量子力學(xué)微擾理論

1、1,量子力學(xué)第五章 微擾理論,繆 靈 ,2,可解析求解模型,3,一、近似方法的出發(fā)點(diǎn),近似方法通常是從簡(jiǎn)單問題的精確解（解析解）出發(fā)，來(lái)求解復(fù)雜問題的近似（解析）解。,二、近似解問題分為兩類,1、體系 Hamilton 量不是時(shí)間的顯函數(shù)定態(tài)問題,（1）定態(tài)微擾論；（2）變分法。,2、體系 Hamilton 量顯含時(shí)間狀態(tài)之間的躍遷問題,（1）與時(shí)間 t 有關(guān)的微擾理論；（2）常微擾。,4,1 非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論,2 簡(jiǎn)并微擾理論及其應(yīng)用,3 變分法與氦原子基態(tài),5,平衡態(tài)附近的泰勒展開,6,1 非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論,一、微擾體系的Schrdinger方程,其中H(0) 所描寫的體系是可以精確求

2、解的，其本征值En(0) ，本征矢 n(0) 。則：,7,當(dāng) H 0 時(shí)引入微擾，使體系能級(jí)發(fā)生移動(dòng)，由 En(0) En ，狀態(tài)由n(0)n 。,8,微擾體系的定態(tài)Schrdinger方程,為了明顯表示出微擾的微小程度，將其寫為：,其中是很小的實(shí)數(shù)，表征微擾程度的參量。,因?yàn)?En 、 n 都與微擾有關(guān)，可以把它們看成是的函數(shù)而將其展開成的冪級(jí)數(shù)：,其中En(0), En(1), 2 En(2), . 分別是能量的 0 級(jí)近似、1級(jí)近似和2級(jí)近似等。,而n(0) , n(1) , 2 n(2) , .分別是狀態(tài)矢量 0 級(jí)近似、1級(jí)近似和2級(jí)近似等。,9,乘開得：,代入Schrdinger方

3、程得：,10,根據(jù)等式兩邊同冪次的系數(shù)應(yīng)該相等:,整理后得：,體系的能量和態(tài)矢為,11,二、非簡(jiǎn)并定態(tài)的微擾近似,1、態(tài)矢和能量的一級(jí)近似,(1)能量一級(jí)修正En (1),左乘 n(0) |,利用本征基矢的正交歸一性：,其中能量的一級(jí)近似等于微擾Hamilton 量在 0 級(jí)態(tài)矢中的平均值,12,二、非簡(jiǎn)并定態(tài)的微擾近似,左乘 m(0) |,（2）態(tài)矢的一級(jí)修正n(1),13,14,注意,（2）態(tài)矢的一級(jí)修正n(1),15,能量高階近似,方程左乘態(tài)矢 n(0) |,16,低級(jí)微擾近似結(jié)果,17,三、微擾理論適用條件,18,微擾適用條件表明：,（2）|En(0) Em(0)| 要大，即能級(jí)間距要

4、寬。,例如：在庫(kù)侖場(chǎng)中，體系能量（能級(jí)）與量子數(shù)n2成反比，即 En = - Z2 e2 /(2 2 n2 ) ( n = 1, 2, 3, .) 可見，n大時(shí)，能級(jí)間距變小，因此微擾理論不適用于計(jì)算高能級(jí)（n大）的修正，而只適用于計(jì)算低能級(jí)（n ?。┑男拚?。,（1）H mn要小，即微擾矩陣元要??；,物理意義,19,表明微擾態(tài)矢n 可以看成是無(wú)微擾態(tài)矢m(0)的線性疊加。,（2）展開系數(shù) Hmn /(En(0) - Em(0) 表明第m個(gè)態(tài)矢m(0)對(duì)第n 個(gè)態(tài)矢n 的貢獻(xiàn)有多大。展開系數(shù)反比于擾動(dòng)前狀態(tài)間的能量間隔，所以能量最接近的態(tài)影響最大。因此態(tài)矢一階近似無(wú)須計(jì)算無(wú)限多項(xiàng)，只要算出最近鄰

5、的有限項(xiàng)即可。,（3）由En = En(0)+Hnn可知，擾動(dòng)后體系能量是由擾動(dòng)前第n態(tài)能量En(0)加上微擾Hamilton量 H在無(wú)微擾態(tài)n(0)中的平均值組成。該值可能是正或負(fù)，引起原來(lái)能級(jí)上移或下移。,（1）在一階近似下：,討論,20,例：已知某表象中Hamilton量的矩陣形式,（1）設(shè)c 1，應(yīng)用微擾論求H本征值到二 級(jí)近似； （2）求H 的精確本征值； （3）在怎樣條件下，上面二結(jié)果一致。,解：,（1）c 1，可取 0 級(jí)和微擾 Hamilton 量分別為：,21,H0 是對(duì)角矩陣，是H0在自身表象中的形式。所以，0級(jí)近似的能量和態(tài)矢為：,E1(0) = 1 E2(0) = 3

6、E3(0) = - 2,由非簡(jiǎn)并微擾公式,能量一級(jí)修正：,22,能量二級(jí)修正為：,23,準(zhǔn)確到二級(jí)近似的能量本征值為：,設(shè) H 的本征值是 E，可得久期方程：,可得：,(3) 將準(zhǔn)確解按 c ( 1)展開,微擾論二級(jí)近似結(jié)果，與精確解展開式，不計(jì)c4及以后高階項(xiàng)的結(jié)果相同。,(2)精確解：,24,例：一電荷為 e 的線性諧振子，受恒定弱電場(chǎng)作用。電場(chǎng)沿 x 正向，用微擾法求體系的定態(tài)能量和波函數(shù)。,解：,（1）帶電諧振子的Hamilton 量,將 Hamilton 量分成H0 + H兩部分，在弱電場(chǎng)下，上式最后一項(xiàng)很小，可看成微擾。,25,（2）寫出 H0 的本征值和本征函數(shù) E(0), n(

7、0),（3）計(jì)算 En(1),積分等于0是因?yàn)楸环e函數(shù)為奇函數(shù)所致。,26,（4）計(jì)算能量二級(jí)近似En(2),欲計(jì)算能量二級(jí)修正，首先應(yīng)計(jì)算 H mn 矩陣元。,利用線性諧振子本征函數(shù)的遞推公式：,金蟬脫殼！,27,對(duì)諧振子有； En(0) - En-1(0) = , En(0) - En+1(0) = - ,28,（5）態(tài)矢量一級(jí)近似,對(duì)諧振子有； En(0) - En-1(0) = , En(0) - En+1(0) = - ,29,2. 電諧振子的精確解,實(shí)際上這個(gè)問題是可以精確求解的，只要我們將體系Hamilton量作以下整理：,其中x = x e/(2 )，可見，體系仍是一個(gè)線性諧振

8、子。它的每一個(gè)能級(jí)都比無(wú)電場(chǎng)時(shí)的線性諧振子的相應(yīng)能級(jí)低 e22/(22) ，而平衡點(diǎn)向右移動(dòng)了e/2 距離。,30,周世勛量子力學(xué)教程 P172，5.3,31,2 簡(jiǎn)并微擾理論及其應(yīng)用,上節(jié)，我們研究了0級(jí)波函數(shù)為非簡(jiǎn)并情況下的微擾理論。那么，如果一微擾體系的0級(jí)近似為簡(jiǎn)并態(tài)，如何運(yùn)用微擾理論對(duì)其分析得出各級(jí)近似呢？,一、簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論,32,簡(jiǎn)并本征態(tài),本征值方程,共軛方程,33,這里En(0)是簡(jiǎn)并的，屬于 H(0)的本征值 En(0) 有 k 個(gè)歸一化本征函數(shù)：| n1 , | n2 , ., | nk ; n |n =,那么，在k個(gè)本征函數(shù)中究竟應(yīng)取哪一個(gè)作為微擾波函數(shù)的 0 級(jí)近似

9、。所以在簡(jiǎn)并情況下，首先要解決的問題是如何選取 0 級(jí)近似波函數(shù)的問題，然后才是求能量和波函數(shù)的各級(jí)近似。,0 級(jí)近似波函數(shù)應(yīng)從這k個(gè)| n 及其線性疊加中挑選，而它應(yīng)滿足上節(jié)按冪次分類得到的方程。,簡(jiǎn)并本征態(tài),本征值方程,共軛方程,34,左乘 n | 得：,2、0級(jí)近似波函數(shù)和一級(jí)近似能級(jí),系數(shù) c 由 一級(jí)方程定出,35,上式是以展開系數(shù)c為未知數(shù)的齊次線性方程組，它有不全為零解的充要條件是系數(shù)行列式為零，即,這就是微擾算符H的久期方程，解此方程，可得能量的一級(jí)修正En(1)的k個(gè)根：En(1), = 1, 2, ., k，體系能級(jí) En = En(0) + En(1) 。若這k個(gè)根都不相

10、等，那末一級(jí)微擾就可以將 k 度簡(jiǎn)并完全消除；若En(1)有幾個(gè)重根，則表明簡(jiǎn)并只是部分消除，必須進(jìn)一步考慮二級(jí)修正才有可能使能級(jí)完全分裂開來(lái)。,微擾算符的本征值方程,36,為了確定能量 En 所對(duì)應(yīng)的0級(jí)近似波函數(shù)，可以把 En(1) 之值代入線性方程組從而解得一組c ( = 1,2,.,k)系數(shù)，將該組系數(shù)代回展開式就能夠得到相應(yīng)的 0 級(jí)近似波函數(shù)。,為了能表示出 c 是對(duì)應(yīng)與第 個(gè)能量一級(jí)修正 En(1) 的一組系數(shù)，我們?cè)谄渖霞由辖菢?biāo) 而改寫成 c 。這樣一來(lái)，線性方程組就改寫成：,37,例：一粒子Hamilton 量的矩陣形式為：H = H0 + H ，其中,求：能級(jí)的一級(jí)近似和波

11、函數(shù)的0級(jí)近似。,解,H0 的本征值是三重簡(jiǎn)并的，這是一個(gè)簡(jiǎn)并微擾問題。,E(1)(E(1)2 - 2 = 0,(1) 能量一級(jí)近似 由久期方程|H - E(1) I| = 0 得：,實(shí)例,38,解得：E(1) = 0, ,E1(1) =- E2(1) = 0 E3(1) = +,能級(jí)一級(jí)近似：,簡(jiǎn)并完全消除,(2) 0 級(jí)近似波函數(shù),將E1(1) = 代入方程，可得對(duì)應(yīng)能級(jí)E1的0 級(jí)近似波函數(shù)1(0),歸一化,39,歸一化,將E2(1) = 0代入方程，可得對(duì)應(yīng)能級(jí)E2的0 級(jí)近似波函數(shù)2(0),將E3(1) = 代入方程，可得對(duì)應(yīng)能級(jí)E3的0 級(jí)近似波函數(shù)3(0),同理可得,40,1、S

12、tark 效應(yīng),氫原子在外電場(chǎng)作用下產(chǎn)生譜線分裂的現(xiàn)象，稱為 Stark 效應(yīng)。,電子在氫原子中受到球?qū)ΨQ庫(kù)侖場(chǎng)作用，第n 個(gè)能級(jí)有 n2 度簡(jiǎn)并。加入外電場(chǎng)后，勢(shì)場(chǎng)對(duì)稱性受到破壞，能級(jí)發(fā)生分裂，簡(jiǎn)并部分被消除。Stark 效應(yīng)可用簡(jiǎn)并的微擾理論予以解釋。,2、外電場(chǎng)下氫原子 Hamilton 量,二、氫原子的一級(jí) Stark 效應(yīng),41,3、 H0的本征值和本征函數(shù),下面我們只討論 n = 2 的情況，這時(shí)簡(jiǎn)并度 n2 = 4。,取外電場(chǎng)沿 z 正向。通常外電場(chǎng)強(qiáng)度比原子內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度小得多。例如，強(qiáng)電場(chǎng)107伏/米，而原子內(nèi)部電場(chǎng)1011 伏/米，二者差4個(gè)量級(jí)。所以，可以把外電場(chǎng)的影響作為

13、微擾處理。,42,條件： H中H(t)定態(tài) H=H0+H, HH0 H0的本征態(tài)及本征譜已知 微擾的本質(zhì)是逐步逼近 簡(jiǎn)并微擾的結(jié)果可以消除或部分消除簡(jiǎn)并對(duì)稱破缺,43,3 變分法與氦原子基態(tài),微擾法適用于：,如上述條件不適用，則不能用微擾法求解體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。,本節(jié)，介紹一種新的求解微觀體系運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的近似方法變分法。變分法主要用于求解微觀體系的基態(tài)。,44,設(shè)體系的 Hamilton 量 H 的本征值由小到大順序排列為：,設(shè)H本征值是分立的，本征函數(shù)組成正交歸一完備系，即,一、變分法原理,1、能量平均值,能級(jí)E0 , |1 ,|2 ,.,|n,.,45,量子力學(xué)變分法,46,基于上述基本原理，

14、我們可以選取很多波函數(shù)|(1), |(2),., |(k),.為試探波函數(shù)，來(lái)計(jì)算能量平均值,其中最小的一個(gè)最接近基態(tài)能量 E0，即,如果選取的試探波函數(shù)接近基態(tài)波函數(shù)，則H的平均值就接近基態(tài)能量 E0 。這樣，我們就找到了一個(gè)計(jì)算基態(tài)能量和波函數(shù)的近似方法變分法。,使用此方法求基態(tài)近似，最主要的問題，就是：,如何尋找試探波函數(shù)？,47,試探波函數(shù)的選取直接關(guān)系到計(jì)算結(jié)果。如何選取試探波函數(shù)沒有固定可循的法則，通常是根據(jù)物理上的直覺去猜測(cè)。,（1）根據(jù)體系 Hamilton 量的形式和對(duì)稱性推測(cè)合理的 試探波函數(shù)；,（2）試探波函數(shù)要滿足問題的邊界條件；,（3）為了有選擇的靈活性，試探波函數(shù)應(yīng)

15、包含一個(gè) 或多個(gè)待調(diào)整的參數(shù)，這些參數(shù)稱為變分參數(shù)；,（4）若體系 Hamilton 量可以分成兩部分 H =H0 + H1， 而H0的本征函數(shù)已知有解析解，則該解析解可作為體系的試探波函數(shù)。,2、試探波函數(shù)的選取,48,有了試探波函數(shù)后，我們就可以計(jì)算,能量平均值是變分參數(shù)的函數(shù)，欲使取最小值，則要求：,上式就可定出試探波函數(shù)中的變分參量取何值時(shí) 有最小值，而此時(shí)的就可作為基態(tài)近似能量，試探波函數(shù)可作為基態(tài)近似波函數(shù)。,3、變分方法,49,例：一維簡(jiǎn)諧振子的基態(tài),一維簡(jiǎn)諧振子Hamilton 量：,其本征函數(shù)是：,下面我們利用變分法求諧振子基態(tài)。首先構(gòu)造試探波函數(shù)。,50,A 歸一化常數(shù)，

16、是變分參量。因?yàn)?1.(x)是光滑連續(xù)的函數(shù)，關(guān)于 x = 0 點(diǎn)對(duì)稱；,2. 滿足邊界條件即當(dāng) |x| 時(shí)， 0；,3. (x)是高斯函數(shù)，高斯函數(shù)有很好的性質(zhì)，可作解析積分，且有積分表可查。,51,1. 對(duì)試探波函數(shù)定歸一化系數(shù)：,2. 能量平均值,52,3.變分求極值,得基態(tài)能量近似值為：,這正是精確的一維諧振子基態(tài)能量。若將,代入試探波函數(shù)，得：,正是一維諧振子基態(tài)波函數(shù)。此例得到了精確的結(jié)果，是因?yàn)?，我們?cè)谶x取試探波函數(shù)時(shí)，對(duì)體系的物理特性（Hamilton量）進(jìn)行了全面的分析，構(gòu)造出了非常合理的試探波函數(shù)。,53,氦原子由帶正電 2e 的原子核與核外2個(gè)電子組成。核的質(zhì)量比電子質(zhì)量大得多，可認(rèn)為核固定不動(dòng)。氦原子Hamilton算符：,用變分法求氦原子基態(tài)能量。,氦原子Hamilton量,其中,其中 H0 是兩個(gè)電子獨(dú)立在核電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的 Hamilton 量，所以 H