微積分三大中值定理詳解

1、4.1微分中值定理,4.2洛必達法則,4.3用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值、和最值,4.4函數(shù)曲線的凹向及拐點,4.5曲線的漸近線與函數(shù)作圖,4.6導數(shù)在經濟學中的應用,第四章 中值定理及導數(shù)的應用,4.1 微分中值定理,一、引言 二、微分中值定理 1、羅爾(rolle)定理 2、拉格朗日(lagrange)定理 3、柯西(cauchy)定理 三 、小結,一、引言(introduction),導數(shù)刻劃函數(shù)在一點處的變化率，它反映 函數(shù)在一點處的局部變化性態(tài)；但在理論研究和實際應用中，還需要把握函數(shù)在某區(qū)間上的整體變化性態(tài)。 中值定理揭示了函數(shù)在某區(qū)間上的整體性質與該區(qū)間內某一點導數(shù)之間的關系。

2、中值定理既是利用微分學解決應用問題的模型，又是解決微分學自身發(fā)展的理論基石。,二、微分中值定理the mean value theorem,在微分中值定理的三個定理中，拉格朗日(lagrange)中值定理是核心定理，羅爾中值定理是它的特例，柯西中值定理是它的推廣。 下面我們逐一介紹微分中值定理。,1、羅爾 ( rolle ) 定理(r-th),使,3),幾何意義:,在兩端點高度相同的連續(xù)光滑的曲線弧上,若除端點外處處有不垂直于x軸的切線,則此曲線弧上至少有一點處的切線是水平的.或者說切線與端點的連線ab平行.,證明,1) 若,可取(a, b)內任一點作為,2) 若,即,所以,證畢.,注意：羅爾

3、定理的條件組是結論成立的充分條件，任一條都不是必要條件。 若函數(shù)不滿足條件組，則不一定有羅爾定理的結論。,再如,在右端點不連續(xù),但,然而,注意：零值定理求函數(shù)的零點(函數(shù)方程的實根)，羅爾定理求導數(shù)的零點(導數(shù)方程的實根)。 題型1：驗證定理的正確性。定理結論中的客觀存在，且可能不唯一，但未給出其具體位置。令導數(shù)為零，求解方程的根，可確定其具體位置。 題型2：找區(qū)間(比較復雜)； 題型3：找函數(shù)(由結論入手，求解微分方程),在x=0處不可導,也不存在結論中的點,注：本例中，應用定理的關鍵是主動找區(qū)間。,例4 設f(x)可導，且f(a)=f(b)=0，試證在(a,b)內至少存在一點，使f()+f

4、 ()=0 證明：構造函數(shù) f(x)=f(x)ex 則 f(a)=f(a)ea=0 f(b)=f(b)eb=0 由于f(x)在a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內可導 且 f (x)=f (x)ex+f(x)ex 所以，在(a,b)內至少存在一點 ，有f ()=0 即 e f ()+e f()=0 f()+f ()=0,例5 已知f(x)在區(qū)間(a,b)內存在二階導數(shù)，ax1x2x3b，且f(x1)=f(x2)=f(x3)，試證明在(a,b)內至少存在一點 ，使f ()=0 證明：f(x)在區(qū)間(a,b)內二階可導 f(x)在區(qū)間x1,x2，x2,x3內連續(xù)可導 f(x1)=f(x2)=f(x3

5、) 由羅爾定理，存在 1(x1,x2) ， 2(x2,x3) 使得f ( 1)=0，f ( 2)=0 再由羅爾定理得，,解 答,練一練,解 答,練一練,解 答,2）唯一性,由零點定理,即為方程的正實根.,矛盾,1）存在性,注意：在后面，本題還將用其他方法加以證明。,2、拉格朗日 (lagrange) 定理(l-th),或,至少有一點,定理,幾何意義：,在連續(xù)、光滑的曲線弧上，除端點外處處有不垂直于 x 軸的切線，則在曲線弧上至少存在一點c，在該點處的切線與連接兩端點的弦平行.,分析,要證,即證,即證,令,只須證,證明,且,即,根據(jù)羅爾定理知，,使,即,即,構造輔助函數(shù),2) 定理結論肯定中間值

6、 的客觀存在,但未指明確切位置,可通過求解導數(shù)方程確定。(題型1：驗證定理的正確性),1) 定理的條件組是充分條件。,.,注意,3)題型2：找區(qū)間； 4)題型3：找函數(shù)； 5)題型4：證明等式； 6)題型5：證明不等式。,拉格朗日中值公式.,2) 若令,則,于是拉格朗日公式可寫成:,(3),3) 若令,則得有限增量公式:,(4),說明,（2）,4） 是函數(shù)增量 的近似表達式 是函數(shù)增量 的精確表達式,證明,不妨設,使,所以,對,例8 已知函數(shù)f(x)在(,+)內滿足關系式f (x)=f(x)，且f(0)=1,證明：f(x)=ex 。 證明：構造函數(shù),證明,由推論1知,即,解,即,即的確在 (0

7、,1) 內找到,使定理成立.,應用定理知,解 答,時,例10 證明: 當,證 設,對, 使,即,因,所以,即,證 明,證 明,使得,且,3、柯西(cauchy)中值定理(c-th),定理,思考,2、證明,解答,2o 對f(x)在b, a上用拉格朗日公式 ,即,2、證明 1o 由所要證明的不等式選定一函數(shù)f(x) 及定義區(qū)間: 令 f(x)=lnx , xb, a.,1、 b .點c不能為任意，因為函數(shù)和區(qū)間確定時，l-th結論中的c的位置是客觀確定的。,例17：設f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內可導，證明：在(a,b)內存在一點，,使得,f (x)，g(x)在a,b上滿足柯西中值定理，在(a,b)內至少存在一點，使得,左邊分母有理化,又因為f(x)在a,b上滿足拉格朗日中值定理，所以在(a,b)內至少存在一點，使得,小 結：,羅爾定理 如果函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 在開區(qū)間(a b)內可導 且有f(a)f(b) 那么至少存在一點x(a b) 使得 f (x)0,如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 在開區(qū)間(a b)內可導 那么在(a b)內至少有一點x 使得 f(b)f(a)f (x)(ba),拉格朗日中值定理,1.三個中值定理,柯西中值定理 函數(shù)f(x)及f(x)在閉區(qū)