P值檢驗(yàn)法在實(shí)際生活中的應(yīng)用

1、假設(shè)檢驗(yàn)中的P值法在實(shí)際生活中的應(yīng)用摘 要假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)判斷的重要內(nèi)容，在很多情況下大多采用臨界值法，而在現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)軟件中假設(shè)檢驗(yàn)多是采用計(jì)算P值的方法進(jìn)行推斷的。檢驗(yàn)時(shí)需要由樣本觀測(cè)值計(jì)算出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值和衡量觀測(cè)結(jié)果極端的值，然后通過(guò)比較P值和顯著性水平的大小作判斷，當(dāng)時(shí)，拒絕原假設(shè)；當(dāng)時(shí)，不能拒絕原假設(shè)。論文列舉了P值檢驗(yàn)法在生活中一些應(yīng)用案例，并和臨界值法的做了優(yōu)勢(shì)比較。關(guān)鍵詞：假設(shè)檢驗(yàn)；臨界值法；P值法；SASThe application of Hypothesis test P-value method in real lifeAbstractHypothesis test i

2、s an important content of statistical judgment; the critical value method is used in many cases. However, in modern statistical software in hypothesis testing, the method of calculating the P value of extrapolation is used here and there. Inspection need by the value of the sample observations calcu

3、late the test statistic of the observation value and measure observations of extreme value, and then compare P values and a significant level of their size, to determine, when refuse the null hypothesis; when can not refuse the null hypothesis. The paper presents some application cases of the value

4、of P test in life, and also to do some comparative advantage.Key Words：Hypothesis test, the critical value method, the P-value method, SAS目 錄引言.11P-值的定義.11.1臨界值法.11.2 P-值法.22計(jì)算公式介紹.23雙邊檢驗(yàn)P值與單邊檢驗(yàn)P值的關(guān)系.33.1 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為對(duì)稱連續(xù)分布時(shí).33.2 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為非對(duì)稱分布時(shí).34. 應(yīng)用實(shí)例.55. P-值法的優(yōu)勢(shì).11結(jié)束語(yǔ).11參考文獻(xiàn).12引言假設(shè)檢驗(yàn)法是統(tǒng)計(jì)判斷中的重要內(nèi)容，在平時(shí)的很多情況

5、下多習(xí)慣采用臨界值法做出判斷原假設(shè)是否成立的方法，但是由于計(jì)算機(jī)的普及以及現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)軟件的出現(xiàn)在很多問題的計(jì)算中多采用假設(shè)檢驗(yàn)的值法。用這種方法在檢驗(yàn)時(shí)需要有相應(yīng)的樣本觀測(cè)值，并用這個(gè)觀測(cè)值計(jì)算出檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量在相應(yīng)的觀測(cè)值和衡量觀測(cè)值結(jié)果中所出現(xiàn)的極端值，之后再通過(guò)比較值大小和顯著性水平的大小來(lái)作出具體的判斷。當(dāng)時(shí)，則拒絕原假設(shè)；當(dāng)時(shí)，則不能拒絕原假設(shè)。本文先介紹了值法的定義，和一些計(jì)算方法再列舉了P值檢驗(yàn)法在生活中一些應(yīng)用案例，最后和傳統(tǒng)的臨界值法做了優(yōu)勢(shì)比較。1P-值的定義在介紹值法之前，我們首先要介紹一種比較傳統(tǒng)的用來(lái)做假設(shè)檢驗(yàn)的方法-臨界值法（也可以叫做顯著性水平法）。1.1臨界值法設(shè)樣

6、本總體為，并且其中為一個(gè)已知常數(shù)，現(xiàn)在想要檢驗(yàn)出是否會(huì)大于某給定常數(shù)。再設(shè)原假設(shè)為，備選假設(shè)為，如下所示：。從總體中抽取一些簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，并記錄樣本的均值為。易知 (1)從而有 （2）當(dāng)成立時(shí) (3)其中稱為臨界值,滿足顯著性水平為一較小的正數(shù)如。式（3）說(shuō)明當(dāng)成立時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量大于等于臨界值是個(gè)小概率事件，對(duì)于某具體樣本，若該小概率事件發(fā)生，則拒絕原假設(shè)。否則就沒有比較充分的理由去拒絕原假設(shè)。1.2 P-值法而對(duì)于上述問題，值法的定義如下：對(duì)于某些具體的樣本，其均值可以記為，設(shè) （4）若，則拒絕原假設(shè)，否則就沒有充分的理由去拒絕原假設(shè)。式（4）中的就是在原假設(shè)成立的前提下所計(jì)算出的樣本值，也

7、可以說(shuō)成是更極端情況的概率大小，簡(jiǎn)稱為值。2計(jì)算公式介紹若為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，而為的觀測(cè)值，通常值可以用下面公式計(jì)算得到。I:單邊檢驗(yàn)值（i）拒絕域在右邊區(qū)域的檢驗(yàn)假設(shè)(ii)拒絕域在左邊區(qū)域的檢驗(yàn)假設(shè) :雙邊檢驗(yàn)P值假設(shè)：（i）當(dāng)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為對(duì)稱分布的雙邊檢驗(yàn)時(shí)由于又故可以得到以下結(jié)論：(ii)當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為非對(duì)稱分布的雙邊檢驗(yàn)時(shí)，可以得到以下結(jié)論：3雙邊檢驗(yàn)中P值與單邊檢驗(yàn)中P值間的關(guān)系根據(jù)上面值的計(jì)算公式不難推出如下性質(zhì)：設(shè)為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，為的觀察值，為的中位數(shù)，和分別為雙邊檢驗(yàn)：，右邊檢驗(yàn)和左邊檢驗(yàn)的值，則它們有下面關(guān)系：3.1 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為對(duì)稱連續(xù)分布時(shí) 3.2 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為非對(duì)稱分布時(shí)

8、證:1.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為對(duì)稱連續(xù)分布時(shí)，由于且統(tǒng)計(jì)量為聯(lián)系對(duì)稱分布，故有以下結(jié)論：及,所以(i)拒絕域?yàn)橛疫厖^(qū)域的檢驗(yàn),若,則；若，則.(ii)拒絕域?yàn)樽筮厖^(qū)域的檢驗(yàn)，若,則；若，則。2.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為非對(duì)稱分布時(shí)，由于 ，所以（i）拒絕域?yàn)橛疫厖^(qū)域的檢驗(yàn)，若，則；若，則=。（ii）拒絕域?yàn)樽筮厖^(qū)域的檢驗(yàn)若，則；若，則。當(dāng)知道了雙邊檢驗(yàn)的P值法和單邊檢驗(yàn)的P值法的關(guān)系后，三種不同檢驗(yàn)法就可以一次性地完成。事實(shí)上，在實(shí)際應(yīng)用中如果只作一次雙邊檢驗(yàn)或者單邊檢驗(yàn)時(shí)候，得到的拒絕原假設(shè)的結(jié)論下，有時(shí)還需要進(jìn)行進(jìn)一步的檢驗(yàn)來(lái)判定是能否可以認(rèn)為或者才可以得到更為準(zhǔn)確的結(jié)論。即使是在得到不可以拒絕原假設(shè)的結(jié)論下，

9、如果雙邊檢驗(yàn)的P值還不夠大，也可以說(shuō)是拒絕備擇假設(shè)的證據(jù)較弱，經(jīng)常也需要再進(jìn)一步作單邊檢驗(yàn)，以方便得到更為合理的或的結(jié)論。對(duì)于以上兩種情形，再利用以上所述的雙邊檢驗(yàn)的P值法和單邊檢驗(yàn)的P值法之間的關(guān)聯(lián)，那么三種檢驗(yàn)方法的同時(shí)進(jìn)行就將變得會(huì)有必要了。 在我們研究雙邊檢驗(yàn)的P值法和單邊檢驗(yàn)的P值法之間的關(guān)系時(shí)，有時(shí)當(dāng)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為非對(duì)稱分布的時(shí)候還要用到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分布中常用的中位數(shù)，我們可以查閱有關(guān)資料中給出的分位數(shù)表，或者用一些統(tǒng)計(jì)軟件調(diào)用相應(yīng)分位數(shù)函數(shù)來(lái)進(jìn)行計(jì)算。4. 應(yīng)用實(shí)例例1 在某次投擲一元硬幣的重復(fù)試驗(yàn)中，假如你投擲一元硬幣1000次，并記錄下相應(yīng)的一元硬幣出現(xiàn)字的次數(shù)。如果每次出現(xiàn)字

10、的次數(shù)都是500，那么你就有把握認(rèn)為這枚一元硬幣是均勻的；如果出現(xiàn)字的次數(shù)小于450或者大于550，那么你就會(huì)有一點(diǎn)懷疑它是不是均勻的；如果出現(xiàn)字的次數(shù)小于300或者大于700，那么你就比較懷疑是不是均勻的；如果出現(xiàn)字的次數(shù)小于100或者大于900，那么你就非常懷疑是不是均勻的。如上所述，如果出現(xiàn)字的次數(shù)和出現(xiàn)花的次數(shù)的差異越大，你就越有把握認(rèn)為這枚硬幣不是均勻的，即拒絕原假設(shè)。再重新敘述下P值的基本定義，“P值就是當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)，比得到的相應(yīng)樣本的觀察結(jié)果出現(xiàn)更加極端的現(xiàn)象所得的概率”。把這個(gè)基本定義再代入上面所述的投擲一元硬幣的重復(fù)試驗(yàn)的中去，好比說(shuō)目前你所觀察到的情況是“一元硬幣投擲出現(xiàn)

11、字的次數(shù)是100或者900。以致出現(xiàn)字和出現(xiàn)花的次數(shù)差異是800”：若原假設(shè)為真(一元硬幣是均勻的)，P值就是你投擲1000次一元硬幣。所得的出現(xiàn)字和花的次數(shù)的差異大于800的概率。若這個(gè)P值很大，則表明每次投擲均勻的一元硬幣1000次，經(jīng)常會(huì)有出現(xiàn)字和花的次數(shù)差異大于800的情形。若這個(gè)P值很小，則表明每次投擲均勻的一元硬幣1000次，你將很難看到出現(xiàn)字和花的次數(shù)差異會(huì)超過(guò)800。若一枚一元硬幣投擲出字和花的次數(shù)差異大于800。這是一個(gè)“極端”的情況，只好認(rèn)為原假設(shè)不對(duì)，一元硬幣是不均勻的。在這里我們所用到的基本邏輯思維是：在假定原假設(shè)為真的前提條件下，出現(xiàn)我們所觀察到的偏差(投擲出字和花的

12、差異為800)，是如此的不可能，即P值很小，以至于我們不能再繼續(xù)相信原假設(shè)成立的真確性與否。例2 一項(xiàng)關(guān)于某品牌巧克力的抽樣調(diào)查結(jié)果顯示，在個(gè)曾吃過(guò)該品牌巧克力的被訪者中，有個(gè)人喜歡該品牌巧克力。生產(chǎn)該飲料的廠家聲稱“五分之一的消費(fèi)者喜歡該品牌巧克力”。檢驗(yàn)該廠家說(shuō)法的合理性。從樣本看，喜歡該品牌巧克力的被訪者的比例為，低于廠家的聲稱。這種差異可能是由于抽取樣本的隨機(jī)性導(dǎo)致的，也有可能是因?yàn)閺S家的聲稱有誤。由于樣本的結(jié)果小于廠家的聲稱，所以設(shè)立與如下： 其中，為實(shí)際喜歡該品牌巧克力的消費(fèi)者比例。 容易知道，在抽取的個(gè)曾吃過(guò)該品牌巧克力的被訪者中，喜歡該品牌巧克力的被訪者人數(shù)X服從二項(xiàng)分布，即，

13、那么出現(xiàn)樣本值或者更極端值的概率為 即值為0.017.那么對(duì)于任何大于等于0.017的顯著性水平，我們拒絕，即可以認(rèn)為廠家的聲稱是錯(cuò)誤的。作出此結(jié)論（廠家的聲稱是錯(cuò)誤的）所犯棄真錯(cuò)誤的概率為0.017。例3 某公司從奶牛廠購(gòu)買牛奶。公司管理人員懷疑奶牛廠在牛奶中摻水以謀利。通過(guò)公司檢驗(yàn)檢驗(yàn)人員對(duì)牛奶的冰點(diǎn)溫度進(jìn)行測(cè)定可以檢驗(yàn)出牛奶中是否摻了水。查閱有關(guān)物理化學(xué)資料可以知道我們生活中天然牛奶的冰點(diǎn)溫度的數(shù)值常常是近似地服從正態(tài)分布的，并且它平均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為。假如牛奶摻了水將會(huì)導(dǎo)致牛奶的冰點(diǎn)溫度升高以致接近于水的冰點(diǎn)溫度（）。檢驗(yàn)檢疫人員檢測(cè)奶牛廠所提供的5桶牛奶的冰點(diǎn)溫度，記錄下來(lái)，并且計(jì)算出

14、其均值,問你是否可以認(rèn)為奶牛場(chǎng)在牛奶中慘了水呢？取解：用值法檢驗(yàn) 的觀察值為：值=，其中P值為是否可認(rèn)為奶牛廠在牛奶中摻了水，對(duì)于任何大于的顯著性水平，可以拒絕。即可以認(rèn)為奶牛廠在提供的牛奶中摻了水。例4一家食鹽廠以生產(chǎn)袋裝食鹽為主，其每天大約可以生產(chǎn)8000袋，每袋重量規(guī)定為50克。為了分析廠家生產(chǎn)的每袋食鹽重量是否達(dá)到要求，有關(guān)質(zhì)檢部門經(jīng)常進(jìn)行隨機(jī)抽查檢驗(yàn)?，F(xiàn)在從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽檢了25袋，測(cè)得每袋重量如表4-1所示。試以抽樣的樣本數(shù)據(jù)為依據(jù)，檢驗(yàn)袋裝食鹽的平均重量與50克是否有顯著性的差異。表4-1 25袋食鹽的重量（單位：克）55.64655.550.452.852.853.

15、750353.257.946.855.651.648.247.946.556.750.852.254.255.753.647.250.654.2分析與解答 設(shè)重量變量為weight,本題是要求做原假設(shè)為50的雙邊檢驗(yàn)。但是由于根據(jù)雙邊檢驗(yàn)P值與單邊檢驗(yàn)P值的關(guān)系，我們還可以將三種檢驗(yàn)同時(shí)地進(jìn)行。（i）雙邊檢驗(yàn)。在SAS中作t檢驗(yàn)結(jié)果如圖4-1。The TTEST ProcedureVariable N Mean Mean Mean Std Dev Std Dev Std Dev Std ErrWeight 25 50.12 51.6 53.08 2.8028 3.5896 4.9936 0.7

16、179T-TestsVariable DF t Value Pr|t|weight 24 2.23 0.0365圖4-1 t檢驗(yàn)結(jié)果從圖中軟件計(jì)算結(jié)果可知原假設(shè)的值為，在的顯著水平下，所以可以拒絕原先的假設(shè)。（ii）右邊區(qū)域檢驗(yàn)（ ， ）。由于拒絕右邊檢驗(yàn)的原假設(shè)(3)左邊區(qū)域檢驗(yàn)（）。由于 ,所以不能拒絕左邊區(qū)域檢驗(yàn)的原假設(shè)。 綜上，我們可以認(rèn)為袋裝食鹽的平均重量與有顯著差異，袋裝食品的平均重量大于克。例5 某藥材生產(chǎn)商要檢查包裝機(jī)械的狀態(tài)。根據(jù)規(guī)定，包裝機(jī)正常工作時(shí)，每袋重量為克，方差為4.隨機(jī)抽取當(dāng)天生產(chǎn)的16袋樣本稱重后結(jié)果如表4-2所示，試檢驗(yàn)藥材包裝機(jī)的工作狀態(tài)是否正常。表4-2

17、16袋藥材重量（單位：克）45455146444842474848444845434550分析與解答 設(shè)重量的變量英文名為Weight,本題首先做出原假設(shè)為的雙邊檢驗(yàn)，再根據(jù)雙邊檢驗(yàn)的P值與單邊檢驗(yàn)的P值之間的關(guān)系，我們可以將三種檢驗(yàn)同時(shí)進(jìn)行，并且綜合分析三種情況后作出判斷。 （i）雙邊檢驗(yàn)（）。在SAS中做方差的卡方檢驗(yàn)結(jié)果如圖4-2.Sample Statistics for WEIHGTN Mean Std. Dev. Variance-16 46.5 2.6583 7.0667Hypothesis TestNull hypothesis: Variance of WEIGHT = 4A

18、lternative: Variance of WEIGHT=4Chi-square Df Prob-26.500 15 0.0661圖4-2 檢驗(yàn)的結(jié)果從圖中軟件的計(jì)算結(jié)果我們可以知道原假設(shè)的值為，在的顯著性水平之下，所以不能拒絕原假設(shè)存在。（ii）右邊檢驗(yàn)（）。 由于自由度為15的分布中位數(shù)為14.339，由于，不能拒絕左邊檢驗(yàn)的原假設(shè)。綜上，我們可以認(rèn)為包裝藥材重量的方差值大于等于4，即認(rèn)為現(xiàn)在包裝機(jī)工作狀態(tài)不夠穩(wěn)定，需要維修。例6 從機(jī)械廠的兩臺(tái)機(jī)器所加工的相同零件中，分別抽出8個(gè)和9個(gè)樣品，經(jīng)過(guò)測(cè)量得到的尺寸如表4-3所示，試檢驗(yàn)兩臺(tái)機(jī)械所加工零件的穩(wěn)定性哪個(gè)較好？（）表4-3 兩臺(tái)

19、機(jī)器所加工同的相同零件的尺寸（單位：厘米）A機(jī)床6.255.785.885.765.855.796.485.85B機(jī)床6.086.255.945.945.796.035.856.15.93分析與解答 設(shè)尺寸變量名為Y，A機(jī)床加工該零件尺寸的方差為，B機(jī)床加工該零件尺寸的方差。本題首先做原假設(shè)為的雙邊檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)P值與單邊檢驗(yàn)P值的關(guān)系，將三種檢驗(yàn)同時(shí)進(jìn)行，并進(jìn)行綜合分析作出判斷。（i）雙邊檢驗(yàn)（）。在SAS中做兩總體方差比F檢驗(yàn)結(jié)果如圖4-3.從圖中軟件計(jì)算結(jié)果可以知道原假設(shè)的值為0.0897，在0.05的顯著水平之下，所以不能拒絕原先的假設(shè)。（ii）右邊檢驗(yàn)（）。由于自由度為（7，8）的

20、F分布中位數(shù)為0.988，F(xiàn)=3.53,拒絕右邊檢驗(yàn)的原假設(shè)。（iii）左邊檢驗(yàn)（）。由于，不能拒絕左邊檢驗(yàn)的原假設(shè)。綜上，我們可以認(rèn)為A機(jī)床加工的零件尺寸的方差不比B機(jī)床加工的零件尺寸的方差小，即B機(jī)床加工的零件比A機(jī)床加工的零件尺寸更加穩(wěn)定。Sample StatisticsYGroup N Mean Std. Dev. Variance-A 8 5.955 0.2635 0.B 9 5.99 0.1404 0.0197Hypothesis TestNull hypothesis: Variance 1 / Variance 2= 1Alternative Variance 1 / Var

21、iance 2=1-Degrees of Freedom-F Numer. Denom. PrF-3.53 7 8 0.0897圖4-3 F檢驗(yàn)結(jié)果例7在士兵射實(shí)彈射擊訓(xùn)練中，某士兵每次擊中靶子的概率為，在連續(xù)射擊次后，一次都沒有擊中靶子的概率為。如果這名士兵每次擊中靶的概率為正常水平，那么一次沒有擊中靶的概率為小概率事件，即。這個(gè)時(shí)候我們就可以做出兩個(gè)相互對(duì)立的假設(shè)，即，如果成立，則士兵每次擊中靶的概率是不正確的。其對(duì)立假設(shè)成立時(shí)，則可以認(rèn)為這名士兵擊中靶的概率是正確的。，若為第一次擊中靶子前所需的次數(shù)，那么服從幾何分布，可以記作。若在第一次擊中靶子之前已經(jīng)有次沒有擊靶子，則檢驗(yàn) 對(duì)。解：因

22、為，所以它概率的分布為：它的分布函數(shù)為：顯而易見，為的遞增函數(shù)，所以是的某個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。又因?yàn)樵僭O(shè)，所以在原假設(shè)成立的基礎(chǔ)上，越小那么拒絕： 的條件就越充分，所以這個(gè)實(shí)驗(yàn)的檢驗(yàn)值為： ，上式中的為的觀察值。由于值大于0.01，故這名士兵每次射擊的中靶概率不屬于正常水平。5. P-值法的優(yōu)勢(shì)值法與臨界值法處理問題的思路方向不同。值法的核心是計(jì)算出樣本值或者更極端值的概率，然而臨界值法則側(cè)重于與比較檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值與臨界值的差值的大小。P-值法與臨界值法相比具有許多優(yōu)勢(shì)。1.值法使用方便。 在統(tǒng)計(jì)推斷的內(nèi)容中，只要是涉及到假設(shè)檢驗(yàn)的相關(guān)問題，無(wú)論是涉及參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)（如方差分析或者回歸分析等），還

23、是涉及非參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)（如尺度檢驗(yàn)或者總體分布的檢驗(yàn)等），統(tǒng)計(jì)分析軟件均能方便地給出值，從而可以很快捷地得出是否拒絕的結(jié)論。2.值法所得到的結(jié)論更準(zhǔn)確。在值法中，值本質(zhì)上是在拒絕時(shí)犯棄真錯(cuò)誤的概率。事實(shí)上，在利用值法作檢驗(yàn)時(shí)，對(duì)于任何大于等于的顯著性水平，但確切的犯棄真錯(cuò)誤的概率并不清楚。因此，值法所得到結(jié)論更加準(zhǔn)確無(wú)誤。結(jié)束語(yǔ)在對(duì)比傳統(tǒng)的臨界值法后引出P值法的準(zhǔn)確定義。再在給出單雙邊檢驗(yàn)P值的計(jì)算公式的基礎(chǔ)上掌握統(tǒng)計(jì)推斷中雙邊檢驗(yàn)P值與單邊檢驗(yàn)P值的關(guān)系，不僅可以更加靈活地使用統(tǒng)計(jì)軟件解決實(shí)際問題，而且可以讓三種檢驗(yàn)同時(shí)進(jìn)行使推斷結(jié)果更加樂觀，符合實(shí)際。并可從實(shí)際生活的應(yīng)用中體會(huì)會(huì)出P值法的方便和所得結(jié)論的準(zhǔn)確性。參考文獻(xiàn)1 陳希孺. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)M. 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社, 第1版.2009