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文檔簡介

1、第一章矢量分析、主要內(nèi)容梯度、分散度、旋轉(zhuǎn)度、亥姆霍茲定理,1 .標(biāo)量場的方向?qū)Ш瘮?shù)和梯度,2 .向量場的無損音頻壓縮編碼和分散度,3 .向量場的環(huán)量和旋轉(zhuǎn)度,4 .無分散場和無旋轉(zhuǎn)場的5 .格林定理,6 .向量場的唯一定理,7 .亥姆霍茲定理8 .正交曲面坐標(biāo)系, 1 .標(biāo)量場的方向?qū)Ш瘮?shù)和梯度,方向?qū)Ш瘮?shù):標(biāo)量場中的某個點的方向?qū)Ш瘮?shù)表示從標(biāo)量場的該點到某個方向的變化率。 例如,在標(biāo)量場的p點沿著l方向的方向?qū)Ш瘮?shù)中,標(biāo)量場的某個點的梯度的大小與該點的最大方向向?qū)Ш瘮?shù)相同,梯度的方向是具有該點的最大方向向?qū)Ш瘮?shù)的方向。 坡度是向量。 在正交坐標(biāo)系中,標(biāo)量場梯度可由方程中的grad或字母gr

2、adient的縮寫表示。 如果引入了運算符,則在垂直角坐標(biāo)系中,坡度可以表示為、 無損音頻壓縮編碼:沿著矢量a的某個有向曲面s的面積部分,稱為矢量a通過該有向曲面s的無損音頻壓縮編碼,用標(biāo)量表示。 也就是說,2 .向量場的無損音頻壓縮編碼和分散度,無損音頻壓縮編碼可為正、負(fù)或為零。 矢量穿過某個閉合面時,該閉合面上存在產(chǎn)生其向量場的源的矢量進入該閉合面時,該閉合面上有收斂其向量場的孔(或水槽)。 封閉有向曲面的方向通常定義為封閉面的外法向。 因此,在閉合面上活動時,矢量通過該閉合面的無損音頻壓縮編碼一定為正,相反,在閉合面上存在孔的情況下,矢量通過閉合面的流束一定為負(fù)。 因此,上述源稱為正源,

3、孔稱為負(fù)源。 如從物理上所理解的,在真空中的電場強度e通過任何閉合曲面的無損音頻壓縮編碼中,在被該閉合面包圍的自由電荷的電荷量q與真空介電常數(shù)0的比,即,在閉合面中存在正電荷的情況下,無損音頻壓縮編碼是正的。 如果閉合面上有負(fù)電荷,則通量為負(fù)。 在不存在電荷的無源區(qū)域中,通過任一閉合平面的無損音頻壓縮編碼為零。 該電實例一盞茶地顯示了閉合平面上的正、負(fù)和無源無損音頻壓縮編碼特性。 但是,通量僅表示封閉面的源總量,不能顯示源的分布特性。 因此有必要探討向量場的分散度。 當(dāng)閉合面s無限收縮到某一點時,矢量a通過該閉合面s的無損音頻壓縮編碼和由該閉合面s包圍的體積之比的界限稱為向量場a在該點的分散度

4、,用div A表示,式中div是英文dividence的縮寫,v是由閉合面s包圍的體積。 從上式可以理解為分散度是標(biāo)量,包圍每單位體積的封閉面的流束。 直角坐標(biāo)系中的分散度可以表示為、所以分散度用算子表示為高斯定理,或者在數(shù)學(xué)上高斯定理構(gòu)筑了面積分和體積分的關(guān)系。 可理解,在物理上,高斯定理確立了區(qū)域v中的情況與包圍區(qū)域v的閉合面s中的情況之間的關(guān)系。 因此,如果知道區(qū)域v中的位置,則能夠根據(jù)高斯定理求出邊界s上的位置,反之也是可能的。 將沿著向量場a的有向曲線l的曲線積分稱為沿著向量場a的該曲線的環(huán)量,即,3 .如果在閉合有向曲線l的基礎(chǔ)上向量場a的方向與線元dl的方向在任何地方一致,則可知

5、向量場的環(huán)量和旋轉(zhuǎn)度為0 可知環(huán)量可以用于描述向量場的渦特性。 如從、和物理學(xué)可以看出,真空中的磁感應(yīng)強度b沿著任何閉合有向圖l的環(huán)量等于被該閉合格拉夫包圍的傳導(dǎo)電流強度I與真空磁導(dǎo)率0的乘積。 即,式中的電流I的正方向和dl的方向為右旋的關(guān)系。 因此,環(huán)量表示產(chǎn)生具有渦特性的光源的強度,但環(huán)量表示由閉合曲線包圍的整體光源的強度,不能表示光源的分布特性。 因此,有必要研究向量場的旋轉(zhuǎn)度。 旋轉(zhuǎn)度:旋轉(zhuǎn)度是向量。當(dāng)以符號rot A表示向量a的旋轉(zhuǎn)速度時,其方向是使向量a具有最大循環(huán)量強度的方向,與針對該向量方向的最大循環(huán)量強度相等的大小,即,在式中,rot是字母rotation的略,en是最大循

6、環(huán)量強度的方向的單位矢量,s是閉合曲線l 根據(jù)上式,向量場的旋轉(zhuǎn)大小可以看作是包圍單位面積的封閉曲線上的最大環(huán)量。在垂直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)度可以用矩陣表示,或者用運算符表示,梯度、分散度或旋轉(zhuǎn)度是微分運算,表示場的某一點附近的變化特性,場的各點上的梯度、分散度或旋轉(zhuǎn)度可能不同。 因此,梯度、分散度和旋轉(zhuǎn)度稱為場的點特性或微分特性。 函數(shù)的連續(xù)性是一個微小的必要條件。 由此,在場量中發(fā)生間斷點,不存在先前定義的梯度、分散度或旋轉(zhuǎn)度。 斯托克斯定理與高斯定理相似,斯托克斯定理在數(shù)學(xué)上構(gòu)筑了面積分和曲線積分的關(guān)系。 物理上可以理解為串?dāng)_的定理建立了區(qū)域s中的情況和包圍區(qū)域s的閉合曲線l上的情況之間的關(guān)

7、系。 因而,如果知道區(qū)域s中的位置,則可以根據(jù)串?dāng)_定理獲得邊界l上的位置,反之亦然。 或者,、分散度為零的向量場寫為無分散場,旋轉(zhuǎn)度為零的向量場寫為無旋轉(zhuǎn)場。 4 .無分散場和無回轉(zhuǎn)場,兩個重要公式:左式表示,任何一個向量場a的回轉(zhuǎn)度分散度一定等于零。 因此,任何無分散場都一定是其他的向量場的旋轉(zhuǎn)度、或者任何旋轉(zhuǎn)場都是無分散場的。 右式表示標(biāo)量場梯度的旋轉(zhuǎn)度一定等于零。 因此,任何無旋轉(zhuǎn)場都一定可以表現(xiàn)為標(biāo)量場的梯度,或者任何梯度場都一定是無旋轉(zhuǎn)場。 假設(shè)存在任何兩個標(biāo)量場和區(qū)域v連續(xù)的二維偏導(dǎo)函數(shù),則綠色定理如下圖示: 中,可以證明滿足這兩個標(biāo)量場和下式,根據(jù)方向?qū)Ш瘮?shù)和梯度的關(guān)系,上式也是

8、式中,s是包圍v的封閉曲面,是標(biāo)量場的s表面的外法線en方向的導(dǎo)數(shù)。 以上兩式稱為標(biāo)量第一綠定理。 基于、上式,也可以將上式稱為標(biāo)量第二格林定理。 另外,若設(shè)為任意2個向量場p和q,有與區(qū)域v連續(xù)的二次偏振導(dǎo)數(shù),則能夠證明該向量場p和q滿足下式,其中,s為包圍v的閉合曲面,面元dS的方向為s的外法線方向,上式稱為矢量第一格林定理。 根據(jù)、上式也能得到下式:把這個式稱為矢量第二格林定理。 另外,無論哪個綠色定理都說明區(qū)域v中的場與邊界s中的場的關(guān)系。 因此,可以利用綠色定理將區(qū)域中場求解問題轉(zhuǎn)化為邊界出場求解問題。 另外,格林定理表示兩種標(biāo)量場或向量場之間應(yīng)滿足的關(guān)系。 因此,如果知道一個域的分布特性,則可以利用格林定理求解另一個域的分布特性。 格林定理被廣泛應(yīng)用于電磁理論。 在給定分散度、旋轉(zhuǎn)度及邊界上場量的切線或法線分量時,位于某一區(qū)域中的向量場可唯一確定該區(qū)域的向量場。 眾所周知分散度和旋轉(zhuǎn)度代表向量場的發(fā)生源,唯一定理表示向量場是由該源和邊界條件決定的。 當(dāng)、向量場F(r )是無限區(qū)域的任意一個單一值,其導(dǎo)函數(shù)連續(xù)有界,且在有限區(qū)域v分布有源時,給出向量場的分散度和旋

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