大學(xué)物理波動方程

1、.,條件,8.4 波動方程,一、 機(jī)械波的產(chǎn)生,二、橫波和縱波,介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的振動方向與波傳播方向相互垂直的波；如柔繩上傳播的波。,介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的振動方向和波傳播方向相互平行的波；如空氣中傳播的聲波。,波源：作機(jī)械振動的物體,橫波：,縱波：,機(jī)械波:,機(jī)械振動以一定速度在彈性介質(zhì)中由近及遠(yuǎn)地傳播出去，就形成機(jī)械波。,彈性介質(zhì)：承擔(dān)傳播振動的物質(zhì),.,波的傳播方向,特點(diǎn)：具有波峰和波谷,橫波,質(zhì)點(diǎn)的振動方向,縱波,波的傳播方向,質(zhì)點(diǎn)振動方向,特點(diǎn)：具有疏密相間的區(qū)域,下面以橫波為例觀察波的形成過程,.,靜止,振動狀態(tài)傳至4,振動狀態(tài)傳至7,振動狀態(tài)傳至10,.,振動狀態(tài) 傳至13,結(jié)論,(1) 波動中各

2、質(zhì)點(diǎn)并不隨波前進(jìn)；,(2) 各個質(zhì)點(diǎn)的相位依次落后,波動是相位的傳播；,(3) 波動曲線與振動曲線不同。,波面和波線,在波傳播過程中，任一時(shí)刻媒質(zhì)中振動相位相同的點(diǎn)聯(lián)結(jié)成的面。,波面:,.,沿波的傳播方向作的有方向的線。,柱面波,在各向同性均勻介質(zhì)中，波線波面。,波線:,波前:,在某一時(shí)刻，波傳播到的最前面的波面。,注意,x,y,z,波面,波線,球面波,波面,波線,波面,波線,平面波,.,同一波線上相鄰兩個相位差為 2 的質(zhì)點(diǎn)之間的距離；即波源作一次完全振動，波前進(jìn)的距離。波長反映了波的空間周期性。,三、波長 周期 頻率和波速,波前進(jìn)一個波長距離所需的時(shí)間。周期表征了波的時(shí)間周期性。,單位時(shí)間

3、內(nèi)，波前進(jìn)距離中完整波的數(shù)目。頻率與周期的關(guān)系為,振動狀態(tài)在介質(zhì)中的傳播速度。波速與波長、周期和頻率的關(guān)系為,.,(1) 波的周期和頻率與介質(zhì)的性質(zhì)無關(guān)；一般情況下，與波源振動的周期和頻率相同 。,縱波的波速為：,(2) 波速實(shí)質(zhì)上是相位傳播的速度，故稱為相速度； 其大小主要決定于介質(zhì)的性質(zhì)，與波源及波的頻率無關(guān)。,說明,固體既可以傳播縱波也可以傳播橫波,.,液體和氣體只能傳播縱波，其波速由下式給出,固體媒質(zhì)中傳播的橫波速率由下式給出：,稀薄大氣中的縱波波速為,.,三、簡諧波的波動方程,波面為平面的簡諧波,介質(zhì)傳播的是諧振動，且波所到之處，介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)作同頻率的諧振動。,本節(jié)主要討論在無吸收（

4、即不吸收所傳播的振動能量）、各向同性、均勻無限大介質(zhì)中傳播的平面簡諧波。,平面簡諧波,平面簡諧波,說明,簡諧波是一種最簡單、最基本的波，研究簡諧波的波動規(guī)律是研究更復(fù)雜波的基礎(chǔ)。,簡諧波:,.,y,x,x,P,O,簡諧振動,從時(shí)間看, P 點(diǎn) t 時(shí)刻的位移是O 點(diǎn),簡諧振動,平面簡諧波的波函數(shù),時(shí)刻的位移;,從相位看，P 點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)振動相位較O 點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)相位落后,若,P 為任意點(diǎn),.,其它形式,由波函數(shù)可知波的傳播過程中任意兩質(zhì)點(diǎn) x1 和 x2 振動的相位差為,x2x1, 0，說明 x2 處質(zhì)點(diǎn)振動的相位總落后于x1 處質(zhì)點(diǎn)的振動；,討論,.,u 實(shí)際上是振動相位的傳播速度。,t1 時(shí)刻x1

5、 處的振動狀態(tài)經(jīng)t 時(shí)間傳播到x1+x 處，則,可得到,若波沿軸負(fù)向傳播時(shí)，同樣可得到波動方程:,其 它 形 式,.,如圖，,在下列情況下試求波動方程：,(3) 若 u 沿 x 軸負(fù)向，以上兩種情況又如何？,例,(1) 以 A 為原點(diǎn)；,(2) 以 B 為原點(diǎn)；,B,A,已知A 點(diǎn)的振動方程為：,(1)在 x 軸上任取一點(diǎn)P ，A點(diǎn) 振動方程為：,波函數(shù)為：,解,P,.,(2) B 點(diǎn)振動方程為：,(3) 以 A 為原點(diǎn)：,以 B 為原點(diǎn)：,波動方程:,.,表示在t1 時(shí)刻的波形,t 與 x 都發(fā)生變化,表示x1處質(zhì)點(diǎn)的振動方程,波動方程的物理意義,x=x1（常數(shù)）,t=t1（常數(shù)）,表示介質(zhì)

6、中任何質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的位移,.,已知t1時(shí)刻的波形圖（紫色），要確定t=t1+t時(shí)刻的波形圖，只須將其沿波的傳播方向平移ut的距離即可（紅色）,t=t1時(shí),t=t1+t時(shí),.,可以證明三維的波動方程為：,其中為質(zhì)點(diǎn)的位移,從上兩式可得波動方程：,波動方程的一般形式,.,波速 u =400m/s, t = 0 s時(shí)刻的波形如圖所示。寫出波動方程。,設(shè)波動方程為,t = 0 s時(shí)刻yo=2m，vo0，所以,O點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)的位移及速度,例,解,.,同理，對于P點(diǎn)有,t = 0 s時(shí)刻yP=0，vP0，所以,波動方程為,.,沿x軸負(fù)向傳播的平面簡諧波在t=2s時(shí)的波形曲線如圖，設(shè)波速u=0.5m/s求原點(diǎn)0的振動表達(dá)式。,t=2s,由圖知,t=0原點(diǎn)0:,例,解,.,一平面簡諧波沿x軸正方向傳播，已知其波函數(shù)為,(1) a. 比較法(與標(biāo)準(zhǔn)形式比