隨機(jī)過程的基本概念和統(tǒng)計(jì)特性

1、2.1隨機(jī)過程的基本概念和統(tǒng)計(jì)特性 2.2平穩(wěn)隨機(jī)過程 2.3高斯隨機(jī)過程 2.4隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 2.5窄帶隨機(jī)過程 2.6正弦波加窄帶高斯噪聲,第 2 章隨機(jī)信號(hào)分析,返回主目錄,第 2 章 隨機(jī)過程,2.1 隨機(jī)過程的基本概念和統(tǒng)計(jì)特性 2.1.1隨機(jī)過程 信號(hào)參數(shù)變化過程分成為兩類。 1）、信號(hào)參數(shù)變化過程具有必然的變化規(guī)律，用數(shù)學(xué)語言來說，其變化過程可以用一個(gè)或幾個(gè)時(shí)間t的確定函數(shù)來描述，這類過程稱為確定性過程。例如，電容器通過電阻放電時(shí)，電容兩端的電位差隨時(shí)間的變化就是一個(gè)確定性函數(shù)。 2）、信號(hào)參數(shù)變化過程沒有一個(gè)確定的變化規(guī)律，用數(shù)學(xué)語言來說， 這類事物變化的過程不可能用一

2、個(gè)或幾個(gè)時(shí)間t的確定函數(shù)來描述，這類過程稱為隨機(jī)過程。下面我們給出一個(gè)例子：,在相同的工作環(huán)境和測試條件下記錄n臺(tái)性能完全相同的接收機(jī)輸出噪聲波形（這也可以理解為對(duì)一臺(tái)接收機(jī)在一段時(shí)間內(nèi)持續(xù)地進(jìn)行n次觀測）。測試結(jié)果將表明，盡管設(shè)備和測試條件相同，記錄的n條曲線中找不到兩個(gè)完全相同的波形。這就是說，接收機(jī)輸出的噪聲電壓隨時(shí)間的變化是不可預(yù)知的，因而它是一個(gè)隨機(jī)過程。 隨機(jī)過程的定義：設(shè)Sk(k=1, 2, )是隨機(jī)試驗(yàn)。 每一次試驗(yàn)都有一條時(shí)間波形，稱為樣本函數(shù)或?qū)崿F(xiàn)，記作xi(t)，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總體x1(t), x2(t)， , xn(t)， 就構(gòu)成一隨機(jī)過程，記作(t)。 (t)代

3、表隨機(jī)過程，表示無窮多個(gè)樣本函數(shù)的總體，如圖 2 - 1 所示。,圖 2- 1樣本函數(shù)的總體,上例中接收機(jī)的輸出噪聲波形也可用圖 2 - 1 表示：把對(duì)接收機(jī)輸出噪聲波形的觀測看作是進(jìn)行一次隨機(jī)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)之后，(t)取圖中所示的樣本空間中的某一樣本函數(shù)，至于是空間中哪一個(gè)樣本，在進(jìn)行觀測前是無法預(yù)知的，這正是隨機(jī)過程隨機(jī)性的具體表現(xiàn)。其基本特征體現(xiàn)在兩個(gè)方面： 1）、它是一個(gè)時(shí)間函數(shù)； 2）、在固定的某一觀察時(shí)刻t1，全體樣本在t1時(shí)刻的取值(t1)是一個(gè)不含t變化的隨機(jī)變量。 隨機(jī)過程是依賴時(shí)間參數(shù)的一族隨機(jī)變量。隨機(jī)過程具有隨機(jī)變量和時(shí)間函數(shù)的特點(diǎn)。在以下研究隨機(jī)過程時(shí)正是利用了這兩個(gè)

4、特點(diǎn)。,2.1.2隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性 由于隨機(jī)過程具有兩重性，可以用與描述隨機(jī)變量相似的方法， 來描述它的統(tǒng)計(jì)特性。 設(shè)(t)表示一個(gè)隨機(jī)過程，在任意給定的時(shí)刻t1， 其取值(t1)是一個(gè)一維隨機(jī)變量。而隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述。我們把隨機(jī)變量(t1)小于或等于某一數(shù)值x1的概率P(t1)x1， 簡記為 F1(x1,t1) 即 F1(x1,t1)=P(t1)x1 (2.1 - 1) 上式稱為隨機(jī)過程(t)的一維分布函數(shù)。如果F1(x1, t1)對(duì)x1的偏導(dǎo)數(shù)存在，即有,則稱f1(x1, t1)為(t)的一維概率密度函數(shù)。顯然，隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)或一維概率密度函數(shù)

5、僅僅描述了隨機(jī)過程在各個(gè)孤立時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性，而沒有說明隨機(jī)過程在不同時(shí)刻取值之間的內(nèi)在聯(lián)系，為此需要進(jìn)一步引入二維分布函數(shù)。 任給兩個(gè)時(shí)刻t1, t2，則隨機(jī)變量(t1)和(t2)構(gòu)成一個(gè)二元隨機(jī)變量(t1), (t2)， F2(x1,x2;t1,t2)=P(t1)x1,(t2)x2 (2.1 - 3) 稱為隨機(jī)過程(t)的二維分布函數(shù)。,概率密度函數(shù)是概率分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù),則稱f2(x1,x2; t1,t2)為(t)的二維概率密度函數(shù)。 同理，任給t1, t2, , tn，則(t)的n維分布定義為：Fn(x1,x2,xn;t1,t2,tn)=P(t1)x1,(t2)x2, (tn)xn,如果存

6、在,則稱fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn)為(t)的n維概率密度函數(shù)。顯然，n越大，對(duì)隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特性的描述就越充分，但問題的復(fù)雜性也隨之增加。在一般實(shí)際問題中，掌握二維分布函數(shù)就已經(jīng)足夠了。 ,2.1.3隨機(jī)過程的數(shù)字特征 分布函數(shù)或概率密度函數(shù)雖然能夠較全面地描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性, 但在實(shí)際工作中，有時(shí)不易或不需求出分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，而用隨機(jī)過程的數(shù)字特征來描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，更簡單直觀。 1. 數(shù)學(xué)期望 設(shè)隨機(jī)過程(t)在任意給定時(shí)刻t1的取值(t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為f1(x1, t1)，則(t1)的數(shù)學(xué)期望為,注意，這里t1是任取的，所以可以把t1

7、直接寫為t, x1改為x, 這時(shí)上式就變?yōu)殡S機(jī)過程在任意時(shí)刻的數(shù)學(xué)期望，記作a(t)， 于是,a(t)是時(shí)間t的函數(shù)，它表示隨機(jī)過程的n個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動(dòng)中心，即均值。 2. 方差,（2.23）,2,2,（2.24）,D(t)常記為2(t)。 方差等于均方值與數(shù)學(xué)期望平方之差。它表示隨機(jī)過程在時(shí)刻t對(duì)于均值a(t)的偏離程度。 均值和方差都只與隨機(jī)過程的一維概率密度函數(shù)有關(guān)，因而它們描述了隨機(jī)過程在各個(gè)孤立時(shí)刻的特征。為了描述隨機(jī)過程在兩個(gè)不同時(shí)刻狀態(tài)之間的聯(lián)系， 還需利用二維概率密度引入新的數(shù)字特征。 3. 相關(guān)函數(shù) 衡量隨機(jī)過程在任意兩個(gè)時(shí)刻獲得的隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)程度時(shí)，常用協(xié)方差函數(shù)

8、B(t1, t2)和相關(guān)函數(shù)R(t1, t2)來表示。協(xié)方差函數(shù)定義為,B(t1,t2)=E(t1)a(t1)(t2)a(t2) = f2(x1,x2; t1,t2)dx1dx2,式中，t1與t2是任取的兩個(gè)時(shí)刻；a(t1)與a(t2)為在t1及t2時(shí)刻得到的數(shù)學(xué)期望；f2(x1,x2; t1,t2)為二維概率密度函數(shù)。 相關(guān)函數(shù)定義為 R(t1, t2)=,（2.26）,二者關(guān)系為 B(t1, t2)=R(t1, t2) a(t1)a(t2) (2.27) 1）、若a(t1)=0或a(t2)=0，則B(t1, t2)=R(t1, t2)。 2）、若t2t1，并令t2=t1+，則R(t1, t

9、2)可表示為 R(t1, t1+)。 3）、若t2=t1 ，R（0）=E2（t)均方值 以上分析表明：相關(guān)函數(shù)依賴于起始時(shí)刻t1及t2與t1之間的時(shí)間間隔,即相關(guān)函數(shù)是t1和的函數(shù)。協(xié)方差和相關(guān)函數(shù)可以描述隨機(jī)過程隨時(shí)間的變化程度越平緩越大，反之越小。 由于B(t1, t2)和R(t1, t2)是衡量同一過程的相關(guān)程度的， 因此，它們又常分別稱為自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。,對(duì)于兩個(gè)或更多個(gè)隨機(jī)過程，可引入互協(xié)方差及互相關(guān)函數(shù)。設(shè)(t)和(t)分別表示兩個(gè)隨機(jī)過程，則互協(xié)方差函數(shù)定義為： B(t1,t2)=E(t1)a(t1)(t2)a(t2) 而互相關(guān)函數(shù)定義為： R(t1, t2)=E(t1

10、)(t2),2.2平穩(wěn)隨機(jī)過程,2.2.1定義 平穩(wěn)隨機(jī)過程是指它的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化。設(shè)隨機(jī)過程(t)，tT,若對(duì)于任意n和任意選定t1t2tn, tkT， k=1, 2, , n，以及為任意值，且x1, x2, , xnR，有 fn(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)=fn(x1, x2, , xn; t1+, t2+ , , tn+ ) (2.3 - 1) 則稱(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程。該定義說明，當(dāng)取樣點(diǎn)在時(shí)間軸上作任意平移時(shí)，隨機(jī)過程的所有有限維分布函數(shù)是不變的， 具體到它的一維分布, 則與時(shí)間t無關(guān)， 而二維分布只與時(shí)間間隔有關(guān)，即有,f1(x1, t1)

11、=f1(x1) 和 f2(x1, x2; t1, t2)=f2(x1, x2; ) 以上兩式可由式（2.3 - 1）分別令n=1和n=2, 并取 =-t1得證。 于是， 平穩(wěn)隨機(jī)過程(t)的均值,為一常數(shù)，這表示平穩(wěn)隨機(jī)過程的各樣本函數(shù)圍繞著一水平線起伏。同樣，可以證明平穩(wěn)隨機(jī)過程的方差2(t)=2=常數(shù)，表示它的起伏偏離數(shù)學(xué)期望的程度也是常數(shù)。而平穩(wěn)隨機(jī)過程(t)的自相關(guān)函數(shù):,R(t1, t2)=E(t1)(t1+) =,僅是時(shí)間間隔=t2-t1的函數(shù)，而不再是t1和t2的二維函數(shù)。 以上表明，平穩(wěn)隨機(jī)過程(t)具有“平穩(wěn)”的數(shù)字特征：它的均值與時(shí)間無關(guān)；它的自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，即

12、 R(t1, t1+)=R() 注意到式（2.3 - 1）定義的平穩(wěn)隨機(jī)過程對(duì)于一切n都成立， 這在實(shí)際應(yīng)用上很復(fù)雜。但僅僅由一個(gè)隨機(jī)過程的均值是常數(shù)， 自相關(guān)函數(shù)是的函數(shù)還不能充分說明它符合平穩(wěn)條件，為此引入另一種平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義： ,設(shè)有一個(gè)二階隨機(jī)過程(t)，它的均值為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)僅是的函數(shù)， 則稱它為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。相應(yīng)地，稱按式（2.3 - 1）定義的過程為狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程。因?yàn)閺V義平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義只涉及與一維、 二維概率密度有關(guān)的數(shù)字特征，所以一個(gè)狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程只要它的均方值E2(t)有界，則它必定是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，但反過來一般不成立。 通信系統(tǒng)中所遇

13、到的信號(hào)及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過程。以后討論的隨機(jī)過程除特殊說明外，均假定是平穩(wěn)的， 且均指廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程， 簡稱平穩(wěn)過程。 ,2.2.2各態(tài)歷經(jīng)性 平穩(wěn)隨機(jī)過程在滿足一定條件下有一個(gè)有趣而又非常有用的特性， 稱為“各態(tài)歷經(jīng)性”。這種平穩(wěn)隨機(jī)過程，它的數(shù)字特征（均為統(tǒng)計(jì)平均）完全可由隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)的數(shù)字特征（均為時(shí)間平均）來替代。也就是說，假設(shè)x(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程(t)的任意一個(gè)實(shí)現(xiàn)，它的時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)分別為,如果平穩(wěn)隨機(jī)過程使下式成立：,則稱該平穩(wěn)隨機(jī)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。 “各態(tài)歷經(jīng)”的含義：隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)。 意義：無需（實(shí)際中也

14、不可能）獲得大量用來計(jì)算統(tǒng)計(jì)平均的樣本函數(shù)，而只需從任意一個(gè)隨機(jī)過程的樣本函數(shù)中就可獲得它的所有的數(shù)字特征， 從而使“統(tǒng)計(jì)平均”化為“時(shí)間平均”，使實(shí)際測量和計(jì)算的問題大為簡化。 ,注意： 具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過程必定是平穩(wěn)隨機(jī)過程， 但平穩(wěn)隨機(jī)過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號(hào)和噪聲， 一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。 ,2.2.3平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程而言， 它的自相關(guān)函數(shù)是特別重要的一個(gè)函數(shù)。其一，平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，如數(shù)字特征等， 可通過自相關(guān)函數(shù)來描述；其二，自相關(guān)函數(shù)與平穩(wěn)隨機(jī)過程的譜特性有著內(nèi)在的聯(lián)系。因此，我們有必要了解平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)

15、函數(shù)的性質(zhì)。 設(shè)(t)為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程， 則它的自相關(guān)函數(shù) R()=E(t)(t+) 具有下列主要性質(zhì)： （1）R(0)=E2(t)=S (t)的平均功率 （2） R()=E2(t) (t)的直流功率 ,這里利用了當(dāng)時(shí)， (t)與(t+)沒有依賴關(guān)系， 即統(tǒng)計(jì)獨(dú)立， 且認(rèn)為(t)中不含周期分量。 （3） R()=R(-) 的偶函數(shù) 這一點(diǎn)可由定義式（2.2 -6）得證。 （4） |R()|R(0) R()的上界 （5） R(0)-R()=2 方差，(t)的交流功率 當(dāng)均值為0時(shí)，有R(0)=2。,2.2.4平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度 1、平穩(wěn)隨機(jī)過程(t)的功率譜密度P() 隨機(jī)過程的頻譜特性是

16、用它的功率譜密度來表述的。 隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)是一個(gè)確定的功率型信號(hào)。而對(duì)于任意的確定功率信號(hào)f(t)，它的功率譜密度為 式中，F(xiàn)T()是f(t)的截短函數(shù)fT(t)（見圖 2 - 2）所對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù)。 我們可以把f(t)看成是平穩(wěn)隨機(jī)過程(t)中的任一實(shí)現(xiàn)，因而每一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度也可用上式來表示。由于(t)是無窮多個(gè)實(shí)現(xiàn)的集合，哪一個(gè)實(shí)現(xiàn)出現(xiàn)是不能預(yù)知的，因此，某一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應(yīng)看做是任一實(shí)現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均，即,圖 2-2 功率信號(hào)f(t)及其截短函數(shù),(t)的平均功率S則可表示成,上式給出了平穩(wěn)隨機(jī)過程(t)的功率譜密度P()，但很難

17、直接用它來計(jì)算功率譜。 2、功率譜P() 與相關(guān)函數(shù) 確知的非周期功率信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與其譜密度是一對(duì)傅氏變換關(guān)系。對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程，也有類似的關(guān)系，即 其傅里葉反變換為,于是 R（0）,因?yàn)镽(0)表示隨機(jī)過程的平均功率，它應(yīng)等于功率譜密度曲線下的面積。因此，P()必然是平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度函數(shù)。所以，平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度P()與其自相關(guān)函數(shù)R()是一對(duì)傅里葉變換關(guān)系, 即,或,簡記為 R() P(),以上稱為維納-辛欽關(guān)系，它是聯(lián)系頻域和時(shí)域兩種分析方法的基本關(guān)系式。在平穩(wěn)隨機(jī)過程的理論和應(yīng)用中是一個(gè)非常重要的工具。 根據(jù)上述關(guān)系式及自相關(guān)函數(shù)R()的性質(zhì)，不難推演功率譜密度P()

18、有如下性質(zhì)： ,（1） P()0，非負(fù)性； （2.2 - 20） （2） P(-)=P()，偶函數(shù)。 （2.2 - 21）,隨機(jī)過程,寬平穩(wěn)隨機(jī)過程,各態(tài)歷經(jīng)性,統(tǒng)計(jì)平均,算術(shù)平均,維納-辛欽關(guān)系,R(t1, t1+)=R(),R() P(),Y,N,例 2 1 某隨機(jī)相位余弦波 (t)=Acos(ct+)， 其中A和c均為常數(shù)，是在(0, 2)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。 （1） 求(t)的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度； （2） 討論(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。,解 (1) 先考察(t)是否廣義平穩(wěn)。 若(t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)， 而自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間 間隔有關(guān)， (t)為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。 1、(t)的數(shù)

19、學(xué)期望為,2、(t)的自相關(guān)函數(shù)為,(t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)， 而自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)， 所以(t)為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。 根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換，即R() P()，則因?yàn)?cosc (-c)+(+c) 所以，功率譜密度為 P()= (-c)+(+c) 平均功率為 S=R(0)=,(2) 現(xiàn)在來求(t)的時(shí)間平均。 根據(jù)式（2.2 - 6）可得,比較統(tǒng)計(jì)平均與時(shí)間平均，得a= , R()= ， 因此，隨機(jī)相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。,2.3高斯隨機(jī)過程,2.3.1定義 若隨機(jī)過程(t)的任意n維（n=1, 2, ）分布都是正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機(jī)過程或正態(tài)過程。

20、 其n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示如下： fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn),式中, ak=E(tk)，2k=E(tk)-ak2，|B|為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即,b12 b1n B21 1 b2n Bn1 bn2 1,|B|jk為行列式|B|中元素bjk的代數(shù)余因子，bjk為歸一化協(xié)方差函數(shù)，且,2.3.2重要性質(zhì) （1） 由式(2.3 - 1)可以看出, 高斯過程的n維分布完全由n個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、 方差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)所決定。因此，對(duì)于高斯過程，只要研究它的數(shù)字特征就可以了。 （2） 如果高斯過程是廣義平穩(wěn)的，則它的均值與時(shí)間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，而與

21、時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，由性質(zhì)（1）知，它的n維分布與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)。 所以，廣義平穩(wěn)的高斯過程也是狹義平穩(wěn)的。 （3） 如果高斯過程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的， 即對(duì)所有jk有bjk=0，這時(shí)式（2.5 - 1）變?yōu)?fn(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)= (2.3 - 2) 也就是說，如果高斯過程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的， 那么它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。以后分析問題時(shí)，會(huì)經(jīng)常用到高斯過程中的一維分布。,=f(x1, t1)f(x2, t2)f(xn, tn),式中，a為高斯隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，2為方差。f(x)曲線如圖 2 - 3所示。 由式（2.3 - 3）和圖2 - 3可知f(

22、x)具有如下特性： (1) f(x)對(duì)稱于x=a這條直線。 (2) ,且有,高斯過程在任一時(shí)刻上的樣值是一個(gè)一維高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)可表示為,圖2-3 正態(tài)分布的概率,3） a表示分布中心，表示集中程度，f(x)圖形將隨著的減小而變高和變窄。當(dāng)a=0，=1時(shí)，稱f(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)。 當(dāng)我們需要求高斯隨機(jī)變量小于或等于任意取值x的概率P(x)時(shí)，還要用到正態(tài)分布函數(shù)。正態(tài)分布函數(shù)是概率密度函數(shù)的積分，即,這個(gè)積分無法用閉合形式計(jì)算，我們要設(shè)法把這個(gè)積分式和可以在數(shù)學(xué)手冊(cè)上查出積分值的特殊函數(shù)聯(lián)系起來，一般常用以下幾種特殊函數(shù)： ,（1） 誤差函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù)。 誤差函

23、數(shù)的定義式為,它是自變量的遞增函數(shù)，erf(0)=0，erf()=1，且erf(-x)=-erf(x)。我們稱1-erf(x)為互補(bǔ)誤差函數(shù)，記為erfc(x), 即,erfc(x)=1-erf(x)=,它是自變量的遞減函數(shù)，erfc(0)=1，erfc()=0，且erfc(-x)=2-erfc(x)。當(dāng)x1時(shí)（實(shí)際應(yīng)用中只要x2)即可近似有,（2） 概率積分函數(shù)和Q函數(shù)。 概率積分函數(shù)定義為 (x)= (2.3 - 10) ,這是另一個(gè)在數(shù)學(xué)手冊(cè)上有數(shù)值和曲線的特殊函數(shù)， 有()=1。 Q函數(shù)是一種經(jīng)常用于表示高斯尾部曲線下的面積的函數(shù)，其定義為 ,比較式（2.3 - 8）與式（2.3 -

24、10）和式（2.3 - 11）， 可得,現(xiàn)在讓我們把以上特殊函數(shù)與式（2.3 - 6）進(jìn)行聯(lián)系， 以表示正態(tài)分布函數(shù)F(x)。 若對(duì)式（2.3 - 6）進(jìn)行變量代換，令新積分變量t=(z-a)/， 就有dz=dt，再與式（2.3 - 10）聯(lián)系，則有 F(x)= (2.3 - 15) 若對(duì)式（2.3 - 6）進(jìn)行變量代換， 令新積分變量t=(z-a)/ ， 就有dz= dt，再利用式（2.3 - 5），則不難得到,用誤差函數(shù)或互補(bǔ)誤差函數(shù)表示F(x)的好處是，它簡明的特性有助于今后分析通信系統(tǒng)的抗噪聲性能。 ,F(X)=,2.3.3高斯白噪聲 信號(hào)在信道中傳輸時(shí)， 常會(huì)遇到這樣一類噪聲， 它的

25、功率譜密度均勻分布在整個(gè)頻率范圍內(nèi)，即 P()= (2.3 - 17) 這種噪聲被稱為白噪聲，它是一個(gè)理想的寬帶隨機(jī)過程。 式中n0為一常數(shù)，單位是瓦/赫。顯然，白噪聲的自相關(guān)函數(shù)可借助于下式求得，即,R()=,這說明，白噪聲只有在=0時(shí)才相關(guān)，而它在任意兩個(gè)時(shí)刻上的隨機(jī)變量都是互不相關(guān)的。圖 2 - 5畫出了白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)的圖形。(P25) 如果白噪聲又是高斯分布的， 我們就稱之為高斯白噪聲。 應(yīng)當(dāng)指出，所定義的這種理想化的白噪聲在實(shí)際中是不存在的。但是，如果噪聲的功率譜均勻分布的頻率范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于通信系統(tǒng)的工作頻帶，就可以把它視為白噪聲。,2.4隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng),通信的目的在

26、于傳輸信號(hào)，信號(hào)和系統(tǒng)總是聯(lián)系在一起的。通信系統(tǒng)中的信號(hào)或噪聲一般都是隨機(jī)的，因此在以后的討論中我們必然會(huì)遇到這樣的問題：隨機(jī)過程通過系統(tǒng)（或網(wǎng)絡(luò)）后，輸出過程將是什么樣的過程？ 1、平穩(wěn)過程通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的情況。 隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)的分析，完全是建立在確知信號(hào)通過線性系統(tǒng)的分析原理的基礎(chǔ)之上的。我們知道，線性系統(tǒng)的響應(yīng)vo(t)等于輸入信號(hào)vi(t)與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)的卷積，即,vo(t)=vi(t)*h(t)=,若 vo(t) Vo(), vi(t) Vi(), h(t) H()，則有 Vo()=H()Vi() (2.8 - 2) 若線性系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的，則 vo(t)=

27、,或,如果把vi(t)看作是輸入隨機(jī)過程的一個(gè)樣本，則vo(t)可看作是輸出隨機(jī)過程的一個(gè)樣本。顯然，輸入過程i(t)的每個(gè)樣本與輸出過程o(t)的相應(yīng)樣本之間都滿足式（2.8 - 2）的關(guān)系。這樣，就整個(gè)過程而言，便有,o(t)= (2.4 - 5) 假定輸入i(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程， 現(xiàn)在來分析系統(tǒng)的輸出過程o(t)的統(tǒng)計(jì)特性。我們先確定輸出過程的數(shù)學(xué)期望、 自相關(guān)函數(shù)及功率譜密度，然后討論輸出過程的概率分布問題。 1. 輸出過程o(t)的數(shù)學(xué)期望:對(duì)式（2.4 - 5）兩邊取統(tǒng)計(jì)平均，有,式中利用了平穩(wěn)性假設(shè)Ei(t-)=Ei(t)=a(常數(shù))。 又因?yàn)?求得,H(0)=,所以,Eo(t)

28、=aH(0),由此可見, 輸出過程的數(shù)學(xué)期望等于輸入過程的數(shù)學(xué)期望與直流傳遞函數(shù)H(0)的乘積，且Eo(t)與t無關(guān)。,2. 輸出過程o(t)的自相關(guān)函數(shù),Ro(t1, t1+)=Eo(t1)o(t1+) =E,根據(jù)平穩(wěn)性,Ei(t1-)i(t1+-)=Ri(+-) 有Ro(t1, t1+)= h()h()Ri(+-) dd=Ro() 可見, o(t)的自相關(guān)函數(shù)只依賴時(shí)間間隔而與時(shí)間起點(diǎn)t1無關(guān)。由以上輸出過程的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)證明，若線性系統(tǒng)的輸入過程是平穩(wěn)的，那么輸出過程也是平穩(wěn)的。 ,3. 輸出過程o(t)的功率譜密度 對(duì)上式進(jìn)行傅里葉變換, 有,令,則有,即,可見，系統(tǒng)輸出功率譜

29、密度是輸入功率譜密度Pi()與系統(tǒng)功率傳輸函數(shù)|H()|2的乘積。這是十分有用的一個(gè)重要公式。 當(dāng)我們想得到輸出過程的自相關(guān)函數(shù)Ro()時(shí)，比較簡單的方法是先計(jì)算出功率譜密度Po()，然后求其反變換，這比直接計(jì)算Ro()要簡便得多。 ,例 2 帶限白噪聲。試求功率譜密度為n0/2的白噪聲通過理想矩形的低通濾波器后的功率譜密度、自相關(guān)函數(shù)和噪聲平均功率。理想低通的傳輸特性為,H()=,K0e-jt 0 其他,解 由上式得|H()|2= ，|H。輸出功率譜密度為 Po()=|H()|2Pi()= ， |H 可見， 輸出噪聲的功率譜密度在|H內(nèi)是均勻的， 在此范圍外則為零，如圖 2 - 5（a）所示

30、，通常把這樣的噪聲稱為帶限白噪聲。其自相關(guān)函數(shù)為 ,圖2-5 帶限白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù),式中，H=2fH。由此可見，帶限白噪聲只有在=k/2fH(k=1, 2, 3, )上得到的隨機(jī)變量才不相關(guān)。它告訴我們，如果對(duì)帶限白噪聲按抽樣定理抽樣的話，則各抽樣值是互不相關(guān)的隨機(jī)變量。這是一個(gè)很重要的概念。 如圖 2 - 5（b）所示，帶限白噪聲的自相關(guān)函數(shù)Ro()在=0 處有最大值，這就是帶限白噪聲的平均功率: Ro(0)= n0fH,總可以確定輸出過程的分布。其中一個(gè)十分有用的情形是：如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。 因?yàn)閺姆e分原理來看， 上式可表示為一個(gè)和式的

31、極限，即,4. 輸出過程o(t)的概率分布 從原理上看，在已知輸入過程分布的情況下，通過下式，即,由于i(t)已假設(shè)是高斯型的，所以： 1、在任一時(shí)刻的每項(xiàng)i(t-k)h(k)k都是一個(gè)高斯隨機(jī)變量。因此，輸出過程在任一時(shí)刻得到的每一隨機(jī)變量，都是無限多個(gè)高斯隨機(jī)變量之和。由概率論得知，這個(gè)“和”的隨機(jī)變量也是高斯隨機(jī)變量。 2、這就證明，高斯過程經(jīng)過線性系統(tǒng)后其輸出過程仍為高斯過程。更一般地說，高斯過程經(jīng)線性變換后的過程仍為高斯過程。 3、但要注意，由于線性系統(tǒng)的介入，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。 ,2.5窄帶隨機(jī)過程,隨機(jī)過程通過以fc為中心頻率的窄帶系統(tǒng)的輸出，即是

32、窄帶過程。所謂窄帶系統(tǒng)，是指其通帶寬度ffc，且fc遠(yuǎn)離零頻率的系統(tǒng)。實(shí)際中，大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶型的，通過窄帶系統(tǒng)的信號(hào)或噪聲必是窄帶的，如果這時(shí)的信號(hào)或噪聲又是隨機(jī)的，則稱它們?yōu)檎瓗щS機(jī)過程。如用示波器觀察一個(gè)實(shí)現(xiàn)的波形，則如圖2 - 6(b)所示，它是一個(gè)頻率近似為fc，包絡(luò)和相位隨機(jī)緩變的正弦波。 ,圖2-6 窄帶過程的頻譜和波形示意,因此，窄帶隨機(jī)過程(t)可用下式表示: (t)=a(t) cosct+(t), a(t)0 (2.5 - 1) 等價(jià)式為 (t)=c(t)cosct-s(t)sinct (2.5 - 2) 其中c(t)=a(t)cos(t) (2.5 - 3) s(t

33、)=a(t) sin(t) (2.5 - 4) 式中, a(t)及(t)分別是(t)的隨機(jī)包絡(luò)和隨機(jī)相位， c(t)及s(t)分別稱為(t)的同相分量和正交分量， 它們也是隨機(jī)過程， 顯然它們的變化相對(duì)于載波cosct的變化要緩慢得多。, 由式（2.5 - 1）至(2.5 - 4)看出，(t)的統(tǒng)計(jì)特性可由 a(t)，(t)或c(t),s(t)的統(tǒng)計(jì)特性確定。反之，如果已知(t)的統(tǒng)計(jì)特性則可確定a(t),(t)以及c(t)，s(t)的統(tǒng)計(jì)特性。,2.5.1同相和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性 設(shè)窄帶過程(t)是平穩(wěn)高斯窄帶過程，且均值為零， 方差為2。下面將證明它的同相分量c(t)和正交分量s(t)也是

34、零均值的平穩(wěn)高斯過程，而且與(t)具有相同的方差。 1. 數(shù)學(xué)期望 對(duì)式（2.5 - 2）求數(shù)學(xué)期望: E(t)=Ec(t)cosct-Es(t)sinct (2.5 - 5) 可得:,Ec(t)=0 Es(t)=0 (2.5 - 6) 2. 自相關(guān)函數(shù) R(t, t+)=E(t)(t+) =Ec(t)cosct-s(t) sinct c(t+)cosc(t+)-s(t+)sinc(t+) =Rc(t, t+) cosct cosc(t+)-Rcs(t, t+) cosctsinc(t+) -Rsc(t, t+) sinctcosc(t+)+Rs(t, t+) sinctsinc(t+),式中

35、 Rc(t, t+)=Ec(t)c(t+) Rcs(t, t+)=Ec(t)s(t+) Rsc(t, t+)=Es(t)c(t+) Rs(t, t+)=Es(t)s(t+) 因?yàn)?t)是平穩(wěn)的， 故有 R(t, t+)=R() 這就要求式（2.5 - 7）的右邊也應(yīng)該與t無關(guān)， 而僅與時(shí)間間隔有關(guān)。 若取使sinct=0 的所有t值，則式（2.5 - 7）應(yīng)變?yōu)?R()=Rc(t, t+) cosc-Rcs(t, t+)sinc (2.5 - 8) 這時(shí)，顯然應(yīng)有 Rc(t, t+)=Rc() Rcs(t, t+)=Rcs() 所以，式（2.5 - 8）變?yōu)?R()=Rc()cosc-Rcs(

36、) sinc (2.5 - 9) 再取使cosct=0的所有t值，同理有 R()=Rs()cosc+Rsc()sinc (2.5 - 10),其中應(yīng)有 Rs(t, t+)=Rs() Rsc(t, t+)=Rsc() 由以上的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)分析可知， 如果窄帶過程(t)是平穩(wěn)的，則c(t)與s(t)也必將是平穩(wěn)的。 進(jìn)一步分析， 式（2.5 - 9）和式（2.5 - 10）應(yīng)同時(shí)成立， 故有 Rc()=Rs() (2.5 - 11) Rcs()=-Rsc() (2.5 - 12) 可見，同相分量c(t)和正交分量s(t)具有相同的自相關(guān)函數(shù)，而且根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有,Rcs()=Rs

37、c(-) 將上式代入式（2.5 - 12），可得 Rsc()=-Rsc(-) (2.5 - 13) 同理可推得 Rcs()=-Rcs(-) (2.5 - 14) 式（2.5 - 13）、（2.5 - 14）說明，c(t)、s(t)的 互相關(guān)函數(shù)Rsc()、Rcs()都是的奇函數(shù)，在=0時(shí) Rsc(0)=Rcs(0)=0 (2.5 - 15) 于是， 由式（2.5 - 9）及式（2.5 - 10）得到,Rsc(0)=Rcs(0)=0 (2.5 - 15) 于是，由式（2.5 - 9）及式（2.5 - 10）得到 R(0)=Rc(0)=Rs(0) (2.5 - 16) 即2=2c=2s (2.5

38、- 17) 這表明(t)、c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差（因?yàn)榫禐?）。 另外，因?yàn)?t)是平穩(wěn)的，所以(t)在任意時(shí)刻的取值都是服從高斯分布的隨機(jī)變量， 故在式（2.5 - 2）中有,取t=t1=0 時(shí)，(t1)=c(t1) 取t=t2=32c時(shí)，(t2)=s(t2) 所以c(t1)，s(t2)也是高斯隨機(jī)變量，從而c(t)、 s(t)也是高斯隨機(jī)過程。又根據(jù)式（2.5 - 15）可知，c(t)、 s(t)在同一時(shí)刻的取值是互不相關(guān)的隨機(jī)變量， 因而它們還是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。 上所述，我們得到一個(gè)重要結(jié)論：一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t)，它的同相分量c(t)和正交分量s(t)也

39、是平穩(wěn)高斯過程， 而且均值都為零，方差也相同。此外， 在同一時(shí)刻上得到的c和s是互不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。,2.5.2包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性 由上面的分析可知，c和s的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 f(c, s)=f(c)f(s)=,設(shè)a,的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(a, )，則利用概率論知識(shí)， 有 f(a, )=f(c, s),根據(jù)式（2.5 - 3）和式（2.5 - 4）在t時(shí)刻隨機(jī)變量之間的關(guān)系 c=acos s=asin,得到,Cos sin -asin acos,=,于是,f(a,) =af(c, s)=,注意，這里a0, 而在(0，2)內(nèi)取值。 再利用概率論中邊際分布知識(shí)將f(a,)對(duì)積分， 可求得包絡(luò)a的一維概率密度函數(shù)為,可見，a服從瑞利分布。 同理，f(a, )對(duì)a積分可求得相位的一維概率密度函數(shù)為 f()=,可見，服從均勻分布。 ,綜上所述，我們又得到一個(gè)重要結(jié)論：一個(gè)均值為零， 方差為2的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t