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文檔簡介
1、第一講 行列式,一、考試要求,二、主要內(nèi)容,三、典型例題分析,2. 會利用行列式的性質(zhì)和行列式按行(列)展開定理計(jì)算行列式.,1.了解行列式的概念,掌握行列式的性質(zhì).,一、要求,二、主要內(nèi)容,1. 排列的逆序數(shù)、奇偶排列、對換的定義及逆序數(shù)的計(jì)算法.,2. n 階行列式的定義,稱為 n 階行列式.,即,表示所有取自不同行不同列的n個(gè)元素乘積,的代數(shù)和,,各項(xiàng)的符號由排列,的奇偶性決定,,奇負(fù)偶正,,1)行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.,2)互換行列式的兩行(列),行列式變號.,則此行列式為零.,若行列式有兩行(列)完全相同,,3)行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數(shù) k ,等于用數(shù) k 乘
2、此行列式.,3. 行列式的性質(zhì),(即某一行(列)可提取公因數(shù)),若行列式有兩行(列)元素對應(yīng)成比例,,則此行列式為零.,第i 行 與 j 行 互換,,(列) (列),式可拆成兩個(gè)行列式之和,,4)若行列式的某一行 (列)的元素都是兩數(shù)之和,,5)把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一數(shù)加到另一,(列)對應(yīng)的元素上去,,行列式不變,這兩個(gè)行列式的這一行(列)的,元素分別為對應(yīng)的兩個(gè)加數(shù)之一,,則該行列,其余各行(列)的元素,與原行列式相同.,4.行列式按行(列)展開定理,余子式與代數(shù)余子式的定義:,行列式按行(列)展開定理:,的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和.,行列式等于它的任一行(列),即
3、,且元素的余子式或代數(shù)余子式只與元素的位置有關(guān),,與該元素的值無關(guān).,行列式的每個(gè)元素分別對應(yīng)著一個(gè)余子式和一個(gè)代數(shù)余子式.,行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的,對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零,,即,或,說明:,5.主要公式及結(jié)論,1),2),3),4) 范德蒙 (Vandermonde)行列式,5)方陣的行列式,設(shè) A 與 B 是 n 階方陣,,三、典型例題分析,計(jì)算行列式,,或利用性質(zhì)化為上(下)三角形行列式等已知結(jié)果的行列式求,,或用行(列)展開定理求.,特別二階或三階行列式可對角線法求.,或利用定義求,,利用行列式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算,常用:,(1) 其余各行(列)加到同一行(列)
4、上去,,(2)其余各行(列)加或減同一行(列)的倍數(shù),將行列式化簡,(3)逐行(列)相加減或逐行(列)的倍數(shù)相加減,化簡行列式;,(4) 把行列式拆成幾個(gè)行列式的和(差).,適用于各列(行)諸元素之和相等的情形;,或化為上(下)三角形行列式;,適用于相鄰行(列)諸元素大小比較接近的情形;,(此種情況要注意先后順序),解法1:,例1. 計(jì)算行列式.,1.數(shù)字型行列式,解法2:,直接按某一行(列)展開,再計(jì)算4個(gè)三階行列式.,解法3:,例2 計(jì)算 n 階行列式,解:,此行列式的特點(diǎn)是:,各行(列)元素之和相等.,特點(diǎn):,解:,例3.計(jì)算,其余行與第一行比 僅主對角線元素不同,或其余列減第一列的倍數(shù)
5、,得下三角形行列式.,例4.,解法1:,箭形行列式,此行列式的特點(diǎn)是:,其余行與第一行比僅第一及主對角線上的元素不同.,解法2:,加邊法,例5.計(jì)算,特點(diǎn):,相鄰的行(列) 元素較接近,解法2:,例6.計(jì)算,特點(diǎn):,除最后一行外,相鄰的行(列)的元素較接近,法二:,法三:,按第一行展開,用遞推法,法4:,用數(shù)學(xué)歸納法.,若按最后一行展開,,如:,例7.,證明:,證法一:,(08,1,計(jì)算題中一問),(用歸納法),(三對角行列式),證法二:,(用遞推法),證法三:,(化為上三角形),例7.,求,解:,已知,例8.,解:,2.抽象行列式,已知 A 為3階矩陣,且,則,分析:,(05,1,4,04),分析:,法1:,法2:,(04,1,2,04),分析:,(10,2,04),分析:,的第n列元素的代數(shù)余子式之和,計(jì)算n階行列式,例9.,解:,3.關(guān)于代數(shù)余子式,已知,則,已知,則,分析:,例
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