初中數(shù)學(xué)基本幾何圖形

1、初中數(shù)學(xué)基本幾何圖形初中數(shù)學(xué)基本幾何圖形 這篇帖子是關(guān)于幾何基本圖形的。每一個(gè)幾何壓軸題，幾乎都是由幾個(gè)基本圖形構(gòu)成的，所以如果能把這些圖形用 熟，做幾何題應(yīng)該不成問(wèn)題。 1、正方形與等腰直角三角形 正方形 ABCD，EF 為過(guò)正方形點(diǎn) B 的直線且 AEEF，CFEF，則有AEBBFC。 將上圖進(jìn)行轉(zhuǎn)換，則該基本圖形存在于等腰三角形中，可利用此圖證明勾股定理： 令 AD=BE=a，DB=CE=b，AB=BC=c，S ABC = 2 c2= 2 （a+b）2-ab ；化簡(jiǎn)得到：c2=a2+b2 11 2、梯形中位線 梯形 ABCD 中，ADBC，E、F 分別為 AB、DC 中點(diǎn)，則有 EF=（

2、AD+BC） 2 1 結(jié)合 1、2 有一道經(jīng)典題目，在此奉上。 ABC，分別以 AB、AC 為邊向外做正方形 ABFG、ACDE，連接 FD，取 FD 中點(diǎn) H，作 HIBC，證明：HI= 2 BC 1 提示提示: :先證明先證明 BCBC 等于梯形上下底邊之和等于梯形上下底邊之和 【變形題【變形題 1 1】 如圖如圖 1 1，以，以 ABCABC 的邊的邊 ABAB、ACAC 為邊向內(nèi)作正方形為邊向內(nèi)作正方形 ABFGABFG 和正方形和正方形 ACDEACDE，MM 是是 DFDF 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，N N 是是 BCBC 的中點(diǎn)，連接的中點(diǎn)，連接 MNMN探究線段探究線段 MNMN 與與

3、BCBC 之間的關(guān)系，并加以證明之間的關(guān)系，并加以證明 說(shuō)明：如果你經(jīng)過(guò)反復(fù)探索沒(méi)有解決問(wèn)題，可以從下面、中選取一種情況完成你的證明，選取比原題少得說(shuō)明：如果你經(jīng)過(guò)反復(fù)探索沒(méi)有解決問(wèn)題，可以從下面、中選取一種情況完成你的證明，選取比原題少得 6 6 分，選取比原題少得分，選取比原題少得 8 8 分分 如圖如圖 2 2，將正方形，將正方形 ACDEACDE 繞點(diǎn)繞點(diǎn) A A 旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn) C C、E E 分別落在分別落在 AGAG、ABAB 上；上； 如圖如圖 3 3，將正方形，將正方形 ACDEACDE 繞點(diǎn)繞點(diǎn) A A 旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn) B B、A A、C C 在一條直線在一條直

4、線 答案：答案： 解：BCMN 證明：連接CM，然后延長(zhǎng)CM 至 H，使 CM=MH，連接FH、BH、CM、BM，HG、CG，延長(zhǎng) CD，與 BF 相交于 I， MF=MD，CM=HM，CMD=HMF， CMDHMF， AC=HF=CD， HFG=180 -GHF-HGF， HGF=DCM，GHF=IGC， BIC=IGC+DCM， BAC=360 -ABI-ACI-BIC=180 -BIC=180 -IGC-DCM=180 -GHF-HGF=HFB， ABCFBH， 四邊形 ABIC 中ABI=ACI=90 ， HBF=ABC， CBH=HBF+CBF=ABC+CBF=90 ， BCBH，

5、N 是 BC 中點(diǎn)，M 是 HC 中點(diǎn)， MNBH， BCMN 分析：分析： 延長(zhǎng) CM 至 H，使 CM=MH，連接 FH、BH、CM、BM，延長(zhǎng) CD，與 BF 相交于 I，根據(jù) MF=MD，CM=HM， CMD=HMF，可以證明BAC=HFB，即可證明ABCFBH，于是證明得CBH=HBF+CBF=ABC+ CBF=90 ，故知 BCBH，又因?yàn)?N 是 BC 中點(diǎn)，M 是 HC 中點(diǎn)，可得 MNBH ，于是證明出 BCMN 【變形題【變形題 2 2】 如圖（1），在RtABC, ACB=90,分別以 AB、BC 為一邊向外作正方形 ABFG、BCED，連結(jié)AD、CF，AD 與 CF 交

6、于點(diǎn) M。 （1）求證：ABDFBC； （2）如圖（2），已知 AD=6，求四邊形 AFDC 的面積； （3）在ABC 中，設(shè) BCa，ACb，ABc，當(dāng)ACB90時(shí)，c2a2b2。在任意ABC 中，c2a2b2 k。就 a3，b2 的情形，探究 k 的取值范圍（只需寫出你得到的結(jié)論即可）。 【變形題【變形題 3 3】 已知：如圖所示，從 RtABC 的兩直角邊 AB，AC 向外作正方形 ABFG 及 ACDE，CF，BD 分別交 AB，AC 于 P，Q.求證：AP=AQ . 3、角平分線出等腰。 AD 平分BAC ， 且 BD AC ， 則 BA=BD ， 此圖形常出現(xiàn)于菱形中， 若有 AB

7、=AC ， 則連接 CD 后有菱形 BACD 。 補(bǔ)充一句，上一圖可用于證明角分線定理。 4、雙垂圖。 5、一線三等角相似 AB=AC ，ADE= B，則ABD DCE 6、正方形中兩垂直線段。 正方形 ABCD中， AF DE ， 則有 AF=DE ； 平移 AF 、 DE 進(jìn)行推廣， 在正方形 ABCD中， MN PQ ， 則有 MN=PQ 7、直角三角形斜邊中線。 AB AC ，D 為 BC 中點(diǎn)，則 AD=BD=CD，該圖可從矩形中挖出，也可從圓中找到圖形。 8、直角三角形共圓 9、等腰三角形線段關(guān)系 11、常見(jiàn)旋轉(zhuǎn)型 2。 12、常見(jiàn)旋轉(zhuǎn)型 3 13、四邊形共圓 四邊形共圓 2 一道經(jīng)典例題 一線三角模型的特殊形式。 補(bǔ)充： 一線三角相等模型中， B= C= ADE=n，則ADB+ EDC=180-n， DEC+ EDC=180-n所以， ADB= DEC ，又因?yàn)锽= C ，所以ADB 相似于DEC ，所以AD/DE=BD/CE。當(dāng)點(diǎn)D 為中點(diǎn)時(shí)，BD=DC，則 AD/DE=DC/CE，又因?yàn)?C= ADE ，所以 ADE 相似于DEC 。證畢 雙等邊三角形（正方形）模型 上一樓圖形的性質(zhì) 性質(zhì) 1：通過(guò)證全等可知左圖中，BD=AE ，右圖中，BE=DF 性質(zhì) 2：證全等后，做雙高可知左圖中，C