高中數(shù)學(xué) （2.2 函數(shù)模型的應(yīng)用舉例 第2課時(shí)）示范教案 新人教A版必修1（通用）

1、第2課時(shí) 函數(shù)模型的應(yīng)用舉例導(dǎo)入新課思路1.(事例導(dǎo)入)一輛汽車在水平的公路上勻加速行駛，初速度為v0,加速度為a,那么經(jīng)過t小時(shí)它的速度為多少？在這t小時(shí)中經(jīng)過的位移是多少？試寫出它們函數(shù)解析式，它們分別屬于那種函數(shù)模型？v=v0+at,s=v0t+at2,它們分別屬于一次函數(shù)模型和二次函數(shù)模型.不僅在物理現(xiàn)象中用到函數(shù)模型，在其他現(xiàn)實(shí)生活中也經(jīng)常用到函數(shù)模型，今天我們繼續(xù)討論函數(shù)模型的應(yīng)用舉例.思路2.(直接導(dǎo)入)前面我們學(xué)習(xí)了函數(shù)模型的應(yīng)用，今天我們在鞏固函數(shù)模型應(yīng)用的基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論函數(shù)擬合問題.推進(jìn)新課新知探究提出問題我市某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品，根據(jù)需求預(yù)測：進(jìn)入21世紀(jì)以來，前

2、8年在正常情況下，該產(chǎn)品產(chǎn)量將平穩(wěn)增長.已知2000年為第一年，頭4年年產(chǎn)量f(x)(萬件)如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.441畫出20002020年該企業(yè)年產(chǎn)量的散點(diǎn)圖；建立一個(gè)能基本反映（誤差小于0.1）這一時(shí)期該企業(yè)年產(chǎn)量發(fā)展變化的函數(shù)模型，并求之.22020年(即x7)因受到某外國對我國該產(chǎn)品反傾銷的影響，年產(chǎn)量應(yīng)減少30%，試根據(jù)所建立的函數(shù)模型，確定2020年的年產(chǎn)量應(yīng)該約為多少？什么是函數(shù)擬合？總結(jié)建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的基本過程.討論結(jié)果：1如圖3-2-2-5，設(shè)f(x)axb,代入（1，4）、（3，7）,得解得a=，b=.f(x)=x+.檢驗(yàn)：f

3、(2)5.5，|5.58-5.5|=0.080.1；f(4)8.5，|8.44-8.5|=0.061.2,所以這個(gè)男生偏胖.圖3-2-2-7 圖3-2-2-8變式訓(xùn)練九十年代，政府間氣候變化專業(yè)委員會（IPCC）提供的一項(xiàng)報(bào)告指出：使全球氣候逐年變暖的一個(gè)重要因素是人類在能源利用與森林砍伐中使CO2濃度增加.據(jù)測，1990年、1991年、1992年大氣中的CO2濃度分別比1989年增加了1個(gè)可比單位、3個(gè)可比單位、6個(gè)可比單位.若用一個(gè)函數(shù)模擬九十年代中每年CO2濃度增加的可比單位數(shù)y與年份增加數(shù)x的關(guān)系，模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)或函數(shù)y=abx+c（其中a、b、c為常數(shù)），且又知1994年大氣

4、中的CO2濃度比1989年增加了16個(gè)可比單位，請問用以上哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？解：(1)若以f(x)=px2+qx+r作模擬函數(shù)，則依題意得解得所以f(x)=x2+x.(2)若以g(x)=abx+c作模擬函數(shù)，則解得所以g(x)=()x-3.(3)利用f(x)、g(x)對1994年CO2濃度作估算，則其數(shù)值分別為：f(5)=15可比單位，g(5)=17.25可比單位，|f(5)16|g(5)16|,故選f(x)=x2+x作為模擬函數(shù)與1994年的實(shí)際數(shù)據(jù)較為接近.思路2例1某自來水廠的蓄水池有400噸水,水廠每小時(shí)可向蓄水池中注水60噸,同時(shí)蓄水池又向居民小區(qū)不間斷供水,t小時(shí)內(nèi)供水總量

5、為1206t噸,其中0t24.(1)從供水開始到第幾小時(shí),蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少噸?(2)若蓄水池中水量少于80噸時(shí),就會出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象,請問:在一天的24小時(shí)內(nèi),有幾小時(shí)出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象?活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，再回答.教師根據(jù)實(shí)際，可以提示引導(dǎo).思路分析：首先建立函數(shù)模型，利用函數(shù)模型解決實(shí)際問題.解：設(shè)供水t小時(shí)，水池中存水y噸，則(1)y=400+60t-120=60()2+40(1t24),當(dāng)t=6時(shí)，ymin=40(噸),故從供水開始到第6小時(shí)，蓄水池中的存水量最少，最少存水為40噸.(2)依條件知60()2+4080,1t24,解得t,=8.故一天24小時(shí)內(nèi)有8小

6、時(shí)出現(xiàn)供水緊張.例22020泰安高三期末統(tǒng)考，文18某蛋糕廠生產(chǎn)某種蛋糕的成本為40元/個(gè)，出廠價(jià)為60元/個(gè)，日銷售量為1 000個(gè)，為適應(yīng)市場需求，計(jì)劃提高蛋糕檔次，適度增加成本.若每個(gè)蛋糕成本增加的百分率為x（0x1），則每個(gè)蛋糕的出廠價(jià)相應(yīng)提高的百分率為0.5x，同時(shí)預(yù)計(jì)日銷售量增加的百分率為0.8x，已知日利潤=（出廠價(jià)一成本）日銷售量，且設(shè)增加成本后的日利潤為y.(1)寫出y與x的關(guān)系式；(2)為使日利潤有所增加，求x的取值范圍.解：(1)由題意得y=60(1+0.5x)-40(1+x)1 000(1+0.8x)=2 000(-4x2+3x+10)(0x1).(2)要保證日利潤有所

7、增加，當(dāng)且僅當(dāng)即解得0x.所以為保證日利潤有所增加，x應(yīng)滿足0x.點(diǎn)評：函數(shù)模型應(yīng)用經(jīng)常伴隨方程和不等式的應(yīng)用，它們是有機(jī)的整體.知能訓(xùn)練2020廣東韶關(guān)統(tǒng)考，文18某養(yǎng)殖廠需定期購買飼料，已知該廠每天需要飼料200千克，每千克飼料的價(jià)格為1.8元，飼料的保管與其他費(fèi)用為平均每千克每天0.03元，購買飼料每次支付運(yùn)費(fèi)300元(1)求該廠多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最??；(2)若提供飼料的公司規(guī)定，當(dāng)一次購買飼料不少于5噸時(shí)其價(jià)格可享受八五折優(yōu)惠（即原價(jià)的85%）問該廠是否考慮利用此優(yōu)惠條件，請說明理由.解：(1)設(shè)該廠應(yīng)隔x(xN*)天購買一次飼料，平均每天支付的總費(fèi)用為y1，

8、飼料的保管與其他費(fèi)用每天比前一天少2000.03=6（元）.x天飼料的保管與其他費(fèi)用共有6(x-1)+6(x-2)+6=3x2-3x(元).從而有y1=(3x2-3x+300)+2001.8=+3x+357,可以證明y1=+3x+357,在（0，10）上為減函數(shù)，在（10，+）上為增函數(shù).當(dāng)x=10時(shí)，y1有最小值417,即每隔10天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最小.(2)若廠家利用此優(yōu)惠條件，則至少25天購買一次飼料，設(shè)該廠利用此優(yōu)惠條件，每隔x天(x25)購買一次飼料，平均每天支付的總費(fèi)用為y2，則y2=(3x2-3x+300)+2001.80.85=+3x+303(x25).函

9、數(shù)y2在25,+）上是增函數(shù),當(dāng)x=25時(shí)，y2取得最小值為390.而3900，二次函數(shù)f(a)圖象開口方向向上,當(dāng)a=(a1+a2+an)時(shí)，y有最小值,所以a=(a1+a2+an)即為所求.點(diǎn)評：此題在高考中是具有導(dǎo)向意義的試題，它以物理知識和簡單數(shù)學(xué)知識為基礎(chǔ)，并以物理學(xué)科中的統(tǒng)計(jì)問題為背景，給出一個(gè)新的定義，要求學(xué)生讀懂題目，抽象其中的數(shù)量關(guān)系，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，即y=(a-a1)2+(a-a2)2+(a-an)2,然后運(yùn)用函數(shù)的思想方法去解決問題.解題關(guān)鍵是將函數(shù)式化成以a為自變量的二次函數(shù)形式，這是函數(shù)思想在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用.課堂小結(jié)1.鞏固函數(shù)模型的應(yīng)用.2.初步掌握

10、函數(shù)擬合思想，并會用函數(shù)擬合思想解決實(shí)際問題.作業(yè)課本P107習(xí)題3.2B組1、2.設(shè)計(jì)感想本節(jié)通過事例引入課題，接著通過事例讓學(xué)生感受什么是函數(shù)擬合；課本的例3是函數(shù)模型的應(yīng)用，例4是函數(shù)擬合的應(yīng)用，這都是本節(jié)的重點(diǎn).因此本節(jié)選用了多個(gè)地市的模擬試題進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，其中開放性函數(shù)擬合問題更值得關(guān)注.本節(jié)素材鮮活豐富，結(jié)構(gòu)合理有序，難度適中貼近高考.習(xí)題詳解(課本第98頁練習(xí))1.y2.2.設(shè)第1輪病毒發(fā)作時(shí)有a1=10臺被感染,第2輪,第3輪,依次有a2臺,a3臺,被感染,依題意有a5=10204=160.答:在第5輪病毒發(fā)作時(shí)會有160萬臺被感染.(課本第101頁練習(xí))三個(gè)函數(shù)圖象如下:圖3

11、-2-2-9由圖象可以看到,函數(shù)(1)以“爆炸”式的速度增長;函數(shù)(2)增長緩慢,并漸漸趨于穩(wěn)定;函數(shù)(3)以穩(wěn)定的速度增加.(課本第104頁練習(xí))1.(1)已知人口模型為y=y0ert,其中y0表示t=0時(shí)的人口數(shù),r表示人口的年增長率.若按1650年世界人口5億,年增長率為0.3%估計(jì),有y=5e0.003t.當(dāng)y=10時(shí),解得t231.所以,1881年世界人口數(shù)約為1650年的2倍.同理,可知2020年世界人口數(shù)約為1970年的2倍.(2)由此看出,此模型不太適宜估計(jì)跨度時(shí)間非常大的人口增長情況.2.由題意有75t-4.9t2=100,解得t=,即t11.480,t213.827.所以,

12、子彈保持在100 m以上的時(shí)間t=t2-t112.35,在此過程中,子彈最大速率v1=v0-9.8t=75-9.81.480=60.498 m/s.答:子彈保持在100米以上高度的時(shí)間是12.35秒,在此過程中,子彈速率的范圍是v(0,60.498).(課本第106頁練習(xí))1.(1)由題意可得y1=150+0.25x,y2=+0.25,y3=0.35x,y4=0.35x-(150+0.25x)=0.1x-150.(2)畫出y4=0.1x-150的圖象如下.圖3-2-2-10由圖象可知,當(dāng)x1500件時(shí),公司贏利.2.(1)列表.(2)畫散點(diǎn)圖.圖3-2-2-113.確定函數(shù)模型.甲:y1=-x

13、2+12x+41,乙:y2=-52.070.778x+92.5.(4)做出函數(shù)圖象進(jìn)行比較.圖3-2-2-12圖3-2-2-13圖3-2-2-14計(jì)算x=6時(shí),y1=77,y2=80.9.可見,乙選擇的模型較好.(課本第107頁習(xí)題3.2)A組1.(1)列表.(2)描點(diǎn).圖3-2-2-15(3)根據(jù)點(diǎn)的分布特征,可以考慮以d=kf+b作為刻畫長度與拉力的函數(shù)模型,取兩組數(shù)據(jù)(1,14.2)、(4,57.5),有解得所以d=14.4f-0.2.將已知數(shù)據(jù)帶入上述解析式或作出函數(shù)圖象,可以發(fā)現(xiàn),這個(gè)函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)擬合程度較好,說明它能較好地反映長度與拉力的關(guān)系.圖3-2-2-162.由=(60

14、)2a,得a=.由=x2,得x=3010.因?yàn)?010100,所以這輛車沒有超速.3.(1)x=(2)v=圖略.4.設(shè)水池總造價(jià)為y元,水池長度為x m,則y=(12x+)95+135,畫出函數(shù)y1=(12x+)95+135和函數(shù)y2=7的圖象.圖3-2-2-17由圖可知,若y17,則x應(yīng)介于x1,x2之間,x1,x2即為方程(12x+)95+135=70 000的兩個(gè)根.解得x16.4,x231.3.答:水池的長與寬應(yīng)該控制在6.4,31.3之間.5.將x=0,y=1.01105和x=2400,y=0.90105分別代入y=cekx,得到解得c=所以y=1.01105ex.當(dāng)x=5596m時(shí),y=0.772105(Pa)0.775105(Pa).答:這位游客的決定是冒險(xiǎn)的決定.6.由5002500()t1500,解得2.3t7.2.答:應(yīng)該在用藥2.3小時(shí)后及7.2小時(shí)以前補(bǔ)充藥.B組1.(1)利用計(jì)算器畫出19902000年國內(nèi)生產(chǎn)總值的圖象如下.圖3-2-2-18(2)根據(jù)以上圖象的特征,可考慮用函數(shù)y=kx+b刻畫國民生產(chǎn)總值發(fā)展變化的趨勢.取(1994,46670)(1998,76967.1)兩組數(shù)據(jù)代入上式,得解得這樣,我們就得到了函數(shù)模型y=7574.275x-15056434.35.作出上述函數(shù)圖象如下.圖3-2-2-19根據(jù)上述函數(shù)圖象,我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)函數(shù)模