2017年高考江蘇數(shù)學(xué)試題及答案

1、2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)I一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分 請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上（1）【2017年江蘇，1，5分】已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為_【答案】1【解析】集合，或，解得【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意交集定義及性質(zhì)的合理運(yùn)用（2）【2017年江蘇，2，5分】已知復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，則的模是_【答案】【解析】復(fù)數(shù)，【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題（3）【2017年江蘇，3，5分】某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200，400，3

2、00，100件為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取_件【答案】18【解析】產(chǎn)品總數(shù)為件，而抽取60輛進(jìn)行檢驗(yàn)，抽樣比例為，則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取件【點(diǎn)評】本題的考點(diǎn)是分層抽樣分層抽樣即要抽樣時(shí)保證樣本的結(jié)構(gòu)和總體的結(jié)構(gòu)保持一致，按照一定的比例，即樣本容量和總體容量的比值，在各層中進(jìn)行抽?。?）【2017年江蘇，4，5分】如圖是一個(gè)算法流程圖：若輸入的值為，則輸出的值是_【答案】【解析】初始值，不滿足，所以【點(diǎn)評】本題考查程序框圖，模擬程序是解決此類問題的常用方法，注意解題方法的積累，屬于 基礎(chǔ)題（5）【2017年江蘇，5，5分

3、】若則_【答案】【解析】，解得【點(diǎn)評】本題考查了兩角差的正切公式，屬于基礎(chǔ)題（6）【2017年江蘇，6，5分】如如圖，在圓柱內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切。記圓柱的體積為，球O的體積為，則的值是_【答案】【解析】設(shè)球的半徑為R，則球的體積為：，圓柱的體積為：則【點(diǎn)評】本題考查球的體積以及圓柱的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力（7）【2017年江蘇，7，5分】記函數(shù) 的定義域?yàn)镈在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則的概率是_【答案】【解析】由得，得，則，則在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則的概率【點(diǎn)評】本題主要考查幾何概型的概率公式的計(jì)算，結(jié)合函數(shù)的定義域求出D，以及利用幾何概型的概率公式是

4、解決本題的關(guān)鍵（8）【2017年江蘇，8，5分】在平面直角坐標(biāo)系中 ，雙曲線 的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，其焦點(diǎn)是，則四邊形的面積是_【答案】【解析】雙曲線的右準(zhǔn)線：，雙曲線漸近線方程為：，所以，則四邊形的面積是：【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力（9）【2017年江蘇，9，5分】等比數(shù)列的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前項(xiàng)的和為，已知，則 _【答案】32【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，解得，則【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題（10）【2017年江蘇，10，5分】某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存

5、儲費(fèi)用為萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)之和最小，則的值是_【答案】30【解析】由題意可得：一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和=（萬元）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號【點(diǎn)評】本題考查了基本不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題（11）【2017年江蘇，11，5分】已知函數(shù)，其中是自然數(shù)對數(shù)的底數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：，可得在R上遞增；又，可得為奇函數(shù)，則，即有，即有，解得【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷和應(yīng)用，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和定義法，考查轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用和二次不等式的解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題（12）【2017年江蘇，12，5分】如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)

6、，向量，的模分別為1，1，與的夾角為，且，與的夾角為。若（），則_【答案】3【解析】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系由與的夾角為，且，（），解得，則【點(diǎn)評】本題考查了向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、和差公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題（13）【2017年江蘇，13，5分】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在圓上，若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是_【答案】【解析】根據(jù)題意，設(shè)，則有，化為，即，表示直線以及直線下方的區(qū)域，聯(lián)立，解可得或，由圖得：點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是【點(diǎn)評】本題考查數(shù)量積運(yùn)算以及直線與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是利用數(shù)量積化簡變形得到關(guān)于、的關(guān)系式（14）【2017年江蘇，14，5分】設(shè)是定義在R且周期為1的函數(shù)，

7、在區(qū)間上， ，其中集合，則方程的解的個(gè)數(shù)是_【答案】8【解析】在區(qū)間上，第一段函數(shù)上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均為有理數(shù)，又是定義在R上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間上，此時(shí)的圖象與有且只有一個(gè)交點(diǎn)；同理：區(qū)間上，的圖象與有且只有一個(gè)交點(diǎn)；區(qū)間上，的圖象與有且只有一個(gè)交點(diǎn)；區(qū)間上，的圖象與有且只有一個(gè)交點(diǎn)；區(qū)間上，的圖象與有且只有一個(gè)交點(diǎn)；區(qū)間上，的圖象與有且只有一個(gè)交點(diǎn)；區(qū)間上，的圖象與有且只有一個(gè)交點(diǎn)；區(qū)間上，的圖象與有且只有一個(gè)交點(diǎn)；在區(qū)間上，的圖象與無交點(diǎn)；故的圖象與有8個(gè)交點(diǎn)；即方程的解的個(gè)數(shù)是8【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，轉(zhuǎn)化思想，難度中檔二、解答題：本大題

8、共6小題，共計(jì)90分請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟（15）【2017年江蘇，15，14分】如圖，在三棱錐中，平面平面，點(diǎn)E、F（E與A、D不重合）分別在棱AD，BD上，且 （1）； （2）解：（1）在平面內(nèi)，因?yàn)椋杂忠驗(yàn)槠矫?，平面，所以?）因?yàn)槠矫?，平面平面?平面BCD，所以平面因?yàn)槠矫?，所以又?，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以【點(diǎn)評】本題考查線面平行及線線垂直的判定，考查空間想象能力，考查轉(zhuǎn)化思想，涉及線面平行判定定理，線面垂直的性質(zhì)及判定定理，注意解題方法的積累，屬于中檔題（16）【2017年江蘇，16，14分】已知向量， （1）

9、若，求x的值； （2）記，求的最大值和最小值以及對應(yīng)的的值解：（1）因?yàn)?，所以若，則，與矛盾，故于是又，所以（2）因?yàn)?，所以，從而于是，?dāng)，即時(shí)， 取到最大值3；當(dāng)，即時(shí)，取到最小值【點(diǎn)評】本題考查了向量的平行和向量的數(shù)量積以及三角函數(shù)的化簡和三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題（17）【2017年江蘇，17，14分】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8點(diǎn)在橢圓E上，且位于第一象限，過點(diǎn)作直線的垂線，過點(diǎn)作直線的垂線 （1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若直線l1，l2的交點(diǎn)Q在橢圓E上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c 因?yàn)闄E圓E的離心率為，兩準(zhǔn)線之

10、間的距離為8，所以，解得，于是，因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是（2）解法一：由（1）知，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)為第一象限的點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，與相交于，與題設(shè)不符當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，直線的斜率為因?yàn)椋灾本€的斜率為，直線的斜率為，從而直線的方程：， 直線的方程： 由，解得，所以因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，由對稱性，得，即或又在橢圓E上，故由，解得； ，無解因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為解法二：設(shè)，由在第一象限，則，當(dāng)時(shí)，不存在，解得：與重合，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，由，則，直線的方程，直線的方程，聯(lián)立解得：，則，由在橢圓方程，由對稱性可得：，即，或，由，在橢圓方程，解得：，或，無解，又在第一象限，所以的坐標(biāo)為：【點(diǎn)評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢

11、圓的位置關(guān)系，考查直線的斜率公式，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查計(jì)算能力，屬于中檔題（18）【2017年江蘇，18，16分】如如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱臺形玻璃容器的高均為32cm，容器的底面對角線AC的長為cm，容器的兩底面對角線EG，的長分別為14cm和62cm 分別在容器和容器中注入水，水深均為12cm 現(xiàn)有一根玻璃棒l，其長度為40cm（容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì)） （1）將l放在容器中，l的一端置于點(diǎn)A處，另一端置于側(cè)棱上，求l沒入水中部分的長度； （2）將l放在容器中，l的一端置于點(diǎn)E處，另一端置于側(cè)棱GG1上，求l沒入水中部分的長度解：（1）由正棱柱的定義，平面，所以

12、平面平面，記玻璃棒的另一端落在上點(diǎn)處因?yàn)?，所以，從而，記與水面的焦點(diǎn)為，過作，為垂足，則平面，故，從而玻璃棒沒入水中部分的長度為16cm（2）如圖，O，O1是正棱臺的兩底面中心由正棱臺的定義，平面， 所以平面平面，同理，平面平面，記玻璃棒的另一端落在上點(diǎn)N處過G作，K為垂足，則因?yàn)?，所以，從?設(shè)，則因?yàn)?，所以在中，由正弦定理可得，解?因?yàn)椋杂谑怯汦N與水面的交點(diǎn)為P2，過 P2作，Q2為垂足，則平面 EFGH，故，從而 玻璃棒l沒入水中部分的長度為20cm【點(diǎn)評】本題考查玻璃棒沒入水中部分的長度的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空

13、間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題（19）【2017年江蘇，19，16分】對于給定的正整數(shù)，若數(shù)列滿足 對任意正整數(shù)總成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列” （1）證明：等差數(shù)列是“數(shù)列”； （2）若數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，證明：是等差數(shù)列解：（1）因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，設(shè)其公差為，則，從而，當(dāng)時(shí)，所以，因此等差數(shù)列是“數(shù)列”（2）數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，因此，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，由知， ，將代入，得，其中，所以是等差數(shù)列，設(shè)其公差為在中，取，則，所以，在中，取，則，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查數(shù)列的新定義的性質(zhì)，考查數(shù)列的運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔

14、題（20）【2017年江蘇，20，16分】已知函數(shù)有極值，且導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn)。（極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對應(yīng)的自變量的值） （1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域； （2）證明：；（3）若， 這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于，求a的取值范圍解：（1）由，得當(dāng)時(shí)，有極小值因?yàn)榈臉O值點(diǎn)是的零點(diǎn)所以，又，故因?yàn)橛袠O值，故有實(shí)根，從而，即時(shí)，故在R上是增函數(shù)，沒有極值；時(shí)，有兩個(gè)相異的實(shí)根，列表如下：x+00+極大值極小值故的極值點(diǎn)是從而，因此，定義域?yàn)椋?）由（1）知，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，從而在上單調(diào)遞增因?yàn)?，所以，故，即因此?）由（1）知，的極值點(diǎn)是，且，從而記，所有極值之和為，因?yàn)榈臉O值為，所以，因

15、為，于是在上單調(diào)遞減因?yàn)?，于是，故因此a的取值范圍為【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，考查運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思想，注意解題方法的積累，屬于難題數(shù)學(xué)21【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩題評分解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟（21-A）【2017年江蘇，21-A，10分】（選修4-1：幾何證明選講）如圖，為半圓的直徑， 直線PC切半圓O于點(diǎn)C，P為垂足求證：（1）；（2）。解：（1）因?yàn)榍邪雸AO于點(diǎn)C，所以，因?yàn)闉榘雸AO的直徑，所以，因?yàn)锳PPC，所以，所以（2）由（1）知，故，所以【點(diǎn)評】本題考查了

16、弦切角定理、圓的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形相似的判定與性質(zhì)定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題（21-B）【2017年江蘇，21-B，10分】（選修4-2：矩陣與變換）已知矩陣，（1）求；（2）若曲線C1； 在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到另一曲線，求的方程解：（1）因?yàn)椋?，所以（2）設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn)，它在矩陣AB對應(yīng)的變換作用下變?yōu)椋瑒t，即，所以因?yàn)樵谇€上，所以，從而，即因此曲線在矩陣AB對應(yīng)的變換作用下得到曲線【點(diǎn)評】本題考查了矩陣乘法與矩陣變換，屬于中檔題（21-C）【2017年江蘇，21-C，10分】（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在平面坐標(biāo)系中中，已知直線的參考方程為（為

17、參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）。設(shè)為曲線上的動點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的最小值解：直線的普通方程為因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，設(shè)，從而點(diǎn)到直線的的距離，當(dāng)時(shí)，因此當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，曲線上點(diǎn)到直線的距離取到最小值【點(diǎn)評】本題考查了參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題（21-D）【2017年江蘇，21-D】（本小題滿分10分）（選修4-5：不等式選講）已知為實(shí)數(shù)，且，證明解：由柯西不等式可得：，因?yàn)樗?，因此【點(diǎn)評】本題考查了對和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題【必做題】第22、23題，每小題10分，計(jì)20分請把答案寫在答題卡的指定區(qū)域內(nèi)（22）【2017年江蘇，22，10分】如圖，在平行六面體中，平面，且，（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值解：在平面內(nèi)，過點(diǎn)A作，交BC于點(diǎn)E因?yàn)槠矫?，所以，如圖，以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，則（1），則因此異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為（2）平面的一個(gè)法向量為設(shè)為平面的一個(gè)法向量，又，則即不妨取，則，所以為平面的一個(gè)法向量，從而，設(shè)二面角的大小為，則因?yàn)椋砸虼硕娼堑恼抑禐?，【點(diǎn)評】本題考查異面直線所成的角與二面角，訓(xùn)練了利用空間向量求空間角，是中檔題（23）【2017年江蘇，2