高中數(shù)學(xué) 空間向量與立體幾何知識(shí)解析 新人教A版必修2（通用）

1、專題輔助學(xué)習(xí)用空間向量法解決立體幾何問(wèn)題一、知識(shí)回顧：1.空間矢量的坐標(biāo)運(yùn)算：空間直角坐標(biāo)系的x軸為水平軸(對(duì)應(yīng)水平軸)，y軸為垂直軸(對(duì)應(yīng)垂直軸)，z軸為垂直軸(對(duì)應(yīng)垂直坐標(biāo))。(1)，那么，1(使用向量模塊和向量之間常用的轉(zhuǎn)換：)2.空間兩點(diǎn)的距離公式：主題大綱首先，介紹兩個(gè)重要的空間矢量1、直線的方向向量；2.平面法向量。二、立體幾何問(wèn)題的類型和解決方法1.判斷直線與平面之間的位置關(guān)系；(1)直線之間的位置關(guān)系；(2)直線與平面的位置關(guān)系；(3)平面之間的位置關(guān)系；2.求解空間中的角度；3.求解空間中的距離。1.引入兩個(gè)重要的空間矢量ABZYXO1.直線：的方向向量是指直線上任意兩點(diǎn)的向

2、量或與其平行的向量，作為直線的方向向量。如圖1所示，在空間直角坐標(biāo)系中，由A(x1，y1，z1)和B(x2，y2，z2)確定的直線AB的方向矢量為n2.如果平面的法向量：表示向量N的有向線段所在的直線，垂直于平面，這個(gè)矢量稱為垂直于平面，表示為n，此時(shí)，向量n稱為平面的法向量。3.如何在空間直角坐標(biāo)系中找到平面法向量的坐標(biāo)？如圖2所示，假設(shè)a=(x1，y1，z1)和=(x2，y2，z2)是平面中的兩個(gè)非共線非零向量。根據(jù)直線垂直于平面的判斷定理，如果na和nb，那么n.換句話說(shuō)，如果nb=0且nb=nba4.尋找平面法向向量坐標(biāo)的步驟第一步(讓):設(shè)置平面法向量的坐標(biāo)為n=(x，y，z)。第二

3、步(列):列出了根據(jù)na=0和nb=0的方程在第三步(解決方案):中，z被視為常數(shù)，x和y由z表示.第四步(取):將Z作為任意正數(shù)(當(dāng)然，越特殊越好)，然后得到平面法向量n的坐標(biāo).例1:在棱鏡長(zhǎng)度為2的立方體ABCD-A1B1C1D1中，o是平面AC的中心，得到平面OA1D1的法向量。AAABCDO第一等的B1C1D1zxybaba2.立體幾何問(wèn)題的類型和解法1.確定直線和平面之間的位置關(guān)系(1)直線之間的位置關(guān)系兩條線不重合甲和乙的方向向量分別是甲和乙。(1)如果ab，即a=b，那么ab .如果ab，即ab=0，那么ab例2:眾所周知，平行六面體ABCD-A1B1C1D1底面的ABCD為菱形

4、，C1CB=C1CD=BCD=。驗(yàn)證：c c1bd第一等的B1C1D1CBADnaL(2)直線與平面的位置關(guān)系：直線L的方向向量為a，平面的法向量為n，L 。nLa(1)如果an，即a=n，那么L 如果an，即an=0，則l。示例欣賞示例：邊等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1，d和E分別為AC和CC1的中點(diǎn)，驗(yàn)證值為：(I) a1e 飛機(jī)dbc1(二)ab1平面DBC1第一等的C1B1ACBEDzxy(3)平面之間的位置關(guān)系平面的法向量是n1，平面的法向量是n2n1n1n2n2如果n1N2，即n1=n2，則如果n1n2，即n1 n2=0，則 示例說(shuō)明在示例4:中，正方形ABCD-A1B1C1

5、D1、e和f分別是BB1和CD的中點(diǎn)。驗(yàn)證： AED A1FDzxyABCDFE第一等的B1C1D12.找到空間的角度(1)具有不同表面的兩條直線之間的角度矢量法用于求兩條平面外直線形成的夾角。代替平移這兩條平面外直線，我們可以找到兩條平面外直線的方向向量，所以兩個(gè)方向向量的夾角等于或補(bǔ)充兩條直線的夾角。我們只需要取一個(gè)銳角或直角。示例5:如正方形ABCD-A1B1C1D1所示，其中m是AB的中點(diǎn)，對(duì)角DB1和CM形成的角度的余弦是_ _ _ _ _。BCAMxzyB1C1D1第一等的CDMA(2)直線與平面之間的角度如果N是平面的法向量，A是直線L的方向向量，則角度 betzxyC1第一等的

6、B1ACBO(3)二面角BAo設(shè)n1和n2分別是二面角的兩個(gè)半平面和的法向量。根據(jù)幾何知識(shí)，二面角-L-等于或互補(bǔ)于法向量n1和n2(當(dāng)法向量垂直坐標(biāo)Z具有相同符號(hào)時(shí))或互補(bǔ)于法向量垂直坐標(biāo)Z具有不同符號(hào)時(shí))，因此計(jì)算二面角可以轉(zhuǎn)化為計(jì)算兩個(gè)平面法向量之間的角度，這樣可以避免繪制二面角的平面角度。BAo(1)、二面角是尖銳的二面角BAo二面角是一個(gè)鈍的二面角BAo示例7:在金字塔s-ABCDdab=ABC=90，側(cè)邊SA底邊AC，SA=AB=BC=1，AD=2，計(jì)算二面角a-SD-C的大小.ADSBxyCzAHBn(2)點(diǎn)到平面的距離a是平面之外的一個(gè)點(diǎn)(如圖所示)，n是平面的法向量，由a構(gòu)成。平面的斜線AB和垂直線AH。=。因此，點(diǎn)到平面的距離等于平面內(nèi)外兩點(diǎn)矢量和平面法向矢量的數(shù)量積的絕對(duì)值與平面法向矢量模的比值。示例欣賞示例9 :在三棱鏡ABC-A1B1C1中，AA1=，AC=BC=1，ACB=90，找出從B1到A1BC的距離。zxyCC1第一等的B1AB空間矢量理論引入立體幾何時(shí)，通常涉及夾角、平行、垂直和距離等問(wèn)