隱函數(shù)的求導(dǎo)方法

1、第九章,第五節(jié),一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù) 及其導(dǎo)數(shù),二、方程組所確定的隱函數(shù)組 及其導(dǎo)數(shù),隱函數(shù)的求導(dǎo)方法,1) 方程在什么條件下才能確定隱函數(shù) .,例如, 方程,C 0 時(shí), 能確定隱函數(shù),C 0 時(shí), 不能確定隱函數(shù),2) 方程能確定隱函數(shù)時(shí),研究其連續(xù)性,可微性及求導(dǎo)方法問(wèn)題.,本節(jié)討論:,一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù),什么是隱函數(shù)？,顯函數(shù):,隱函數(shù):,二元方程,一元隱函數(shù),如,有時(shí)可以將隱函數(shù)顯化：,定理1. 設(shè)函數(shù),則方程,單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) ,并有連續(xù),(隱函數(shù)求導(dǎo)公式),定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：, 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);,的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè),

2、在點(diǎn),的某一鄰域內(nèi)滿足,滿足條件,導(dǎo)數(shù),兩邊對(duì) x 求導(dǎo),在,的某鄰域內(nèi),則,例1,方法一（公式法）,例1,方法二（直接求導(dǎo)法）,方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，把 y 視為函數(shù)。,例1,方法三（微分法）,方程兩邊同時(shí)微分,若F( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),二階導(dǎo)數(shù) :,則還可求隱函數(shù)的,由一個(gè)三元方程確定的隱函數(shù),二元顯函數(shù)：,二元隱函數(shù)：,三元方程,二元隱函數(shù)：,如,可以顯化,定理2 .,若函數(shù),的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ;,則方程,在點(diǎn),并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) ,定理證明從略, 僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:,滿足, 在點(diǎn),滿足:,某一鄰域內(nèi)可唯一確,兩

3、邊對(duì) x 求偏導(dǎo),同樣可得,則,例2,方法一（公式法）,例2,方法二（求偏導(dǎo)）,方程兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)，把 z 視為函數(shù)，y 視為常數(shù)。,例2,方法三（微分法）,方程兩邊同時(shí)微分,例2,解,令,則,練習(xí),解：,二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù),隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.,由 F、G 的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式,稱為F、G 的雅可比 行列式.,以兩個(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例 ,即,雅可比,定理3.,的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏,設(shè)函數(shù),則方程組,的單值連續(xù)函數(shù),且有偏導(dǎo)數(shù)公式 :, 在點(diǎn),的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件,滿足:,導(dǎo)數(shù)；,(P85),有隱函數(shù)組,則,兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得,

4、設(shè)方程組,在點(diǎn)P 的某鄰域內(nèi),解的公式,故得,系數(shù)行列式,同樣可得,例3. 設(shè),解:,方程組兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，并移項(xiàng)得,求,練習(xí): 求,答案:,由題設(shè),故有,例3. 設(shè),求,解法2（微分法）,方程組兩邊同時(shí)微分,用Gramer法則,顯然，利用全微分法求偏導(dǎo)數(shù)更簡(jiǎn)便,例4.設(shè)函數(shù),在點(diǎn)(u,v) 的某一,1) 證明函數(shù)組,( x, y) 的某一鄰域內(nèi),2) 求,解: 1) 令,對(duì) x , y 的偏導(dǎo)數(shù).,在與點(diǎn) (u, v) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn),鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且,唯一確定一組單值、連續(xù)且具有,連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù),式兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得,則有,由定理 3 可知結(jié)論 1) 成立.,2) 求反函數(shù)的偏

5、導(dǎo)數(shù).,從方程組解得,例4的應(yīng)用: 計(jì)算極坐標(biāo)變換,的反變換的導(dǎo)數(shù) .,同樣有,所以,由于,內(nèi)容小結(jié),1. 隱函數(shù)( 組) 存在定理,2. 隱函數(shù) ( 組) 求導(dǎo)方法,方法1. 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計(jì)算 ;,方法2. 利用微分形式不變性 ;,方法3. 代公式 .,思考與練習(xí),設(shè),求,提示:,解法2. 利用全微分形式不變性同時(shí)求出各偏導(dǎo)數(shù).,第六節(jié),由d y, d z 的系數(shù)即可得,作業(yè) P89 2 , 8， 9 ,10(1); (3),備用題,分別由下列兩式確定 :,又函數(shù),有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,1. 設(shè),解: 兩個(gè)隱函數(shù)方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得,(考研),解得,因此,2. 設(shè),是由方程,和,所確定的函數(shù) , 求,解法1 分別在各方程兩端對(duì) x 求導(dǎo), 得,(考研),解法2 微分法.,對(duì)各方程兩邊分別求微分:,化簡(jiǎn)得,消去,可得,二元線性代數(shù)方程組解的公式,解:,雅可比(1804 1851),德國(guó)數(shù)學(xué)家.,他在數(shù)學(xué)方面最主要,的成就是和挪威數(shù)學(xué)家阿貝兒相互獨(dú),地奠定了橢圓函數(shù)論的基礎(chǔ).,他對(duì)行列,式理論也作了奠基性的工作.,在偏微分,方程的研究中引進(jìn)了“雅可比行列式”,并應(yīng)用在微積,分中.,他的工作