微積分三大中值定理詳解

1、4.1微分中值定理,4.2洛必達(dá)法則,4.3用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、和最值,4.4函數(shù)曲線的凹向及拐點(diǎn),4.5曲線的漸近線與函數(shù)作圖,4.6導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用,第四章 中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,4.1 微分中值定理,一、引言 二、微分中值定理 1、羅爾(rolle)定理 2、拉格朗日(lagrange)定理 3、柯西(cauchy)定理 三 、小結(jié),一、引言(introduction),導(dǎo)數(shù)刻劃函數(shù)在一點(diǎn)處的變化率，它反映 函數(shù)在一點(diǎn)處的局部變化性態(tài)；但在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中，還需要把握函數(shù)在某區(qū)間上的整體變化性態(tài)。 中值定理揭示了函數(shù)在某區(qū)間上的整體性質(zhì)與該區(qū)間內(nèi)某一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。

2、中值定理既是利用微分學(xué)解決應(yīng)用問題的模型，又是解決微分學(xué)自身發(fā)展的理論基石。,二、微分中值定理the mean value theorem,在微分中值定理的三個(gè)定理中，拉格朗日(lagrange)中值定理是核心定理，羅爾中值定理是它的特例，柯西中值定理是它的推廣。 下面我們逐一介紹微分中值定理。,1、羅爾 ( rolle ) 定理(r-th),使,3),幾何意義:,在兩端點(diǎn)高度相同的連續(xù)光滑的曲線弧上,若除端點(diǎn)外處處有不垂直于x軸的切線,則此曲線弧上至少有一點(diǎn)處的切線是水平的.或者說切線與端點(diǎn)的連線ab平行.,證明,1) 若,可取(a, b)內(nèi)任一點(diǎn)作為,2) 若,即,所以,證畢.,注意：羅爾

3、定理的條件組是結(jié)論成立的充分條件，任一條都不是必要條件。 若函數(shù)不滿足條件組，則不一定有羅爾定理的結(jié)論。,再如,在右端點(diǎn)不連續(xù),但,然而,注意：零值定理求函數(shù)的零點(diǎn)(函數(shù)方程的實(shí)根)，羅爾定理求導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)(導(dǎo)數(shù)方程的實(shí)根)。 題型1：驗(yàn)證定理的正確性。定理結(jié)論中的客觀存在，且可能不唯一，但未給出其具體位置。令導(dǎo)數(shù)為零，求解方程的根，可確定其具體位置。 題型2：找區(qū)間(比較復(fù)雜)； 題型3：找函數(shù)(由結(jié)論入手，求解微分方程),在x=0處不可導(dǎo),也不存在結(jié)論中的點(diǎn),注：本例中，應(yīng)用定理的關(guān)鍵是主動(dòng)找區(qū)間。,例4 設(shè)f(x)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0，試證在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使f()+f

4、 ()=0 證明：構(gòu)造函數(shù) f(x)=f(x)ex 則 f(a)=f(a)ea=0 f(b)=f(b)eb=0 由于f(x)在a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo) 且 f (x)=f (x)ex+f(x)ex 所以，在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，有f ()=0 即 e f ()+e f()=0 f()+f ()=0,例5 已知f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，ax1x2x3b，且f(x1)=f(x2)=f(x3)，試證明在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使f ()=0 證明：f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo) f(x)在區(qū)間x1,x2，x2,x3內(nèi)連續(xù)可導(dǎo) f(x1)=f(x2)=f(x3

5、) 由羅爾定理，存在 1(x1,x2) ， 2(x2,x3) 使得f ( 1)=0，f ( 2)=0 再由羅爾定理得，,解 答,練一練,解 答,練一練,解 答,2）唯一性,由零點(diǎn)定理,即為方程的正實(shí)根.,矛盾,1）存在性,注意：在后面，本題還將用其他方法加以證明。,2、拉格朗日 (lagrange) 定理(l-th),或,至少有一點(diǎn),定理,幾何意義：,在連續(xù)、光滑的曲線弧上，除端點(diǎn)外處處有不垂直于 x 軸的切線，則在曲線弧上至少存在一點(diǎn)c，在該點(diǎn)處的切線與連接兩端點(diǎn)的弦平行.,分析,要證,即證,即證,令,只須證,證明,且,即,根據(jù)羅爾定理知，,使,即,即,構(gòu)造輔助函數(shù),2) 定理結(jié)論肯定中間值

6、 的客觀存在,但未指明確切位置,可通過求解導(dǎo)數(shù)方程確定。(題型1：驗(yàn)證定理的正確性),1) 定理的條件組是充分條件。,.,注意,3)題型2：找區(qū)間； 4)題型3：找函數(shù)； 5)題型4：證明等式； 6)題型5：證明不等式。,拉格朗日中值公式.,2) 若令,則,于是拉格朗日公式可寫成:,(3),3) 若令,則得有限增量公式:,(4),說明,（2）,4） 是函數(shù)增量 的近似表達(dá)式 是函數(shù)增量 的精確表達(dá)式,證明,不妨設(shè),使,所以,對(duì),例8 已知函數(shù)f(x)在(,+)內(nèi)滿足關(guān)系式f (x)=f(x)，且f(0)=1,證明：f(x)=ex 。 證明：構(gòu)造函數(shù),證明,由推論1知,即,解,即,即的確在 (0

7、,1) 內(nèi)找到,使定理成立.,應(yīng)用定理知,解 答,時(shí),例10 證明: 當(dāng),證 設(shè),對(duì), 使,即,因,所以,即,證 明,證 明,使得,且,3、柯西(cauchy)中值定理(c-th),定理,思考,2、證明,解答,2o 對(duì)f(x)在b, a上用拉格朗日公式 ,即,2、證明 1o 由所要證明的不等式選定一函數(shù)f(x) 及定義區(qū)間: 令 f(x)=lnx , xb, a.,1、 b .點(diǎn)c不能為任意，因?yàn)楹瘮?shù)和區(qū)間確定時(shí)，l-th結(jié)論中的c的位置是客觀確定的。,例17：設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，證明：在(a,b)內(nèi)存在一點(diǎn)，,使得,f (x)，g(x)在a,b上滿足柯西中值定理，在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得,左邊分母有理化,又因?yàn)閒(x)在a,b上滿足拉格朗日中值定理，所以在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得,小 結(jié)：,羅爾定理 如果函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 在開區(qū)間(a b)內(nèi)可導(dǎo) 且有f(a)f(b) 那么至少存在一點(diǎn)x(a b) 使得 f (x)0,如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 在開區(qū)間(a b)內(nèi)可導(dǎo) 那么在(a b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x 使得 f(b)f(a)f (x)(ba),拉格朗日中值定理,1.三個(gè)中值定理,柯西中值定理 函數(shù)f(x)及f(x)在閉區(qū)