高等代數(shù)2.ppt

1、第一章 多項式,學(xué)時：28學(xué)時 教學(xué)方法和手段 由于多項式與整數(shù)在許多方面有相似之處，因此在建立多項式分解理論時要注意與整數(shù)理論作對比。 基本內(nèi)容和教學(xué)目的 本章主要討論一元多項式的概念和運算，建立多項式因式分解理論，并討論與之有密切關(guān)系的求根問題。這是中學(xué)有關(guān)知識的加深和擴充。 本章的重點和難點 重點:一元多項式的因式分解理論. 難點:最大公因式的概念,多項式的整除,互素和不可約多項式等概念之間的聯(lián)系與區(qū)別.,1.1 數(shù)環(huán)和數(shù)域,研究數(shù)學(xué)問題常常需要明確規(guī)定所考慮的數(shù)的范圍，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也是如此。,比如，先學(xué)習(xí)自然數(shù)，然后整數(shù)，再正有理數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)、復(fù)數(shù)。再比如討論多項式的因式分解、方程的根

2、的情況，都跟數(shù)的范圍有關(guān)。,例如,我們目前學(xué)習(xí)的解析幾何，數(shù)學(xué)分析都是在實數(shù)范圍內(nèi)來討論問題的。但在高等代數(shù)中，通常不做這樣的限制。,在代數(shù)中，我們主要考慮一個集合中元素的加減乘除運算（即代數(shù)運算）是否還在這個集合之中,代數(shù)運算：設(shè)A是一個非空集合，定義在A上的一個代數(shù)運算 是指存在一個法則，它使A中任意兩個元素 都有A中一個元素與之對應(yīng)。,（即運算是否封閉）。,運算封閉：如果集合中任兩個元素做某一運算后的結(jié)果仍在 這個集合中，則稱該集合對這個運算封閉。,例如兩個整數(shù)的和、差、積仍是整數(shù)，但兩個整數(shù)的商就不一定是整數(shù)，這證明整數(shù)集對加、減、乘三種運算封閉，但對除法并不封閉；而有理數(shù)集對加、減、

3、乘、除（除數(shù)不為0）四種運算都封閉。同樣，實數(shù)集、復(fù)數(shù)集對加、減、乘、除四種運算都封閉。,根據(jù)數(shù)對運算的封閉情況，我們把數(shù)集分為兩類：數(shù)環(huán)和數(shù)域。,一、數(shù)環(huán),設(shè)S是由一些復(fù)數(shù)組成的一個非空集合，,則稱S是一個數(shù)環(huán)。,整數(shù)集Z，有理數(shù)集Q，實數(shù)集R，復(fù)數(shù)集,C都是數(shù)環(huán)。,例如：,1、除了Z 、Q、R、C外是否還有其他數(shù)環(huán)？,問題：,2、有沒有最小的數(shù)環(huán)？,例1：設(shè)a是一個確定的整數(shù)。令,定義1：,則S是一個數(shù)環(huán)。,特別，當(dāng)a=2時，S是全體偶數(shù)組成的數(shù)環(huán)。,問題：,3、一個數(shù)環(huán)是否一定包含0元？,例2：證明,是一個數(shù)環(huán)。,問題：,定理1.1.1：設(shè)S是一個非空數(shù)集，S是數(shù)環(huán)的充,要條件是S中任兩

4、個數(shù)的差和積仍在S中。,二、數(shù)域,定義2：,設(shè)F是一個含有不等零的數(shù)的數(shù)集，如果F,則稱F是一個數(shù)域。,有理數(shù)集Q，實數(shù)集R，復(fù)數(shù)集C都是數(shù)域，,例如：,則稱F是一個數(shù)域。,中任兩個數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為0）仍在F中，,且是三個最重要的數(shù)域。,問題：,7、除了Q、R、C外，是否還有其他的數(shù)域？,例3：證明,是一個數(shù)域。,證明要點：,8、一個數(shù)域必包含哪兩個元素？,問題：,9、最小的數(shù)域是什么？,定理1.1.2：任何數(shù)域都包含有理數(shù)域Q。,證明：設(shè)F是一個數(shù)域，則,于是,對,故,10、在判斷一個數(shù)集是不是數(shù)域時，實際上,問題：,要檢驗幾種運算？,設(shè)F是一個含有非零數(shù)的數(shù)集，則F,定理1.1

5、.3：,問題：,例：對任意素數(shù)P，,是一個數(shù)域。,在R與C之間不可能有別的數(shù)域。,設(shè)有數(shù)域F，使,，故,設(shè)x=a+bi，且,數(shù)不為零）仍屬于F。,是一個數(shù)域的充要條件是F中任兩個數(shù)的差與商（除,可見F=C。,問題：,兩個數(shù)域的并，不一定是數(shù)域，能不能找出兩個數(shù)域的并是一個數(shù)域的充要條件并證明之。,1.2 一元多項式的定義和運算,一、多項式的概念,中學(xué)多項式的定義：n個單項式（不含加法或減法運算的整式）的代數(shù)和叫多項式。,例：,4a+3b，,在多項式中，每個單項式叫做多項式的項。這是形式表達式。,后來又把多項式定義為R上的函數(shù)：,但對這兩種定義之間有什么聯(lián)系在中學(xué)代數(shù)中,并沒有交代。,問題：,1

6、、高等代數(shù)中采用什么觀點定義多項式？,定義1：,設(shè)x是一個文字（或符號），n是一個非負整數(shù),其中,，稱為數(shù)域F上的一元多項式。,常數(shù)項或 零次項,首項 首項系數(shù),稱為i次項系數(shù)。,高等代數(shù)中采用形式觀點定義多項式，它在兩方面推廣了中學(xué)的多項式定義：,這里x不再局限為實數(shù)而是任意的文字或符號。,系數(shù)可以是任意數(shù)域。,例1.2.1：,是Q上多項式；,是R上多項式；,是C上多項式。,都不是多項式。,定義2：,是兩個多項式，,除系數(shù)為0的項之外，同次項的系數(shù)都相等。,多項式的表法唯一。,定義3：,設(shè),最高次項，亦稱為首項。,例1.2.2：,零次多項式：次數(shù)為0的多項式即非零常數(shù)。,零多項式：系數(shù)全為0

7、的多項式。對零多項式不,個多項式不是零多項式。,首一多項式：首項系數(shù)為1的多項式。,二、多項式的運算,定義4：,設(shè),是數(shù)域F上次數(shù)分別,定義次數(shù)，因此，在談?wù)摱囗検降拇螖?shù)時，意味著這,。當(dāng)mn時，取 。,例1.2.3：設(shè),其中,相乘積的和作為,的系數(shù)。得：,把 中兩個系數(shù)下標(biāo)之和為k的對應(yīng)項,多項式的運算（加、減、乘）滿足以下運算規(guī)律：,加法交換律：,加法結(jié)合律：,乘法交換律：,乘法結(jié)合律：,乘法對加法的分配律：,下面證明多項式乘法滿足結(jié)合律。,證：設(shè),現(xiàn)證,這只要比較兩邊同次項（比如t次項系數(shù)）相等即可。,左、右兩邊同次項的系數(shù)相等，,乘法滿足結(jié)合律。,三、多項式的次數(shù)定理,定理2.1.1：

8、設(shè),證：設(shè),多項式乘法沒有零因子。,推論1：若,證：若f=0或g=0，則必有fg=0。,反之，若,，矛盾。,乘法消去律成立。,則,證：,定義5：,對多項式的加、減、乘法是否封閉？,上的多項式環(huán)。,對多項式的加、減、乘法封閉，故稱為數(shù)域F,1.3 整除性理論,一、多項式整除的概念,多項式的整除性,設(shè),，記為：,整除的基本性質(zhì),性質(zhì)1：,若,則,。（傳遞性）,證：,使,性質(zhì)2：,若,，則 。,證：,性質(zhì)3：,若,，對 。,證：,性質(zhì)4：,若,則對,有,性質(zhì)5：,若,則,證：,為常數(shù)。,性質(zhì)6：,且,則,性質(zhì)7：,帶余除法定理,定理1.3.1：,則存在,使得,商式,余式,證：先證存在性。,2、設(shè),當(dāng)

9、nm時，顯然取,現(xiàn)考慮次數(shù)為n的情況。,，即知結(jié)論成立。,的次數(shù)小于n或為0。,于是,取,就有,，結(jié)論成立；,再證唯一性。,若有,則,若,則,故,從而,推論1：,證：,充分性。,則有,必要性。,例1.3.1 設(shè),例1.3.2：,證：,充分性顯然。,下證必要性，,設(shè),于是,由于 ，,故 。,多項式的根及因式分解會因數(shù)域的擴大而改變，那么,問題：,多項式的整除性不因數(shù)域的擴大而改變,結(jié)論：,證：,這一等式仍然成立。,1.4 多項式的最大公因式,一、兩個多項式的最大公因式,定義1：,若,的一個公因式。,定義2：,問題：,1、如何求兩個多項式的最大公因式？,2、最大公因式是否唯一？,引理：,若,與,公

10、因式和最大公因式。,證：,反之同樣成立。,進行如下的輾轉(zhuǎn)相除：,（1.4.1）,當(dāng)進行到某一步時，余式為0。,于是得,定理1.4.1：,后得一系列等式（1.4.1），則,的最大公因式為 。,定理1.4.2：,中任意兩個多項式,由于余式的次數(shù)不斷降低，而,證明：,1、若,顯然有,任意。,3、若,使,則由定理1.4.1知，經(jīng)輾轉(zhuǎn)相除后可求出它們的最,則有,即兩個最大公因式之間僅差一個零次因子。,例1.4.1：,設(shè),使,解：（利用輾轉(zhuǎn)相除法）,二、兩個多項式互素,若,定義3：,定理1.4.5：,的充要條件是存在,使,多項式互素的性質(zhì)。,性質(zhì)1：,若,則,證：,性質(zhì)2：,則,證：,性質(zhì)3：,則,證：,

11、代入上式即知,三、多個多項式的情況,定義4：,設(shè),的公因式，,則,性質(zhì)1、,使 。,性質(zhì)3、若,例1.4.2 設(shè),互素，但 。,性質(zhì)5、,注意：,1.5 多項式的分解,在中學(xué)代數(shù)里我們學(xué)過因式分解，就是把一個多項式逐次分解成一些次數(shù)較低的多項式乘積。在分解過程中，有時感到不能再分解了也就認為它不能再分了，但是當(dāng)時沒有理論根據(jù)，到底能不能再分下去？,這里我們將系統(tǒng)地討論多項式的分解問題。,這樣的因式稱為平凡因式。,我們感興趣的是，除了平凡因式外，,還有沒有其他的因式？,定義1.5.1,等價定義：,在數(shù)域F上可約。,由定義可得：, 零多項式于零次多項式不討論它們的可約性。,性質(zhì),性質(zhì)1,性質(zhì)2,則

12、,證：設(shè),證：,由性質(zhì)2，,推論：,二、因式分解,問題：,是否可分解為,不可約多項式的乘積？,定理1.5.1：,證（歸納法）：,n=1時，命題顯然成立。,假設(shè)命題對一切小于n的多項式成立，則當(dāng),時，,多項式的乘積。,問題：,則,定理1.5.2：,中任一個次數(shù)大于零的多項式,分解成不可約多項式的乘積：,成不可約因式的乘積分解式是唯一的，此即若有兩,個分解式：,則有 r=s；,）,證（對分解式中的因式個數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法證明）：,當(dāng)r=1時，結(jié)論顯然成立。,由歸納假設(shè)知，這時有r-1=s-1。,故r=s，且,三、標(biāo)準(zhǔn)（典型）分解式,故,首項系數(shù)提出來，使之成為首一不可約多項式，,首項系數(shù),每個多項式的

13、標(biāo)準(zhǔn)分解式是唯一的。,利用多項式的標(biāo)準(zhǔn)分解式可以判斷一個多項,式是否整除另一個多項式。,利用多項式的標(biāo)準(zhǔn)分解式可以直接寫出,例如：,則,解：,即有 。,例1.5.2：,求,在,上的標(biāo)準(zhǔn)分解式。,解：,在Q上：,在R上：,在C上：,例1.5.3：在R上分解,解：,1.5 重因式,定義1：,不可約多項式,稱為,的k重因式,如果,而 。,重。,要求,的重因式，只要把,式寫出即可。但我們還沒有一般的方法把一個多項,的標(biāo)準(zhǔn)分解,式分解為不可約因式的乘積。,因此我們應(yīng)該找一種直接判斷多項式是否有重因式的方法。為此目的要引入多項式導(dǎo)數(shù)的概念。,定義2：,的一階導(dǎo)數(shù)指的是多項式：,（形式定義）,多項式, ,的

14、k階導(dǎo)數(shù)記為,多項式的求導(dǎo)法則：,1、,2、,3、,4、,定理1.6.1：,若不可約多項式,是,的k重因式（k1），則,是,式，特別多項式,的單因式不是,式。,證：,的k-1重因,的因,推論1：,證：, ,推論2：,證：必要性由推論1立得。,推論3：,推論3表明，判別一個多項式有沒有重因式，可以利用輾轉(zhuǎn)相除法得到。,在討論與解方程有關(guān)的問題時，常常要求所討論多項式有沒有重因式。,由定理1得：,故,于是：,例1.6.3：用分離因式法（單因式化法）求多項式,在Q上的標(biāo)準(zhǔn)分解式。,解：,利用輾轉(zhuǎn)相除法求得：,由于,問題：,1.7 多項式函數(shù)與多項式的根,一、多項式函數(shù),F中的根或零點。,作映射f：,

15、為F上的多項式函數(shù)。,若,則,二、余式定理和綜合除法,證：由帶余除法：設(shè),則 。,問題1、,有沒有確定帶余除法：,設(shè),中展開后比較方程兩邊的系數(shù)得：,于是得,的商式和余式。,解：由綜合除法,因此,1、多項式系數(shù)按降冪排列，有缺項必須補上零；,的方冪和。,定理1.7.2（因式定理）：,證明：設(shè),以利用綜合除法來判斷其余數(shù)是否為零。,三、多項式的根,的一個k重根。,有重根？,有重因式，但反之不對。,定理1.7.3（根的個數(shù)定理）：,證明（用歸納法）：,證二：對零次多項式結(jié)論顯然成立，,數(shù)等于分解式中一次因式的個數(shù)，這個數(shù)目當(dāng)然不,定理1.7.4：,的值相等，則 。,證明：,令,問題3、,是F中任意

16、n個數(shù)，能否確定一個n-1次多項,作函數(shù),則,這個公式也稱為Lagrange插值公式。,例1.7.3：求一個次數(shù)小于3的多項式,使 。,解一（待定系數(shù)法）：設(shè)所求的多項式,由已知條件得線性方程組：,解之得,解二（利用Lagrange公式）：,利用Lagrange插值公式可得：,問題4、用形式定義的多項式與用函數(shù)觀定義的多項式是否一致？,四、多項式相等與多項式函數(shù)相等的關(guān)系,多項式相等：即,對應(yīng)項的系數(shù)相同；,多項式函數(shù)相等：即,定理1.7.5：,相等的充要條件是它們所確定的在F上的多項式函數(shù)相等。,證明：,相同，于是對,故這兩個多項式函數(shù)相等；,令,此即 。,1.8 復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上的多項式,

17、一、C上多項式,那么它在C上是否有根？,每一個次數(shù)大于零的多項式在復(fù)數(shù)域上至多有一個根。,定理1.8.1（代數(shù)基本定理）：,任何n（n0）次多項式在C上有n個根（重根按重數(shù)計算）。,定理1.8.2：,當(dāng)n=1時結(jié)論顯然成立。,證：,假設(shè)結(jié)論對n-1次多項式成立，則當(dāng),推論1：復(fù)數(shù)域上任一個次數(shù)大于1的多項式都是可約的，即C上不可約多項式只能是一次多項式。,推論2：,上都能分解成一次因式的乘積，即,的標(biāo)準(zhǔn)分解式是：,韋達定理：,C上多項式的根與系數(shù)關(guān)系：,是一個n（n0）次多項式，則它在C中有n個根，記,（2）,比較（1）與（2）的展開式中同次項的系數(shù)，,得根與系數(shù)的關(guān)系為：,如果,根與系數(shù)的關(guān)

18、系又如何？,例1.8.1：,它以1和4為單根，-2為2重根。,求一個首項系數(shù)為1的4次多項式，使,解：設(shè),則,二、實數(shù)域上的多項式,定理1.8.3：,證：設(shè),故有,則有,因此多項式：,唯一地分解為實系數(shù)一次和二次不可約多項式的,乘積。,假設(shè)對結(jié)論次數(shù)n的多項式結(jié)論成立，,現(xiàn)考慮,是一個二次實系數(shù)不可約多項式，且,不可約多項式的乘積，故結(jié)論成立。,推論3,推論4,n（n0）次實系數(shù)多項式,具有標(biāo)準(zhǔn)分解式：,不可約，即滿足,在R上,例1.8.2：,的非零根，,解：,所求多項式是：,或,1.8 有理系數(shù)多項式,一、整系數(shù)多項式的可約性,定義1（本原多項式）：,例如：,本原多項式的加、減運算所得的未必

19、是本原多項式，但相乘之后必是本原多項式。,是本原多項式。,引理（高斯定理）：,兩個本原多項式的乘積仍是本原多項式。,證：,設(shè),都是本原多項式,現(xiàn)考慮,定理1.9.1：,證：充分性顯然。,下證必要性。,于是,故p=1，從而rs是一個整數(shù)。,C上不可約多項式只能是一次，R上不可約多項式只能是一次和含非實共軛復(fù)根的二次多項式，Q上不可約多項式的特征是什么？下面的Eisenstein的判別法回答了這個問題。,問題：,定理1.9.2（Eisenstein判別法）：,若存在素數(shù)p，使,證（反證法）：,若,在Q上可約,在Z上可約，,即存在：,使,其中,但兩者不能同時成立。,即,現(xiàn)考慮,但p能整除其它項，故,

20、由Eisenstein判別法知，Q上存在任意次不可約多項式。,例1.9.1：,是Q上不可約多項式，p是素數(shù)。,在Q上是否可約？,解：分別取p=2, p=3即知。,解：取素數(shù)p即知。,Eisenstein是判別多項式在Q上不可約的充分條件，但不是必要條件。,注意：,例：,不可約，但找不到素數(shù)p。,也是本原的。,二、整系數(shù)多項式的有理根,定理1.9.3：,設(shè),則,證：,有一次因式,即,（2）設(shè),是整數(shù)。,的有理根只能是 。,定理1.9.4：,證：由,1.10 多元多項式,前面介紹了一元多項式的基本性質(zhì)，但是除了一元多項式外；還有含多個文字的多項式，即多元多項式，如,下面簡單介紹有關(guān)多元多項式的一些

21、概念。,如果兩個單項式中相同文字的冪全一樣，那么它們就稱為同類項。一些單項式的和,就稱為n元多項式，簡稱多項式，,和一元多項式一樣，n元多項式也可以定義相等，相加、相減、相乘。,相等：,如果F上兩個n元多項式有完全相同的項（或者只差一些系數(shù)為零的項），則稱這兩個多項式是相等的。,相加：,例如：,設(shè),則f與g的和是,相減：,設(shè),把g的系數(shù)都換成各自的相反數(shù)，所得多項式叫做g的負多項式，記為,相乘：,例如,則,這樣定義的多項式的加法和乘法與中學(xué)代數(shù)里多項式的運算一致，n元多項式的運算滿足以下運算律：設(shè),則,（加法結(jié)合律）,（加法交換律）,（乘法結(jié)合律）,（乘法交換律）,（乘法分配律）,的多項式環(huán)，

22、記作,同一元多項式一樣，也可以談?wù)搉元多項式的次數(shù)。,設(shè),對f來說其中系數(shù)不為零的單項式的最高次數(shù)就稱為這個多項式f的次數(shù)，記為,設(shè)f、g是F上兩個不等于零的n元多項式，則f與g的和與積的次數(shù)與f、g的次數(shù)有如下關(guān)系：,1、,2、,結(jié)論1是顯然的，但要證明結(jié)論2，還得先考慮多元多項式的排列順序，在一元多項式中，我們看到多項式的升冪（或降冪）排列對許多問題的討論是方便的。為此，對多元多項式也引入一種排列順序的方法，這種方法是模仿字典排列的原則得出的，因而稱為字典排列法。,每一類單項式（1）都對應(yīng)一個n元數(shù)組,為了給單項式之間一個排列順序的方法，我們只要對n元數(shù)但定義一個先后順序就可以了。,考慮,

23、而,記為,例如，對多項式,按字典排列法寫出來就是：,應(yīng)該注意的是，,把一個多項式按字典排列法書寫后，次數(shù)較高的項并不一定排在次數(shù)較低的項的前面，例如上面的首項次數(shù)為4，第二項的次數(shù)為6，而,關(guān)于多項式的首項有以下定理，這個定理在下一節(jié)討論對稱多項式時將要用到,定理1.10.1：,證明：,的首項為,為了證明它們的積,為fg的首項，,只要證明數(shù)組,先于乘積中其他單項式所對應(yīng)的有序數(shù)組就行了。,其中,于是,推論1.10.1：,推論1.10.2：,現(xiàn)在回到兩個n元多項式的乘積的次數(shù)上來，,則稱f是一個k次齊次多項式，簡稱k次齊次。,例如,就是一個4次齊次多項式。,兩個齊次多項式的乘積仍是齊次多項式，它

24、的次數(shù)就等于這兩個多項式的次數(shù)之和。,任何一個m次多項式,都可以唯一地表成幾組齊次多項式的和，即,是i次齊次多項式，,若,就是f的一個i次齊次成分。,數(shù)域F上兩個不等于零的n元多項式的,乘積的次數(shù)等于這兩個多項式次數(shù)的和。,定理1.10.2：,證明：,它們的次數(shù)分別為m和s，把f與g分別寫成齊次多項式的和：,于是,由推論1.10.2：,且是一個m+s次齊式，,其余各項,或者等于零，或者是一個次數(shù)低于m+s的齊式。,因此,同一元多項式一樣，F(xiàn)上n元多項式與多項式函數(shù)是相同的。,就得到數(shù)域F中一個確定的數(shù)，稱為,如果,由此一個n元多項式就確定一個n元多項式函數(shù)。,對,作映射：,的值。,設(shè),如果,則對,都有,這說明相等的多項式確定相同的多項式函數(shù)。,下面證明其反面也成立。,定理1.10.3：,設(shè),如果對任意,證明思路：,這里,任意取定,代入得,已知對,有,取,則有,由于定理對一元多項式成立，故