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文檔簡介

1、,二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式,第八節(jié),一、泰勒公式的建立,三、泰勒公式的應用, 應用,用多項式近似表示函數(shù),理論分析,近似計算,泰勒 ( Taylor )公式,特點:,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分應用中已知近似公式 :,需要解決的問題,如何提高精度 ?,如何估計誤差 ?,x 的一次多項式,1. 求 n 次近似多項式,要求:,故,令,則,2. 余項估計,令,(稱為余項) ,則有,公式 稱為 的 n 階泰勒公式 .,公式 稱為n 階泰勒公式的拉格朗日余項 .,泰勒中值定理 :,階的導數(shù) ,時, 有,其中,則當,公式 稱為n 階泰勒公式的佩亞諾(Peano) 余項 .,在不需要余項的精確

2、表達式時 , 泰勒公式可寫為,注意到,特例:,(1) 當 n = 0 時, 泰勒公式變?yōu)?(2) 當 n = 1 時, 泰勒公式變?yōu)?給出拉格朗日中值定理,可見,誤差,稱為麥克勞林（ Maclaurin ）公式 .,則有,在泰勒公式中若取,則有誤差估計式,若在公式成立的區(qū)間上,由此得近似公式,二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式,其中,其中,類似可得,其中,其中,已知,其中,類似可得,三、泰勒公式的應用,1. 在近似計算中的應用,誤差,M 為,在包含 0 , x 的某區(qū)間上的上界.,需解問題的類型:,1) 已知 x 和誤差限 , 要求確定項數(shù) n ;,2) 已知項數(shù) n 和 x , 計算近似值并估計

3、誤差;,3) 已知項數(shù) n 和誤差限 , 確定公式中 x 的適用范圍.,已知,例1. 計算無理數(shù) e 的近似值 , 使誤差不超過,解:,令 x = 1 , 得,由于,欲使,由計算可知當 n = 9 時上式成立 ,因此,的麥克勞林公式為,例2. 用近似公式,計算 cos x 的近似值,使其精確到 0.005 , 試確定 x 的適用范圍.,解:,近似公式的誤差,令,解得,即當,時, 由給定的近似公式計算的結(jié)果,能準確到 0.005 .,2. 利用泰勒公式求極限,例3. 求,解:,由于,用洛必塔法則不方便 !,3. 利用泰勒公式證明不等式,例4. 證明,證:,內(nèi)容小結(jié),1. 泰勒公式,其中余項,當,時為麥克勞林公式 .,2. 常用函數(shù)的麥克勞林公式,3. 泰勒公式的應用,(1) 近似計算,求極限 , 證明不等式 等.,(2),思考與練習,計算,解:,原式,由題設對,證:,備用題 1.,有,且,下式減上式 , 得,令,兩邊同乘 n !,= 整數(shù) +,假設 e 為有理數(shù),( p , q 為正整數(shù)) ,則當 時,

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