分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理(優(yōu)質(zhì)課)

1、,兩類,能,26種 10種,26+10=36種,或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號，總共能夠編出多少種不同的號碼？,請思考:,問題1：用一個(gè)大寫的英文字母,用一個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號,假如你從平川到蘭州，,請問你共有多少種不同的走法？,客車每天有3個(gè)班次，火車每天有2個(gè)班次，,可以坐直達(dá)客車或直達(dá)火車，,引例,平川,蘭州,分析：完成從平川到蘭州這件事有2類方案， 所以，從平川到蘭州共有3+ 2= 5種方法.,問題1:你能否發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)問題有什么共同特征？,1、都是要完成一件事,2、用任何一類方法都能直接完成這件事,3、都是采用加法運(yùn)算,完成一件事有兩類不同的方案，,分

2、類加法計(jì)數(shù)原理,在第1類方案中有m種不同的方法，,在第2類方案中有n種不同的方法，,那么完成這件事共有 N = m + n 種不同的方法。,例1.在填寫高考志愿表時(shí),一名高中畢業(yè)生了解到A,B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè),具體情況如下:,如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè),那么他共有多少種選擇呢?,變式：在填寫高考志愿表時(shí),一名高中畢業(yè)生了解到,A,B,C三所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè),具體情況如下:,如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè),那么他共有多少種選擇呢?,N=5+4+5=14(種),如果完成一件事情有3類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3

3、類方案中有m3種不同的方法，那么完成這件事情有 種不同的方法,N=m1+m2+m3,分類加法計(jì)數(shù)原理的推廣,完成一件事有 n 類不同的方案，,在第1類方案中有 m1 種不同的方法，,在第2類方案中有 m2 種不同的方法，,那么完成這件事共有 種不同的方法。, ,在第n類方案中有mn種不同的方法，,分析：完成給教室里的座位編號編號這件事 分兩 步完成：第1步：先確定一個(gè)英文字母 第2步，后確定一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字,字母數(shù)字 得到的號碼,1 2 3 4 5 6 7 8 9,A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9,樹形圖,A,分析：完成給教室里的座位編號這件事需要 兩個(gè)步驟， 第1步，確定一

4、個(gè)英文字母，有6種不同方法； 第2步，確定一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，有9種不同方法； 所以，編號共有69=54種方法.,例2、設(shè)某班有男生30名，女生24名?，F(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？,例3、長征的部分電話號碼是0943665,后面每個(gè)數(shù)字來自09這10個(gè)數(shù),問可以產(chǎn)生多少個(gè)不同的電話號碼?,變式: 若要求最后4個(gè)數(shù)字不重復(fù),則又有多少種不同的電話號碼?,0943665,分析:,分析:,分類加法計(jì)數(shù)原理：,完成一件事需要兩個(gè)步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法.那么完成這件事共有,N=mn,分步乘法計(jì)數(shù)原理：,種不同的方法.,分步乘法計(jì)數(shù)原理的

5、推廣,那么完成這件事共有 種不同的方法。,完成一件事需要n個(gè)步驟，,做第1步有m1 種不同的方法，,做第2步有m2種不同的方法，, ,做第n步有mn種不同的方法，,兩個(gè)計(jì)數(shù)原理,用來計(jì)算“完成一件事”的方法種數(shù),每類方案中的每一種方法都能_ 完成這件事,每步_才算完成這件事情 （每步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事）,類類相加,步步相乘,類類獨(dú)立,步步相依,獨(dú)立,依次完成,不重不漏,步驟完整,分類完成,分步完成,解：從書架上任取1本書，,例3 書架上的第1層放著4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放著3本不同的文藝書，第3層放著2本不同的體育書。,第1類方法是從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；,第2類

6、方法是從第2層取1本文藝書，有3種方法；,第3類方法是從第3層取1本體育書，有2種方法。,根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是：N=4+3+2=9.,（1）從書架上任取1本書，有幾種不同的取法？,有三類方法：,（2）從書架上的第1、2、3層各取1本書，有幾種不同的取法？,例3 書架上的第1層放著4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放著3本不同的文藝書，第3層放著2本不同的體育書。,（1）從書架上任取1本書，有幾種不同的取法？,解：從書架的第1，2，3層各取1本書，,第1步：從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；,第2步：從第2層取1本文藝書，有3種方法；,第3步：從第3層取1本體育書，有2種方法。,根據(jù)

7、分步計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是：N=432=24.,可以分成三個(gè)步驟完成：,解答計(jì)數(shù)問題的一般思維過程：,完成一件什么事,例4 要從甲、乙、丙、3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？,甲,乙,丙,解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個(gè)步驟完成：,第一步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法；,第二步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法。,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是：N=32=6.,思考：還有其他解答本題的方法嗎？,例4 要從甲、乙、丙、3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同

8、的掛法？,甲,乙,丙,解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個(gè)步驟完成：,第一步，從3幅畫中選出2幅，有3種選法； （“甲、乙”，“甲、丙”，“乙、丙”）,第二步，將選出的2幅畫掛好，有2中掛法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是：N=32=6.,變式 要從甲、乙、丙、丁、戊5幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？,解：從5幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個(gè)步驟完成：,第一步，從5幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有5種選法；,第二步，從剩下的4幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有4種選法。,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是：N=54=

9、20.,例5. 五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，報(bào)名方法的種數(shù)為多少？又他們爭奪這四項(xiàng)比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？,解：（1）5名學(xué)生中任一名均可報(bào)其中的任一項(xiàng)，因此每個(gè)學(xué)生都有4種報(bào)名方法，5名學(xué)生都報(bào)了項(xiàng)目才能算完成這一事件故報(bào)名方法種數(shù)為44444= 種 .,（2）每個(gè)項(xiàng)目只有一個(gè)冠軍，每一名學(xué)生都可能獲得其中的一項(xiàng)獲軍，因此每個(gè)項(xiàng)目獲冠軍的可能性有5種故有n=5= 種 .,例6.給程序模塊命名，需要用3個(gè)字符，其中首個(gè)字符要求用字母AG或UZ，后兩個(gè)要求用數(shù)字19，問最多可以給多少個(gè)程序命名？,分析：要給一個(gè)程序模塊命名，可以分三個(gè)步驟：第一步，選首字符；第二步，

10、先中間字符；第三步，選末位字符。,解：首字符共有7+613種不同的選法，,答：最多可以給1053個(gè)程序命名。,中間字符和末位字符各有9種不同的選法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，最多可以有13991053種不同的選法,例7.核糖核酸（RNA）分子是在生物細(xì)胞中發(fā)現(xiàn)的化學(xué)成分，一個(gè)RNA分子 是一個(gè)有著數(shù)百個(gè)甚至數(shù)千個(gè)位置的長鏈，長鏈中每一個(gè)位置上都由一種稱 為堿基的化學(xué)成分所占據(jù)，總共有個(gè)不同的堿基，分別用A，C，G，U表 示，在一個(gè)RNA分子中，各種堿基能夠以任意次序出現(xiàn)，所以在任意一個(gè)位 置上的堿基與其他位置上的堿基無關(guān)。假設(shè)有一類RNA分子由100個(gè)堿基組 成，那么能有多少種不同的RNA分子？,分析

11、:用100個(gè)位置表示由100個(gè)堿基組成的長鏈，每個(gè)位置都可以從A、C、G、U中任選一個(gè)來占據(jù)。,解：100個(gè)堿基組成的長鏈共有100個(gè)位置，在每個(gè)位置中，從A、C、G、U中任選一個(gè)來填入，每個(gè)位置有4種填充方法。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有,種不同的RNA分子.,例8.電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與底等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)。因此計(jì)算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的計(jì)數(shù)法，即二進(jìn)制，為了使計(jì)算機(jī)能夠識別字符，需要對字符進(jìn)行編碼，每個(gè)字符可以用一個(gè)或多個(gè)字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲的最小計(jì)量單位，每個(gè)字節(jié)由個(gè)二進(jìn)制位構(gòu)成，問 （1）一個(gè)字節(jié)（8位）最多可以

12、表示多少個(gè)不同的字符？ （2）計(jì)算機(jī)漢字國標(biāo)碼（GB碼）包含了6763個(gè)漢字，一個(gè)漢字為一個(gè)字符，要對這些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用多少個(gè)字節(jié)表示？,如00000000，10000000， 11111111.,例9.計(jì)算機(jī)編程人員在編寫好程序以后要對程序進(jìn)行測試。程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路（即程序從開始到結(jié)束的線），以便知道需要提供多少個(gè)測試數(shù)據(jù)。一般的，一個(gè)程序模塊又許多子模塊組 成，它的一個(gè)具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊。問：這個(gè)程序模塊有多少條執(zhí)行路徑？另外為了減少測試時(shí)間，程序員需要設(shè)法減少測試次數(shù)，你能幫助程序員設(shè)計(jì)一個(gè)測試方式， 以減少測試次數(shù)嗎？,分析：整個(gè)模塊的任意一條路

13、徑都分兩步完成：第1步是從開始執(zhí)行到A點(diǎn)；第2步是從A點(diǎn)執(zhí)行到結(jié)束。而第步可由子模塊1或子模塊2或子模塊3來完成；第二步可由子模塊4或子模塊5來完成。因此，分析一條指令在整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理。,再測試各個(gè)模塊之間的信息交流是否正常，需要測試的次數(shù)為：3*2=6。 如果每個(gè)子模塊都正常工作，并且各個(gè)子模塊之間的信息交流也正常，那么整個(gè)程序模塊就正常。,這樣，測試整個(gè)模塊的次數(shù)就變?yōu)?172+6=178（次）,2）在實(shí)際測試中，程序員總是把每一個(gè)子模塊看成一個(gè)黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測試整個(gè)模塊。這樣，他可以先分別單獨(dú)測試5個(gè)模塊，以考察每個(gè)子模塊的工作是否正常。總共需要的測試次數(shù)為：,18+45+28+38+43=172。,例10.隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需要擴(kuò)容。交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法，每一個(gè)汽車牌照都必須有個(gè)不重復(fù)的英文字母和個(gè)不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字，并且個(gè)字母必須合成一組出現(xiàn)，個(gè)數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)，那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照?,如圖，從甲地到乙地有2條路，從乙地到丁地有3條路；從甲地到丙地有4條路可以走，從丙地到丁地有2條路。從甲地到丁地共有多少種不同地走法？,課堂練習(xí),N1=23=