第一章行列式.ppt

1、山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院,線 性 代 數(shù),目 錄,第二章 矩陣,第三章 線性方程組,第一章 行列式,第四章 矩陣的特征值,第五章 二次型,第一章 行列式,第二節(jié) 行列式的性質(zhì),第四節(jié) Cramer法則,第一節(jié) n 階行列式的定義,第三節(jié) 行列式按行（列）展開,第一節(jié) n 階行列式的定義,一、二階與三階行列式,二階行列式的計(jì)算（對角線法）,如,主對角線,次對角線,注意 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍(lán)線上三元 素的乘積冠以負(fù)號.,說明 對角線法則只適用于二階與三階行列式.,三階行列式的計(jì)算（對角線法）,例1 (1) 計(jì)算 的值,(2) 求 的根.,=15+2-(-5)=22,=3x2+4x+18

2、-12-2x2-9x = x2-5x+6,請?jiān)O(shè)想n階行列式.,沒有對角線法則，如何定義？,二、n階行列式,1.排列與逆序 定義1.1 由1，2，n組成的有序數(shù)組，稱為一個(gè)n級排列.記作 i1i2in . 例如：123，132，213，231，312，321都是3級排列. n級排列共有n!個(gè) 定義1.2 在一個(gè)n級排列i1i2in中，如果有較大數(shù)is排在較小的數(shù)it前面，則稱is與it構(gòu)成一個(gè)逆序排列中逆序的總個(gè)數(shù)叫做這個(gè)排列的逆序數(shù).,排列i1i2in 的逆序數(shù)記為N(i1i2in).,N(314265)=,1+2+1=4,定義1.3 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列，逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列

3、. 定義1.4 把一個(gè)排列中某兩個(gè)數(shù)的位置互換，而其余的數(shù)不動，就得到另一個(gè)排列，這樣一個(gè)變換稱為一個(gè)對換. 定理1.1 一個(gè)排列中任意兩個(gè)元素對換一次，排列改變奇偶性. 定理1.2 所有n 級排列中(n 1)，奇排列與偶排列各占一半.,請?jiān)谒?級排列中，找出奇、偶排列.,如：45213是奇排列,15243,是偶排列,再考察3階行列式：,(1) 展開式中共有3！= 6項(xiàng),其中正、負(fù)項(xiàng)各占一半；,(2) 展開式中的每一項(xiàng)都是取自不同行不同列的3個(gè)元素的乘積；,(3) 每一項(xiàng)的符號是：當(dāng)行標(biāo)按自然序排好后，列標(biāo)排列的奇偶性決定該項(xiàng)的正負(fù).,= a11a22a33+a12a23a31+a13a21

4、a32 -a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32,得到規(guī)律：,2.n 階行列式的定義 叫做n階行列式其中 表示對所有 的排列求和.共有n!項(xiàng) .,注:每一項(xiàng)是n個(gè)元素的乘積，且這n個(gè)元素取自不同的行不同的列,其符號由列標(biāo)排列的逆序數(shù)所確定.,元素aii所在的斜線稱為行列式的主對角線.,n階行列式簡記為D=|aij|.,展開式的一般項(xiàng),例3 計(jì)算下列行列式,特別地, 定義一階行列式,= 0,24,重要結(jié)論 下三角形行列式,上三角形行列式的值 和對角形行列式（主對角線元素以外的元素全為零的行列式）的值也等于主對角元素的連乘積.,上三角形行列式,對角形行列式,= a11a22an

5、n,上三角形行列式與下三角形行列式統(tǒng)稱為三角形行列式.,注：,非對角形行列式.,因?yàn)閿?shù)的乘法滿足交換律，所以，n階行列式還有如下定義：,本節(jié)要求：,1.熟練掌握二階、三階行列式的定義、計(jì)算. 2.理解排列、排列的逆序數(shù)、奇排列與偶排列的定義. 3.理解n階行列式的定義，會用定義計(jì)算簡單行列式.,第二節(jié) 行列式的性質(zhì),1.行列式的性質(zhì),行列式 稱為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式.,性質(zhì)1 行列式轉(zhuǎn)置值不變，即,一般地,=,即：行列式的行與列地位相同，對于行成立的結(jié)論，對列也同樣成立.,性質(zhì)2 交換行列式的某兩行（列）元素，行列式變號.,推論 若行列式中有兩行（列）元素對應(yīng)相同，則行列式的值為零.,D1=

6、-D,2,2,性質(zhì)3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一數(shù)k，等于用k去乘此行列式.,推論1 若行列式中某行（列）的元素有公因數(shù)，則可將公因數(shù)提到行列式的外面. 推論2 行列式中若有兩行（列）對應(yīng)元素成比例，其值為零.,即,=0,D=0,性質(zhì)4,性質(zhì)5 把某一行（列）元素的k倍加到另一行（列）的對應(yīng)元素上去，行列式的值不變.,k,=,相當(dāng)重要,例1 計(jì)算行列式 的值.,0 1 1 4,0 3 4 -4,0 3 -1 0,0 0 1 -16,0 0 -4 -12,= -76,2.行列式的計(jì)算,=,=,0 1 1 4,=,0 1 1 4,0 0 1 -16,0 0 0 -76,例2 證明,提

7、示：第一列利用性質(zhì)4拆分.,=,例3 證明,證 左邊=,=0,1,注意觀察！,例4 計(jì)算n階行列式,特點(diǎn)：每一行或列的元素之和相等.,方法:將第2，3，n列都加到第1列.,(-1),本節(jié)要求：,1.熟練掌握行列式的五條性質(zhì)計(jì)算行列式的值.,在n階行列式中，把元素 所在的第i 行第j 列劃去后，余下的n-1階行列式叫做元素 的余子式，記作 . 叫做元素 的代數(shù)余子式.,一、行列式按一行(列)展開,元素a11的余子式M11=,代數(shù)余子式A11=M11,元素a12的余子式M12=,代數(shù)余子式A12=-M12,元素a13的余子式M13=,代數(shù)余子式A13=M13,第三節(jié) 行列式按行（列）展開,=a11

8、(a22a33-a23a32),-a12(a21a33-a23a31),+a13(a21a32-a22a31),=a11,- a12,+ a13,= a11M11- a12M12+a13M13,= a11A11+a12A12+a13A13,第一行元素與其代數(shù)余子 式乘積求和.,定理1.3.1 行列式D等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和.,或,即,例1,=3A11+1A21+0A31,有何想法？,選零元多的行(列),例2,顯然，按第一列展開.,1 2 3 1,若沒有太多的零元，又該如何？,=11,注：行列式的性質(zhì)+展開定理,按第一列展開,例3 計(jì)算n階行列式：,例4 計(jì)

9、算行列式：,最后一列始，每列乘x加到前一列,再按第一列展開=,例5證明,證 從第2行開始，自上而下，將下一行乘以-1加到上一行，得,從第2行開始，自上而下，將下一行乘以-1加到上一行，得,例6 計(jì)算n行列式,解 按第1行展開，得,繼續(xù)使用此公式，得,例6 證明：,Vandermonde行列式,(n2),證：(數(shù)學(xué)歸納法)當(dāng)n=2時(shí)，,結(jié)論成立,假設(shè)對n-1階范德蒙德行列式結(jié)論成立，則,n-1階,例7 計(jì)算,(-1),(-1),定理1.3.2 行列式D的任一行（列）元素與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.,或,證：構(gòu)造,i行,k行,按第k行展開：,0 =,綜合定理1.3.1與定理1

10、.3.2得：,練習(xí)：,一般應(yīng)選取零元素最多的行或列進(jìn)行展開;或者選取一行或列,利用行列式的性質(zhì),將這一行或列的元素盡可能多的化為零,然后按一行或列進(jìn)行展開;這樣以便計(jì)算.,二、行列式按k行（列）展開,定義 在n階行列式D中，任意選取k行k列（1k n）， 位于這些行列交叉點(diǎn)處的k2 個(gè)元素，按照原來的相對位置不變，構(gòu)成一個(gè)k階行列式N，稱N為D的一個(gè)k階子式.在行列式D中劃去k階子式N所在的行和列后，剩下的元素按照原來的相對位置不變，作成一個(gè)n-k階行列式M，稱M為N的余子式.,設(shè)行列式D的k階子式N所在的行標(biāo)為,列所在的列標(biāo)為,則,稱為N的代數(shù)余子式，其中M為N的余子式.,定理1.3.3（L

11、aplace展開定理） 在n階行列式D中，任意取定k行(列) (1kn-1)，則由這k行(列)元素所組成的一切k階子式,例 按第1、2行展開計(jì)算行列式,-11,本節(jié)要求：,1.理解余子式與代數(shù)余子式的概念. 2.熟練掌握按行（列）展開定理及行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式的值. 3.了解行列式按k行（列）展開.,第四節(jié) Cramer法則,含有n個(gè)未知量n個(gè)方程的線性方程組一般形式為:,其中 稱為方程組的系數(shù);,稱為常數(shù)項(xiàng).,特別地， 稱為n元齊次線性方程組 .記作,由系數(shù)構(gòu)成的行列式:,叫做方程組的系數(shù)行列式 ,引例：,(1) (2),(1) a22- (2) a12,0,同理,有唯一解,注意D1、D2

12、的構(gòu)成,定理1.4.1,當(dāng)D0時(shí)，有唯一解：,其中,此即克萊姆（Cramer）法則,0 0 0,(),=0,0 0 0,=0,推論 若齊次線性方程組的系數(shù)行列式,如果齊次線性方程組有非零解，則它的系 數(shù)行列式等于零,則它只有唯一零解,逆命題也成立.,定理1.4.2 齊次線性方程組()有唯一零解的充分必 要條件是其系數(shù)行列式,D0,例1 解線性方程組,解,=27,方程組有唯一解,=81,= -108,=-27,=27,解,=-(-226+189),=-300,所以方程組僅有零解.,例3 設(shè)方程組有非零解，問k應(yīng)取何值？,解,因?yàn)榉匠探M有非零解，,所以D=0,例4 若齊次方程組有非零解，試確定a,b,c滿足的條件.,D=0,而,(-1),所以a,b