量子力學(xué)chapter two-1.ppt

1、第二章 波函數(shù)和 Schrodinger 方程,1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋 2 態(tài)疊加原理 3 Schrodinger 方程 4 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律 5 定態(tài)Schrodinger方程 6 一維無限深勢阱 7 線性諧振子,1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋,（一）波函數(shù) （二）波函數(shù)的解釋 （三）波函數(shù)的性質(zhì),3個問題？,描寫自由粒子的平 面 波,如果粒子處于隨時間和位置變化的力場中運(yùn)動，他的動量和能量不再是常量（或不同時為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫，而必須用較復(fù)雜的波描寫，一般記為：,描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)，它通常是一個復(fù)函數(shù)。,稱為 deBroglie 波。此式稱為自由粒子的波函數(shù)。,(1) 是

2、怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？,(2) 如何體現(xiàn)波粒二象性的？,(3) 描寫的是什么樣的波呢？,（一）波函數(shù),返 回1,（二）波函數(shù)的解釋,（1）兩種錯誤的看法,1. 波由粒子組成,如水波，聲波，由分子密度疏密變化而形成的一種分布。,這種看法是與實驗矛盾的，它不能解釋長時間單個電子衍射實驗。,電子一個一個的通過小孔，但只要時間足夠長，底片上增加呈現(xiàn)出衍射花紋。這說明電子的波動性并不是許多電子在空間聚集在一起時才有的現(xiàn)象，單個電子就具有波動性。,波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動性的一面，具有片面性。,O,事實上，正是由于單個電子具有波動性，才能理解氫原子（只含一個電子！）中電子運(yùn)

3、動的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量子現(xiàn)象。,2. 粒子由波組成,電子是波包。把電子波看成是電子的某種實際結(jié)構(gòu)，是三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包。因此呈現(xiàn)出干涉和衍射等波動現(xiàn)象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運(yùn)動速度。 什么是波包？波包是各種波數(shù)（長）平面波的迭加。 平面波描寫自由粒子，其特點是充滿整個空間，這是因為平面波振幅與位置無關(guān)。如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿整個空間，這是沒有意義的，與實驗事實相矛盾。 實驗上觀測到的電子，總是處于一個小區(qū)域內(nèi)。例如在一個原子內(nèi)，其廣延不會超過原子大小1 。 電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？ “ 電子既不是粒子也不是波 ”，既

4、不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波，但是我們也可以說，“ 電子既是粒子也是波，它是粒子和波動二重性矛盾的統(tǒng)一?！?這個波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。,（2）Born 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋 幾率波,1.入射電子流強(qiáng)度小，開始顯示電子的微粒性，長時間亦顯示衍射圖樣;,我們再看一下電子的衍射實驗,2. 入射電子流強(qiáng)度大，很快顯示衍射圖樣.,結(jié)論：衍射實驗所揭示的電子的波動性是： 許多電子在同一個實驗中的統(tǒng)計結(jié)果，或者是一個電子在許多次相同實驗中的統(tǒng)計結(jié)果。 波函數(shù)正是為了描述粒子的這種行為而引進(jìn)的，在此基礎(chǔ)上，Born 提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計解釋。,r 點附近衍射花樣的強(qiáng)度 正比于該點附近

5、感光點的數(shù)目， 正比于該點附近出現(xiàn)的電子數(shù)目， 正比于電子出現(xiàn)在 r 點附近的幾率。,在電子衍射實驗中，照相底片上,據(jù)此，描寫粒子的波可以認(rèn)為是幾率波，反映微觀客體運(yùn)動的一種統(tǒng)計規(guī)律性，波函數(shù) (r)有時也稱為幾率幅。 這就是首先由 Born 提出的波函數(shù)的幾率解釋，它是量子力學(xué)的基本原理。,假設(shè)衍射波波幅用 (r) 描述，與光學(xué)相似， 衍射花紋的強(qiáng)度則用 | (r)|2 描述，但意義與經(jīng)典波不同。,| (r)|2 的意義是代表電子出現(xiàn)在 r 點附近幾率的大小， 確切的說， | (r)|2 x y z 表示在 r 點處，體積元x y z中找到粒子的幾率。波函數(shù)在空間某點的強(qiáng)度（振幅絕對值的平方

6、）和在這點找到粒子的幾率成比例，,返 回,（3）關(guān)于用波函數(shù)描述量子狀態(tài)的討論,1、與經(jīng)典力學(xué)中質(zhì)點的狀態(tài)描述完全不同 經(jīng)典力學(xué)：質(zhì)點的坐標(biāo)和動量（或速度）描寫質(zhì)點的狀態(tài)， 量子力學(xué)：不可能同時用粒子的坐標(biāo)和動量的確定值來描寫粒子的量子狀態(tài)， 2、粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率只決定于波函數(shù)在空間各點的相對強(qiáng)度，而不決定絕對強(qiáng)度大小。,（三）波函數(shù)的性質(zhì),在 t 時刻， r 點，d = dx dy dz 體積內(nèi)，找到由波函數(shù) (r,t) 描寫的粒子的幾率是： d W( r, t) = C| (r,t)|2 d， 其中，C是比例系數(shù)。,根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋，波函數(shù)有如下重要性質(zhì)：,（1）幾率和幾率密度

7、,在 t 時刻 r 點，單位體積內(nèi)找到粒子的幾率是： ( r, t ) = dW(r, t )/ d = C | (r,t)|2 稱為幾率密度。,在體積 V 內(nèi)，t 時刻找到粒子的幾率為： W(t) = V dW = V( r, t ) d= CV | (r,t)|2 d,（2）平方可積,由于粒子在空間總要出現(xiàn)（不討論粒子產(chǎn)生和湮滅情況），所以在全空間找到粒子的幾率應(yīng)為一，即： C | (r , t)|2 d= 1, 從而得常數(shù) C 之值為： C = 1/ | (r , t)|2 d,這即是要求描寫粒子量子狀態(tài)的波函數(shù)必須是絕對值平方可積的函數(shù)。,若, | (r , t)|2 d , 則 C

8、0, 這是沒有意義的。,（3）歸一化波函數(shù),這與經(jīng)典波不同。經(jīng)典波波幅增大一倍（原來的 2 倍），則相應(yīng)的波動能量將為原來的 4 倍，因而代表完全不同的波動狀態(tài)。經(jīng)典波無歸一化問題。, (r , t ) 和 C (r , t ) 所描寫狀態(tài)的相對幾率是相同的，這里的 C 是常數(shù)。 因為在 t 時刻，空間任意兩點 r1 和 r2 處找到粒子的相對幾率之比是：,由于粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率只取決于波函數(shù)在空間各點強(qiáng)度的相對比例，而不取決于強(qiáng)度的絕對大小，因而，將波函數(shù)乘上一個常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，即 (r, t) 和 C (r, t) 描述同一狀態(tài),可見，

9、 (r , t ) 和 C (r , t ) 描述的是同一幾率波，所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。,歸一化常數(shù),若 (r , t ) 沒有歸一化， | (r , t )|2 d= A （A 是大于零的常數(shù)），則有 |(A)-1/2 (r , t )|2 d= 1 也就是說，(A)-1/2 (r , t )是歸一化的波函數(shù)， 與 (r , t )描寫同一幾率波， (A)-1/2 稱為歸一化因子。 注意：對歸一化波函數(shù)仍有一個模為一的因子不定性。 若 (r , t )是歸一化波函數(shù)，那末， expi (r , t ) 也是歸一化波函數(shù)（其中是實數(shù)），與前者描述同一幾率波。,返 回,2 態(tài)疊加原理,（

10、一）態(tài)疊加原理 （二）態(tài)疊加原理的推廣 （三） 如何理解經(jīng)典物理和量子力學(xué)的疊加原理 (四) 量子物理與經(jīng)典物理的根本區(qū)別,返回,（一）態(tài)疊加原理,微觀粒子具有波動性，會產(chǎn)生衍射圖樣。而干涉和衍射的本質(zhì)在于波的疊加性，即可相加性，兩個相加波的干涉的結(jié)果產(chǎn)生衍射。 因此，同光學(xué)中波的疊加原理一樣，量子力學(xué)中也存在波疊加原理。因為量子力學(xué)中的波，即波函數(shù)決定體系的狀態(tài)，稱波函數(shù)為狀態(tài)波函數(shù)，所以量子力學(xué)的波疊加原理稱為態(tài)疊加原理。,考慮電子雙縫衍射,= C11 + C22 也是電子的可能狀態(tài)。 空間找到電子的幾率則是： |2 = |C11+ C22|2 = (C1*1*+ C2*2*) (C11+

11、 C22) = |C1 1|2+ |C22|2 + C1*C21*2 + C1C2*12*,電子穿過狹縫出現(xiàn)在點的幾率密度,電子穿過狹縫出現(xiàn)在點的幾率密度,相干項 正是由于相干項的出現(xiàn)，才產(chǎn)生了衍射花紋。,一個電子有 1 和 2 兩種可能的狀態(tài)， 是這兩種狀態(tài)的疊加。,其中C1 和 C2 是復(fù)常數(shù)，這就是量子力學(xué)的態(tài)疊加原理。,（二）態(tài)疊加原理的推廣 態(tài)疊加原理一般表述： 若1 ，2 ,., n ,.是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加 = C11 + C22 + .+ Cnn + . (其中 C1 , C2 ,.,Cn ,.為復(fù)常數(shù))。 也是體系的一個可能狀態(tài)。 處于態(tài)的體系，部分的

12、處于 1態(tài)，部分的處于2態(tài).，部分的處于n，.,一般情況下，如果1和2 是體系的可能狀態(tài)，那末它們的線性疊加 = C11 + C22 也是該體系的一個可能狀態(tài).,例：,電子在晶體表面反射后，電子可能以各種不同的動量 p 運(yùn)動。具有確定動量的運(yùn)動狀態(tài)用deBroglie 平面波表示,根據(jù)疊加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài)可表示成 p 取各種可能值的平面波的線性疊加，即,而衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結(jié)果。,p,返回,（三）如何理解經(jīng)典物理和量子力學(xué)的疊加原理,統(tǒng)計規(guī)律中的幾率幅的相加律（而不是幾率相加律） 數(shù)學(xué)形式相同；物理本質(zhì)不同。 兩個經(jīng)典波疊加新的波具有新的特征 兩個量子波疊加不形

13、成新的狀態(tài)代表什么呢？ 測量結(jié)果的不確定性,（四）量子物理與經(jīng)典物理的根本區(qū)別,量子物理的基本規(guī)律統(tǒng)計規(guī)律；經(jīng)典物理的基本規(guī)律決定論（嚴(yán)格的因果律） 量子物理的統(tǒng)計規(guī)律與經(jīng)典物理的統(tǒng)計規(guī)律完全不同；量子物理的核心概念幾率幅；經(jīng)典物理的關(guān)鍵概念幾率,3 Schrodinger 方程,（一）為什么要建立Schrodinger 方程 （二）引進(jìn)方程的基本考慮 （三）自由粒子滿足的方程 （四）勢場 V (r) 中運(yùn)動的粒子 （五）多粒子體系的Schrodinger方程,返回,這些問題在1926年Schrodinger 提出了波動方程之后得到了圓滿解決。,微觀粒子量子狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，波函數(shù)確定之后

14、，粒子的任何一個力學(xué)量的平均值及其測量的可能值和相應(yīng)的幾率分布也都被完全確定，波函數(shù)完全描寫微觀粒子的狀態(tài)。因此量子力學(xué)最核心的問題就是要解決以下兩個問題：,(1)在各種情況下，找出描述系統(tǒng)的各種可能的波函數(shù)； (2)波函數(shù)如何隨時間演化。,（一）為什么要建立Schrodinger 方程,返回,（二）引進(jìn)方程的基本考慮,從牛頓方程，人們可以確定以后任何時刻 t 粒子的狀態(tài) r 和 p 。因為初條件知道的是坐標(biāo)及其對時間的一階導(dǎo)數(shù)，所以方程是時間的二階常微分方程。,讓我們先回顧一下經(jīng)典粒子運(yùn)動方程，看是否能給我們以啟發(fā)。,（1）經(jīng)典情況,（2）量子情況,3第三方面，方程不能包含狀態(tài)參量，如 p,

15、 E等，否則方程只能被粒子特定的狀態(tài)所滿足，而不能為各種可能的狀態(tài)所滿足。,1因為，t = t0 時刻，已知的初態(tài)是( r, t0) 且只知道這樣一個初條件，所以，描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)所滿足的方程只能含對時間 的一階導(dǎo)數(shù)。,2另一方面，要滿足態(tài)疊加原理，即，若1( r, t ) 和2( r, t )是方程的解，那末。 ( r, t)= C11( r, t ) + C22( r, t ) 也應(yīng)是該方程的解。這就要求方程應(yīng)是線性的，也就是說方程中只能包含, 對時間的一階導(dǎo)數(shù)和對坐標(biāo)各階導(dǎo)數(shù)的一次項，不能含它們的平方或開方項。,返回,（三）自由粒子滿足的方程,這不是所要尋找的方程，因為它包含狀態(tài)參量

16、 E 。將對坐標(biāo)二次微商，得：,將上式對 t 微商，得：,(1)(2)式,滿足上述構(gòu)造方程的三個條件,討論：,通過引出自由粒子波動方程的過程可以看出，如果能量關(guān)系式 E = p2/2 寫成如下方程形式：,做算符替換（4）即得自由粒子滿足的方程（3）。,(1)(2)式,返回,（四）勢場 V(r) 中運(yùn)動的粒子,該方程稱為 Schrodinger 方程，也常稱為波動方程。 討論：,若粒子處于勢場 V(r) 中運(yùn)動，則能動量關(guān)系變?yōu)椋?將其作用于波函數(shù)得：,做（4）式的算符替換得：,返回,（五）多粒子體系的 Schrodinger 方程,設(shè)體系由 N 個粒子組成， 質(zhì)量分別為 i (i = 1, 2

17、,., N) 體系波函數(shù)記為 ( r1, r2, ., rN ; t) 第i個粒子所受到的外場 Ui(ri) 粒子間的相互作用 V(r1, r2, ., rN) 則多粒子體系的 Schrodinger 方程可表示為：,多粒子體系 Hamilton 量,對有 Z 個電子的原子，電子間相互作用為 Coulomb 排斥作用：,而原子核對第 i 個電子的 Coulomb 吸引能為：,假定原子核位于坐標(biāo)原點，無窮遠(yuǎn)為勢能零點。,例如：,返回,4 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律,（一）定域幾率守恒 （二）再論波函數(shù)的性質(zhì),返回,（一） 定域幾率守恒,考慮低能非相對論實物粒子情況，因沒有粒子的產(chǎn)生和湮滅問題，粒

18、子數(shù)保持不變。對一個粒子而言，在全空間找到它的幾率總和應(yīng)不隨時間改變，即,在討論了狀態(tài)或波函數(shù)隨時間變化的規(guī)律后，我們進(jìn)一步討論粒子在一定空間區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的幾率將怎樣隨時間變化。粒子在 t 時刻 r 點周圍單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率即幾率密度是：,證：,考慮 Schrodinger 方程及其共軛式：,取共軛,在空間閉區(qū)域中將上式積分，則有：,閉區(qū)域上找到粒子的總幾率在單位時間內(nèi)的增量,J是幾率流密度，是一矢量。,所以(7)式是幾率（粒子數(shù)）守恒的積分表示式。,令 Eq.（7）趨于 ，即讓積分對全空間進(jìn)行，考慮到任何真實的波函數(shù)應(yīng)該是平方可積的，波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處為零，則式右面積分趨于零，于是 Eq.

19、（7）變?yōu)椋?其微分形式與流體力學(xué)中連續(xù)性方程的形式相同,使用 Gauss 定理,單位時間內(nèi)通過的封閉表面 S 流入（面積分前面的負(fù)號）內(nèi)的幾率,討論：,表明，波函數(shù)歸一化不隨時間改變，其物理意義是粒子既未產(chǎn)生也未消滅。,（1） 這里的幾率守恒具有定域性質(zhì)，當(dāng)空間某處幾率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率不變，并伴隨著某種流來實現(xiàn)這種變化。,同理可得量子力學(xué)的電荷守恒定律：,表明電荷總量不隨時間改變,返回,（二）再論波函數(shù)的性質(zhì),1. 由 Born 的統(tǒng)計解釋可知，描寫粒子的波函數(shù)已知后，就知道了粒子在空間的幾率分布，即 d (r, t) = |(r, t)|2 d 2. 已知 (r,

20、 t)， 則任意力學(xué)量的平均值、可能值及相應(yīng)的幾率就都知道了，也就是說，描寫粒子狀態(tài)的一切力學(xué)量就都知道了。所以波函數(shù)又稱為狀態(tài)波函數(shù)或態(tài)函數(shù)。 3.知道體系所受力場和相互作用及初始時刻體系的狀態(tài)后，由Schrodinger方程即可確定以后時刻的狀態(tài)。,（1）波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài),（2）波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件,1. 根據(jù)Born統(tǒng)計解釋 (r, t) = *(r, t) (r, t)是粒子在t時刻出現(xiàn)在 r點的幾率，這是一個確定的數(shù)，所以要求(r, t)應(yīng)是 r, t的單值函數(shù)且有限。,式右含有及其對坐標(biāo)一階導(dǎo)數(shù)的積分，由于積分區(qū)域是任意選取的，所以S是任意閉合面。要使積分有意義，必須在變數(shù)的全部

21、范圍，即空間任何一點都應(yīng)是有限、連續(xù)且其一階導(dǎo)數(shù)亦連續(xù)。 概括之，波函數(shù)在全空間每一點通常應(yīng)滿足單值、有限、連續(xù)三個條件，該條件稱為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。,2.根據(jù)粒子數(shù)守恒定律 :,（3）量子力學(xué)基本假定 I、 II,量子力學(xué)基本假定 I 波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài),量子力學(xué)基本假定 II 波函數(shù)隨時間的演化遵從 Schrodinger 方程,返回,5 定態(tài)Schrodinger方程,（一）定態(tài)Schrodinger方程 （二）Hamilton算符和能量本征值方程 （三）求解定態(tài)問題的步驟 （四）定態(tài)的性質(zhì),返回,（一）定態(tài)Schrodinger方程,現(xiàn)在讓我們討論 有外場情況下的定態(tài) Schrodinger 方程：,令：,于是：,V(r)與t無關(guān)時，可以分離變量,等式兩邊是相互無關(guān)的物理量，故應(yīng)等于與 t, r 無關(guān)的常數(shù),該方程稱為定態(tài) Schrodinger 方程，(r)也可稱為定態(tài)波函數(shù)，或可看作是t=0時刻(r,0)的定態(tài)波函數(shù)。,此波函數(shù)與時間t的關(guān)系是正弦型的，其角頻率=2E/h。 由de