的40%、25%、35%，其產(chǎn)品的不合格率依次為0.05、0.04、和0.02?，F(xiàn)從出廠的產(chǎn)品中任取一件，求：（1）恰好取到不合格品的概率； （2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工廠生產(chǎn)的概率。 解：設(shè)事件表示：“取到的產(chǎn)品是不合格品”；事件表示：“取到的產(chǎn)品是第家工廠生產(chǎn)的”（）。 則，且，兩兩互不相容，由全概率公式得 （1） （2）由貝葉斯公式得 = 2.有朋友遠(yuǎn)方來訪，他乘火車、輪

2、船、汽車、飛機(jī)的概率分別為3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)遲到的概率分別為1/4、1/3、1/12、1/8。求：( 1 ) 此人來遲的概率； ( 2 ) 若已知來遲了，此人乘火車來的概率。 解：設(shè)事件表示：“此人來遲了”；事件分別表示：“此人乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)來”（，4）。則，且，兩兩互不相容 （1）由全概率公式得 （2）由貝葉斯公式得= 題型二：1、求概率密度、分布函數(shù)；2、正態(tài)分布1、 求概率密度【相關(guān)公式】已知分布函數(shù)求概率密度在連續(xù)點(diǎn)求導(dǎo)；已知概率密度f(wàn)(x)求分布函數(shù)抓住公式：，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有：。【相關(guān)例題】（1）設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為： F

3、X（X）= 12 （2），是確定常數(shù)A。 （3）設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度f(wàn)(x)= ，求X的分布函數(shù)。 0,其他解： 0，x0 2、 正態(tài)分布【相關(guān)公式】（1）公式其中：（2） 若（3） 相關(guān)概率運(yùn)算公式： 【相關(guān)例題】1、 某地區(qū)18歲女青年的血壓（收縮壓：以mmHg計(jì)）服從N（110,122），在該地任選一名18歲女青年，測(cè)量她的血壓X，求：（1）（2）確定最小的2、 由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓的長(zhǎng)度（cm）服從參數(shù)的正態(tài)分布，規(guī)定長(zhǎng)度在范圍內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合格的概率。【題型三】二維隨機(jī)變量的概率密度和邊緣概率密度事件的獨(dú)立性1.設(shè)為由拋物線和所圍成區(qū)域，在區(qū)域上服從均勻分布，試求：（1）

4、的聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度；（2）判定隨機(jī)變量與是否相互獨(dú)立。 解：如圖所示，的面積為 因此均勻分布定義得的聯(lián)合概率密度為 1 而 所以關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布密度分別為 （2）由于，故隨機(jī)變量與不相互獨(dú)立。2.設(shè)二維隨機(jī)變量（，）的概率分布為 求：（1）隨機(jī)變量X的密度函數(shù)； （2）概率。解：（1）時(shí)，=0； 時(shí)，= 故隨機(jī)變量的密度函數(shù)= （2） 3.設(shè)隨機(jī)向量的概率密度為 試求:（1）常數(shù)；（2）關(guān)于的邊緣概率密度。解：（1）由歸一性 所以。 的聯(lián)合概率密度為 （2）關(guān)于的邊緣概率密度為 即 同理可求得關(guān)于的邊緣分布密度為 4.設(shè)隨機(jī)變量（，）具有概率密度 ，求（1）常數(shù)C；（2）邊緣分布

5、密度。 解：（1）由于，故 1=所以=1，即 （2） ，即 ，即 【題型四】最大似然估計(jì)的求解【相關(guān)公式】【相關(guān)例題】1、 設(shè)概率密度為： 2、 的總體的樣本，未知，求的最大似然估計(jì)?！绢}型五】正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)、正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)【相關(guān)公式】【相關(guān)例題】1、 某批礦砂的5 個(gè)樣品中的鎳含量，經(jīng)測(cè)定（%）3.25 3.27 3.24 3.26 3.24設(shè)測(cè)定值總體服從正態(tài)分布，但參數(shù)均未知，問在=0.01下能否接受假設(shè)，這批礦砂的鎳含量的均值為3.25.2、某種導(dǎo)線，要求電阻的標(biāo)準(zhǔn)差不得超過0.005，盡在一批導(dǎo)線中取樣品9根，測(cè)得s=0.007，設(shè)總體為正態(tài)分布，參數(shù)值均未知，問在顯著水平=0.05下能否認(rèn)為這批導(dǎo)線的標(biāo)準(zhǔn)差顯著偏大？【證明題部分】1.設(shè)事件相互獨(dú)立，試證明： （1）事件相互獨(dú)立； （2）事件相互獨(dú)立； （3）事件相互獨(dú)立。 證明：（1）欲證明相互獨(dú)立，只需證即可。而 所以事件相互獨(dú)立。同理 （2）由于 所以事件相互獨(dú)立。 （3）由于 所以事件相互