巧用面積法 妙解幾何題PPT精品文檔

1、1,巧用面積法 妙解幾何題,人教版八年級數(shù)學 上冊 映山中學 嚴正霞,2,何謂面積法,在求解平面幾何問題的時候，根據(jù)有關幾何量與涉及的有關圖形面積之間的內(nèi)在聯(lián)系，用面積或面積之間的關系表示有關線段間的關系，從而把要論證的線段之間的關系轉化為面積的關系，并通過圖形面積的等積變換對所論問題來進行求解的方法，稱之為面積法。 抓住面積不但能把平面幾何知識變得更容易學，而且使幾何問題變得更簡捷，更有趣味。,3,溫故知新,填空： 1.若ABCDEF，且ABC的面積為25，則DEF的面積為 。 2.已知AD為ABC的中線，則S ABD與S ACD的大小關系為 。 3.(1)平行四邊形ABCD的一條對角線AC

2、把它分成兩個三角形ABC 、ADC，則S ABC與S ADC的大小關系為 。 (2)平行四邊形ABCD的邊AD上有一點E，連結EB、EC，則S EBC與S平行四邊形ABCD的關系為 。 4.已知直線a b，點M、N為b上兩點，點A、B為a上兩點，連結AM、AN、BM、BN，則S AMN 與S BMN的大小關系為 。,25,SABD=SACD,SABC=SADC,SABD=1/2S平行四邊形ABCD,SAMN=SBMN,4,用面積法解幾何問題常用到下列性質(zhì)：,全等三角形的面積相等； 三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分； 平行四邊形的對角線把其分成面積相等的兩部分； 三角形的面積等于同底（或

3、等底）等高的平行四邊形的面積的一半； 同底（或等底）等高的三角形面積相等。,5,例題講解,證線段相等 例1.已知：ABC中，A為銳角，AB=AC，BDAC于D，CEAB于E，求證：BD=CE.,分析：此題運用三角形全等可以解決，但考慮到有“高” ，不妨用面積法來試試，可用SABC=1/2ABCE=1/2ACBD來完成。,證明： ABC中，BDAC于D，CEAB于E SABC=1/2ABCE=1/2ACBD 又AB=AC BD=CE,6,變式訓練,1.已知：等腰ABC中，AB=AC，D為底邊BC的中點，DEAB，DFAC，垂足分別為E、F.求證：DE=DF.,分析：此題用三角形全等可完成，但題中

4、出現(xiàn)兩條“垂線段”，可考慮面積法，連接AD，則SABD=SACD，由AB=AC，可得DE=DF.,7,2.平行四邊形ABCD中，BEAC于E，DFAC于F，求證：BE=DF,變式訓練,分析：此題可以用平行四邊形和全等三角形的知識解決，但出現(xiàn)兩條“垂線段”，且都垂直于同一條線段，可考慮面積法，根據(jù)S平行四邊形ABCD=2S ABC=2SADC可得證。,8,證線段的和差關系 例2.（1）已知： ABC中，AB=AC，P為底邊BC上一點，PDAB于D，PEAC于E，BFAC于F，求證：PD+PE=BF.,分析：此題可構造矩形來證明，但較麻煩?？紤]到題中有三條“垂線段”，可嘗試面積法。連接AP，根據(jù)S

5、ABC=SABP+SACP，結合AB=AC，可得證。,證明： BFAC于F S ABC=1/2ACBF PDAB于D，PEAC于E S ABP=1/2ABPD， SACP=1/2ACPE S ABC= S ABP+ SACP 1/2ACBF=1/2ABPD+1/2ACPE AB=AC PD+PE=BF,9,（2）若P為 ABC的底邊BC的延長線上一點，其他條件不變，則（1）中的結論仍然成立嗎？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出正確的結論，并證明。,分析：雖然題目條件發(fā)生了變化，但思路不變，方法不變，還是用面積法。連接AP，根據(jù)SABC=SABP-SACP，結合AB=AC，可得到正確的結論:P

6、D-PE=BF。,證明： BFAC于F S ABC=1/2ACBF PDAB于D，PEAC于E S ABP=1/2ABPD， SACP=1/2ACPE S ABC= S ABPSACP 1/2ACBF=1/2ABPD1/2ACPE AB=AC PDPE=BF,10,3.（1）已知等邊ABC內(nèi)有一點P，PDAB，PEBC，PFCA，垂足分別為D、E、F，又AH為ABC的高，求證：PD+PE+PF=AH.,變式訓練,分析：考慮到題中出現(xiàn)了三條“垂線段”和一條“高”，可嘗試面積法。連結PA、PB、PC，根據(jù)SABC=SABP+SBCP+SACP，由AB=BC=AC，可得證PD+PE+PF=AH,11

7、,（2）若P是等邊ABC外部一點，其他條件不變，（1）中的結論仍然成立嗎？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出正確的結論，并說明理由。,分析：此題的條件雖然發(fā)生了變化，但是思路、方法不變，還是應用面積法。連結PA、PB、PC，根據(jù)SABC=SABP+SACPSBCP，由AB=BC=AC，可得正確結論：PD+PFPE=AH,12,證角相等 例3.點C是線段AB上一點，分別以AC、BC為邊在AB同側作等邊ACD和等邊BCE，連接BD、AE交于O點，再連接OC，求證：AOC=BOC.,分析：要證AOC=BOC，可證點C到AO、BO的距離相等，如此就要過C點作CPAE于P，CQBD于Q，證CP=CQ，

8、可考慮面積法，證ACEDCB,則有 SACE =SDCB 且AE=BD，可得CP=CQ。,P,Q,證明：過點C作CPAE于P，CQBD于Q， ACD、BCE是等邊三角形 AC=DC，EC=BC， ACD=ECB=60 ACE=DCB=120 ACEDCB SACE =SDCB ，AE=BD CP=CQ OC平分AOB， 即AOC=BOC.,13,變式訓練,4.在平行四邊形ABCD的兩邊AD、CD上各取一點E、F，使AF=CE，且AF與CE交于點P，連接BP，求證：BP平分APC,分析：要證BP平分APC，可證點B到AP、CP的距離相等，故過B作BGAF于G，BHCE于H，連接BF、BE。由于A

9、F=CE，只要SABF=SBCE即可，而SABF=SBCE=1/2S平行四邊形ABCD，所以BG=BH，命題得證。,14,課堂小結,面積法是平面幾何中論證線段關系的一種較簡單的數(shù)學方法； 使用面積法的前提是：題中要有“垂線段”，若沒有“垂線段”，則要結合角平分線的性質(zhì)或判定構造“垂線段”； 使用面積法解題的關鍵在于：抓住圖形之間的面積關系，進而利用面積公式轉化為線段關系。,15,課后練習,1.RtABC中，BAC=90，AB=3，M為邊BC上一點，連接AM，若將ABM沿直線AM翻折后，點B恰好落在邊AC的中點B處，那么點M到AC的距離是 。 2. ABC中，AB=AC，A=120，BC=6，PEAB于E，PFAC于F，則PE+PF= 。,16,3. ABC中，ABAC，BD和CE分別為AC、AB上的高，求證：BDCE. 4.以ABC的邊AB、AC為邊長，在BC的同側作正方形ABEF和正方形ACGH，連接FH，過點A作ADBC于D，延長DA交FH于點M，求證：FM=HM.,17,5.設E是ABC的角平分線AD上一點，連接EB、EC，過C作CFBE交AB的延長線于F，過B作BGEC交AC的延長線于G，求證：BF=C