高等激光物理

1、Ch3 M-B方程理論,3.1 光與二能級原子相互作用系統(tǒng)的密度矩陣?yán)碚?3.2 M-B方程 3.3 行波的M-B方程 3.4 駐波M-B方程 3.5 Haken方程 3.6 單模均勻加寬行M-B方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,Ch3 M-B方程理論,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,本章將建立半經(jīng)典激光理論的基本框架。 激光器以及激光與物質(zhì)相互作用為基礎(chǔ)的。激光理論就是討論激光和物質(zhì)的相互作用。 半經(jīng)典激光理論的基本方程就是Maxwell-Bloch方程。建立在下述基本理論框架下： 半經(jīng)典激光理論把光場看成經(jīng)典的電磁波，基本的 光場描述就是Maxwell方程。 半經(jīng)典激光理論

2、把原子看成量子化的，用量子力學(xué)描述。 光與原子作用時，原子的量子力學(xué)行為可用密度矩陣方法很方便地描述。由此得到的描述原子的基本方程就是光學(xué)Bloch方程。,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,一、二能級原子模型 1、原子之間沒有直接作用 2、二能級近似二、電偶極近似三、純系統(tǒng)與混合系統(tǒng)- (1). 純系綜(2)混合系統(tǒng)四、純系統(tǒng)的密度矩陣 (1). 純系統(tǒng)的密度矩陣 (2). 力學(xué)量算符的平均值 (3). 密度矩陣元的物理意義 (4). 密度矩陣的狄拉克形式 (5). 密度矩陣元的運(yùn)動方程 五、混合系統(tǒng)的密度矩陣 實(shí)例 計(jì)算熱平衡輻射的平均光子數(shù),3.1 光與二能級原子相互作用系統(tǒng)的密度矩陣

3、理論,3.1 光與二能級原子相互作用系統(tǒng)的密度矩陣?yán)碚?一、二能級原子模型,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,1、原子之間沒有直接作用 由于激活原子的密度比較低，在激光理論中忽略原子之間的直接作用是較合理的近似。原子之間的碰撞相互作用歸入原子的馳豫或衰減中。但是各個原子都與同一個光場耦合，原子之間的這種間接作用，在一定條件下會導(dǎo)致原子的集體效應(yīng)。但這并非原子間的直接相互作用。 2、二能級近似 雖然實(shí)際的原子、分子等都有許多能級，在激光器中，只有與放光直接有關(guān)的上、下能級才與光發(fā)生主要作用。泵浦作用和衰減作用，主要提供初始條件(初始的反轉(zhuǎn)粒子數(shù))。用光與二能級原子作用作為基本模型，既簡捷又能

4、反映問題的本質(zhì)。,3.1 光與二能級原子相互作用系統(tǒng)的密度矩陣?yán)碚?一、二能級原子模型,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,Fig3-1: 光與二能級原子相互作用模型。,3.1 光與二能級原子相互作用系統(tǒng)的密度矩陣?yán)碚?一、二能級原子模型,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,無相互作用時原子的自由哈密頓H0 的本征方程為,寫成矩陣表示為：,原子的躍遷頻率為：,3.1 光與二能級原子相互作用系統(tǒng)的密度矩陣?yán)碚?二、電偶極近似,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,在研究光的吸收、自發(fā)輻射和受激輻射等問題時，電偶極近似是很好的近似。但要特別注意，處理多光子問題時可能出現(xiàn)問題，所以最好用A(x;

5、 t) 直接計(jì)算相互作用。 光和二能級原子相互作用時的哈密頓包括自由哈密頓和相互作用部分:,式中, V 是光場與二能級原子的電偶極矩的相互作用，表示為：,3.1 光與二能級原子相互作用系統(tǒng)的密度矩陣?yán)碚?二、電偶極近似,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,二能級原子作用的哈密頓量是,再假定原子沒有固有偶極矩(非極性的原子或分子)，必有,3.1 光與二能級原子相互作用系統(tǒng)的密度矩陣?yán)碚?三、純系統(tǒng)與混合系統(tǒng)- (1). 純系綜,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,(2). 混合系綜,3.1 光與二能級原子相互作用系統(tǒng)的密度矩陣?yán)碚?四、純系統(tǒng)的密度矩陣 (1). 純系統(tǒng)的密度矩陣,高等激光物

6、理 陳歷學(xué) 2007年3月,對一個純系統(tǒng)引入的密度矩陣，稱為純系綜的密度矩陣。,(3.1.1),式中的矩陣元分別為,寫成矩陣形式有：,3.1 光與二能級原子相互作用系統(tǒng)的密度矩陣?yán)碚?(2). 力學(xué)量算符的平均值,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,力學(xué)量算符的矩陣形式為,3.1 光與二能級原子相互作用系統(tǒng)的密度矩陣?yán)碚?(3). 密度矩陣元的物理意義,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,其平均值為：,3.1 光與二能級原子相互作用系統(tǒng)的密度矩陣?yán)碚?(3). 密度矩陣元的物理意義,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,歸結(jié)上述討論，我們可以將密度矩陣的對角元的物理意義總結(jié)如下：,3.1

7、光與二能級原子相互作用系統(tǒng)的密度矩陣?yán)碚?(4). 密度矩陣的狄拉克形式,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,我們計(jì)算,由此可以導(dǎo)出密度矩陣的狄拉克形式,我們還可以導(dǎo)出密度矩陣元的另一個重要性質(zhì)：,(3.1.26),3.1 光與二能級原子相互作用系統(tǒng)的密度矩陣?yán)碚?(5). 密度矩陣元的運(yùn)動方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,由薛定格方程：,和密度矩陣的狄拉克形式，可以得到密度矩陣的運(yùn)動方程：,寫成泊松括號的形式為,這樣，密度矩陣矩陣元的運(yùn)動方程可以直接寫出為：,3.1 光與二能級原子相互作用系統(tǒng)的密度矩陣?yán)碚?五、混合系統(tǒng)的密度矩陣,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,混合系綜的

8、密度矩陣定義,例如，對于二能級系統(tǒng)，有N個原子，第j個原子的態(tài)矢量是,則對應(yīng)的密度矩陣為,用混合系綜的密度矩陣求乎均值的公式以及運(yùn)動方程，在形式上 與純系綜的情況相似,3.1 光與二能級原子相互作用系統(tǒng)的密度矩陣?yán)碚?五、混合系統(tǒng)的密度矩陣,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,利用混合系綜的P的定義(3.1.17)式，則,混合系綜的密度矩陣的運(yùn)動方程也可由薛定格方程得到,(3.1.36),3.1 光與二能級原子相互作用系統(tǒng)的密度矩陣?yán)碚?實(shí)例 計(jì)算熱平衡輻射的平均光子數(shù),高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,光子數(shù)N 的幾率由Boltziman給出：,所以密度矩陣是,(3.1.39),(3.

9、1.40),3.1 光與二能級原子相互作用系統(tǒng)的密度矩陣?yán)碚?實(shí)例 計(jì)算熱平衡輻射的平均光子數(shù),高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,其中,3.1 光與二能級原子相互作用系統(tǒng)的密度矩陣?yán)碚?五、混合系統(tǒng)的密度矩陣,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,將上式代入到(3.1.26)式中得到,(3.1.26),這正是熟知的結(jié)果。 在激光全量子理論還要用到混合系綜的密度矩陣。,3.2 光學(xué)Bloch方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,將密度矩陣用于光與二能級原子的作用，可以得到光學(xué)Bloch方程這是研究激光理論的基本方程。本節(jié)求出光學(xué)Bloch方程，以下二節(jié)再利用旋轉(zhuǎn)波近似和慢變振幅近似簡化

10、，并給出光學(xué)Bloch方程的矢量形式。,一、無衰減的光學(xué)Bloch方程 二、考慮衰減過程的光學(xué)Bloch方程 三、旋轉(zhuǎn)波近似下的Bloch方程 四、慢變化振幅近似下的Bloch方程 五、光學(xué)Bloch 方程 六、光學(xué)Bloch 方程的矢量形式 七、光學(xué)Bloch方程矢量模型的物理意義,3.2 光學(xué)Bloch方程,一、無衰減的光學(xué)Bloch方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,對于二能級原子，根據(jù)密度矩陣元的運(yùn)動方程(3.1.15)，可得到,式中的各個物理量為：,將密度矩陣用于光與二能級原子的作用，可以得到光學(xué)Bloch方程這是研究激光理論的基本方程。本節(jié)求出光學(xué)Bloch方程，以下二節(jié)再

11、利用旋轉(zhuǎn)波近似和慢變振幅近似簡化，并給出光學(xué)Bloch方程的矢量形式。,3.2 光學(xué)Bloch方程,一、無衰減的光學(xué)Bloch方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,上式就是沒有考慮原子的衰減過程的光學(xué)Bloch方程。,將上述物理量代入到密度矩陣的運(yùn)動方程(3.2.1)中，可以得到各個矩陣元的運(yùn)動方程為：,3.2 光學(xué)Bloch方程,二、考慮衰減過程的光學(xué)Bloch方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,從上式可以看到，由于原子的衰減，也會導(dǎo)致原子的電偶極矩的衰減。由第二章我們知到，電偶極矩的衰減(即類似電偶極振子衰減)必然使輻射的譜線有一定的線寬。,3.2 光學(xué)Bloch方程,二、考

12、慮衰減過程的光學(xué)Bloch方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,(3.2.6),3.2 光學(xué)Bloch方程,二、考慮衰減過程的光學(xué)Bloch方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,(3.2.8),3.2 光學(xué)Bloch方程,二、考慮衰減過程的光學(xué)Bloch方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,(3.2.11),3.2 光學(xué)Bloch方程,三、旋轉(zhuǎn)波近似下的Bloch方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,本節(jié)將用慢變化包絡(luò)近似和旋轉(zhuǎn)波近似來進(jìn)一步簡化前面推導(dǎo)的密度矩陣元的運(yùn)動方程。,(1). 旋轉(zhuǎn)波近似,3.2 光學(xué)Bloch方程,三、旋轉(zhuǎn)波近似下的Bloch方程,高等激光

13、物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.2 光學(xué)Bloch方程,三、旋轉(zhuǎn)波近似下的光學(xué)Bloch方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.2 光學(xué)Bloch方程,三、旋轉(zhuǎn)波近似下的Bloch方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,在光場為零的情況下，上述非對角矩陣元的運(yùn)動方程可以簡化為：,上述方程的解為：,3.2 光學(xué)Bloch方程,三、旋轉(zhuǎn)波近似下的Bloch方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.2 光學(xué)Bloch方程,四、慢變化振幅近似下的Bloch方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,(1). 慢變化振幅近似,3.2 光學(xué)Bloch方程,四、慢變化振幅近似下的Bloc

14、h方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,(2). 慢變化振幅包絡(luò)近似下的光學(xué)Bloch方程,3.2 光學(xué)Bloch方程,四、慢變化振幅近似下的Bloch方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.2 光學(xué)Bloch方程,五、光學(xué)Bloch 方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.2 光學(xué)Bloch方程,五、光學(xué)Bloch 方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.2 光學(xué)Bloch方程,五、光學(xué)Bloch 方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.2 光學(xué)Bloch方程,五、光學(xué)Bloch 方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.2 光學(xué)Bloch方程,六

15、、光學(xué)Bloch 方程的矢量形式,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.2 光學(xué)Bloch方程,六、光學(xué)Bloch 方程的矢量形式,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.2 光學(xué)Bloch方程,六、光學(xué)Bloch 方程的矢量形式,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.2 光學(xué)Bloch方程,七、光學(xué)Bloch方程矢量模型的物理意義,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.2 光學(xué)Bloch方程,七、光學(xué)Bloch方程矢量模型的物理意義,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.2 光學(xué)Bloch方程,七、光學(xué)Bloch方程矢量模型的物理意義,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,

16、3.2 光學(xué)Bloch方程,七、光學(xué)Bloch方程的定態(tài)解,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.2 光學(xué)Bloch方程,七、光學(xué)Bloch方程矢量模型的物理意義,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.2 光學(xué)Bloch方程,七、光學(xué)Bloch方程矢量模型的物理意義,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.3 光和二能級原子相互作用系統(tǒng)的M-B方程,一、二能級原子和光場的相互作用,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,(1)、二能級原子和光場的相互作用,3.3 光和二能級原子相互作用系統(tǒng)的M-B方程,一、二能級原子和光場的相互作用,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.3 光和二

17、能級原子相互作用系統(tǒng)的M-B方程,一、二能級原子和光場的相互作用,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.3 光和二能級原子相互作用系統(tǒng)的M-B方程,一、二能級原子和光場的相互作用,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,(2)、原子的電偶極矩方程,(3.2.7),3.3 光和二能級原子相互作用系統(tǒng)的M-B方程,一、二能級原子和光場的相互作用,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.3 光和二能級原子相互作用系統(tǒng)的M-B方程,一、二能級原子和光場的相互作用,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.3 光和二能級原子相互作用系統(tǒng)的M-B方程,一、二能級原子和光場的相互作用,高等激光物理 陳歷

18、學(xué) 2007年3月,3.3 光和二能級原子相互作用系統(tǒng)的M-B方程,一、二能級原子和光場的相互作用,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.3 光和二能級原子相互作用系統(tǒng)的M-B方程,一、二能級原子和光場的相互作用,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,(3)、原子分布幾率反轉(zhuǎn)方程,3.3 光和二能級原子相互作用系統(tǒng)的M-B方程,二、二能級原子和光相互作用的M-B方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,（1）、二能級原子和光相互作用的M-B方程,3.3 光和二能級原子相互作用系統(tǒng)的M-B方程,二、二能級原子和光相互作用的M-B方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.3 光和二能級

19、原子相互作用系統(tǒng)的M-B方程,二、二能級原子和光相互作用的M-B方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,（2）、宏觀量的M-B 方程,3.3 光和二能級原子相互作用系統(tǒng)的M-B方程,二、二能級原子和光相互作用的M-B方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.3 光和二能級原子相互作用系統(tǒng)的M-B方程,二、二能級原子和光相互作用的M-B方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.3 光和二能級原子相互作用系統(tǒng)的M-B方程,二、二能級原子和光相互作用的M-B方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.3 光和二能級原子相互作用系統(tǒng)的M-B方程,三、Haken的場方程,高等激光物理

20、 陳歷學(xué) 2007年3月,3.3 光和二能級原子相互作用系統(tǒng)的M-B方程,三、Haken的場方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.3 光和二能級原子相互作用系統(tǒng)的M-B方程,三、Haken的場方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.3 光和二能級原子相互作用系統(tǒng)的M-B方程,三、Haken的場方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.3 光和二能級原子相互作用系統(tǒng)的M-B方程,三、Haken的場方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.3 光和二能級原子相互作用系統(tǒng)的M-B方程,四、Haken極化方程與反轉(zhuǎn)方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,(1)、Hak

21、en極化方程,(3.4.1),(3.3.20b),3.3 光和二能級原子相互作用系統(tǒng)的M-B方程,四、Haken極化方程與反轉(zhuǎn)方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.3 光和二能級原子相互作用系統(tǒng)的M-B方程,四、Haken極化方程與反轉(zhuǎn)方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,(2)、Haken反轉(zhuǎn)方程,3.3 光和二能級原子相互作用系統(tǒng)的M-B方程,四、Haken極化方程與反轉(zhuǎn)方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.3 光和二能級原子相互作用系統(tǒng)的M-B方程,五、Haken形式的HMB方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,場方程和物質(zhì)方程，構(gòu)成封閉的方程組。這三個方

22、程有極其生動而豐富的含義。場方程左邊是光場振幅隨時間的變化，右邊第一項(xiàng)是假定場與原子沒有作用時，腔內(nèi)的光場之振幅的振蕩與衰減。右邊第二項(xiàng)表明，原子偶極矩是場的輻射源，這在電磁學(xué)和電動力學(xué)中是熟知的。,3.3 光和二能級原子相互作用系統(tǒng)的M-B方程,六、歸一化的宏觀量的M-B方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.3 光和二能級原子相互作用系統(tǒng)的M-B方程,六、歸一化的宏觀量的M-B方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,(3.3.38),(3.4.1c),3.3 光和二能級原子相互作用系統(tǒng)的M-B方程,六、歸一化的宏觀量的M-B方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,(3.3.

23、33b),(3.3.33b),3.3 光和二能級原子相互作用系統(tǒng)的M-B方程,六、歸一化的宏觀量的M-B方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,(3.3.1),(3.3.1),3.4 行波與駐波情況下的M-B方程,一、行波與駐波光場的描述,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,(1)、行波光場描述,3.4 行波與駐波情況下的M-B方程,一、行波與駐波光場的描述,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.4 行波與駐波情況下的M-B方程,一、行波與駐波光場的描述,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,(2)、駐波光場描述,3.4 行波與駐波情況下的M-B方程,一、行波與駐波光場的描述,高等激

24、光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.4 行波與駐波情況下的M-B方程,一、行波與駐波光場的描述,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,(3.4.1),3.4 行波與駐波情況下的M-B方程,一、行波與駐波光場的描述,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,(3.4.1),(3.4.1),3.4 行波與駐波情況下的M-B方程,二、行波M-B方程的慢變化包絡(luò)近似,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.4 行波與駐波情況下的M-B方程,二、行波M-B方程的慢變化包絡(luò)近似,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,(3.4.1),(3.4.12),3.4 行波與駐波情況下的M-B方程,二、行波M-B方程的

25、慢變化包絡(luò)近似,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,實(shí)際上，上述近似是對二階的時空Maxwell波動方程降階，在空間上消去了空間二階微分項(xiàng)，保留了空間一階微分項(xiàng)，這個近似等價(jià)于空間衍射傳播的Fresnel近似。在時間上，保留了場振幅的一階時間微分，實(shí)際上也就是保留了阻尼的影響，但是我們極化場的變化我們沒有使用和振幅場同價(jià)的微分項(xiàng)，它的變化應(yīng)當(dāng)比光場振幅變化更加緩慢。,(3.4.12)- (3.4.14),3.4 行波與駐波情況下的M-B方程,二、行波M-B方程的慢變化包絡(luò)近似,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,(3.4.15),3.4 行波與駐波情況下的M-B方程,三、旋轉(zhuǎn)波近似下的行波Bloch方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.4 行波與駐波情況下的M-B方程,三、旋轉(zhuǎn)波近似下的行波Bloch方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,3.4 行波與駐波情況下的M-B方程,三、旋轉(zhuǎn)波近似下的行波Bloch方程,高等激光物理 陳歷學(xué) 2007年3月,這樣行波下的M-B方程可以寫作：,3.4 行波與駐波情況下的M-B方