概率(01章).ppt

1、華南農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系,Probability and mathematical statistic,概率論與數(shù)理統(tǒng)計,第一章 隨機事件及其概率,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,第二章 隨機變量及其概率分布,第三章 二維隨機變量及其分布,第一部分 概率論（probability）,隨機事件,隨機事件的概率,隨機事件的公理化定義及其性質(zhì),條件概率和乘法公式,全概率公式與貝葉斯（Bayes）公式,試驗的獨立性與獨立試驗概型,第一章 隨機事件及其概率,1.1 隨機事件,隨機試驗 random Experiments,試驗在相同的條件下可重復(fù)進行 每次試驗的結(jié)果具有多種可能性，而且在試驗之前可 以明

2、確試驗的所有可能結(jié)果 每次試驗前不能準確預(yù)言試驗后會出現(xiàn)哪一種結(jié)果,拋一枚硬幣,觀察正面或反面向上 在一條生產(chǎn)線上，檢測在24小時內(nèi)產(chǎn)出次品的數(shù)目 向一目標射擊，直至擊中為止，記錄射擊的次數(shù),實例,在隨機試驗中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，而在大量重復(fù)試驗中具有某種規(guī)律性的事件叫做隨機事件(random Events )，簡稱事件（Events) 隨機事件通常用大寫英文字母、等表示,例如： 在拋擲一枚均勻硬幣的試驗中，“正面向上”是一 個隨機事件，可用 正面向上 表示,隨機事件 random Events,隨機試驗的每一個可能的基本結(jié)果稱為這個試驗的一個 樣本點 ，記作,全體樣本點組成的集合稱為這個

3、試驗的樣本空間，記作是試驗的所有可能結(jié)果所組成的集合.,基本事件與樣本空間,僅含一個樣本點的隨機事件稱為基本事件,樣本點 Sample Point,樣本空間 Sample Space,基本事件,=|0,寫出下列事件的樣本空間,E4: 在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命,E1: 射手向以一目標射擊，記錄射擊的次數(shù),E2: 從四張撲克牌J,Q,K,A任意抽取兩張。,E3: 拋一枚硬幣并擲一顆骰子，觀察硬幣正反面 (H,T)和骰子的點數(shù),=1,2,=(J,Q),(Q,A),=(H,1),(T,6),樣本空間,在隨機試驗中，隨機事件一般是由若干個基本事件組合而成,A =出現(xiàn)奇數(shù)點是由三個基本事件

4、“出現(xiàn)1點”、“出現(xiàn)3點” 、 “出現(xiàn)5 點” 組合而成的隨機事件,樣本空間的任一子集A稱為隨機事件,隨機事件（Random Events),例如，拋擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)，那么“出現(xiàn)1點”、“出現(xiàn)2點”、.、“出現(xiàn)6 點”為該試驗的基本事件,必然事件Certainty Events,必然事件,樣本空間也是其自身的一個子集 也是一個“隨機”事件 每次試驗中必定有中的一個樣本點出現(xiàn) 必然發(fā)生,“拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點數(shù)不大于6”,例,不可能事件Impossible Event,空集也是樣本空間的一個子集,不包含任何樣本點,不可能事件,也是一個特殊的“隨機”事件,不可能發(fā)生,“拋擲一顆骰子，出

5、現(xiàn)的點數(shù)大于6”,例,隨機試驗：拋擲硬幣,Tossing a coin,擲一枚均勻的硬幣，觀察它出現(xiàn)正面或反面的情況,試驗的樣本點和基本事件,隨機試驗,樣本空間,1 ：“正面向上(H)” 2 ：“反面向上(T)”,=H，T,擲一枚硬幣三次，觀察它出現(xiàn)正面或反面的情況,隨機事件,=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT,A=“正面出現(xiàn)兩次”,=HHT,HTH,THH,B=“反面出現(xiàn)三次”,=TTT,C=“正反次數(shù)相等”,= ,D=“正反次數(shù)不等”,=,隨機試驗：拋擲兩顆骰子,Rolling two die,拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù),隨機試驗,試驗的樣本點和基本事件,樣

6、本空間,（1，1），（1，2）,（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），.，（6，1），（6，2），.，（6，6）,隨機事件,拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù),A=“點數(shù)之和等于3”,=（1，2），（2，1）,B=“點數(shù)之和大于11”,=6，6,C=“點數(shù)之和不小于2”,D=“點數(shù)之和大于12”,= ,=,事件的關(guān)系與運算,給定一個隨機試驗，設(shè)為其樣本空間，事件，Ak ( k =1 , 2 , 3 , . ) 都是的子集,事件,事件之間的關(guān)系與事件的運算,集合,集合之間的關(guān)系與集合的運算,事件發(fā)生必然導(dǎo)致事件發(fā)生,事件的包含Contain,事件的樣本點都是事件的樣本點,例如,拋擲兩顆骰子，

7、觀察出現(xiàn)的點數(shù),A=出現(xiàn)1點,B=出現(xiàn)奇數(shù)點,事件的相等Equal,A=B,事件A與事件B至少有一個發(fā)生,事件的并(和) Union,由事件A與事件B所有樣本點組成,多個事件的和,事件的積(交) Intersection,事件和事件同時發(fā)生,多個事件的積,由事件和事件公共的樣本點組成,事件的差 Difference,事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生,由事件A的樣本點去掉事件B的樣本點組成,互不相容事件(互斥事件) Exclusive,事件A與事件B不能同時發(fā)生,事件A與事件B沒有公共的樣本點,對立事件 Contrary,事件A不發(fā)生,是由所有不屬于A的樣本點組成,性質(zhì),完備事件組,完備事件組,Venn

8、圖演示集合的關(guān)系與運算,事件之間的運算律,交換律,結(jié)合律,分配律,摩根律,（1） 三次都擊中目標：,（2） 至少有一次擊中目標：,（3） 恰好有兩次擊中目標：,（4） 最多擊中一次：,（5）至少有一次沒有擊中目標：,（6）三次都沒有擊中目標：,例：復(fù)合事件的表示,練一練,A,B,C為同一樣本空間的隨機事件， 試用A，B，C的運算表示下列事件,1） A，B，C 都不發(fā)生,2） A與B發(fā)生，C不發(fā)生,3） A，B，C 至少有一個發(fā)生,4） A，B，C 中恰有二個發(fā)生,5） A，B，C 中至少有二個發(fā)生,6） 事件3）的對立事件,作業(yè)：P24-25 1;3;6,1.2 隨機事件的概率,A=“出現(xiàn)正面

9、”,隨機試驗,拋擲一枚均勻的硬幣,試驗總次數(shù)n,將硬幣拋擲n次,隨機事件,事件A出現(xiàn)次數(shù)m,出現(xiàn)正面m次,隨機事件的頻率,隨機事件的頻率Frequency,德.摩 根,試 驗 者,拋 擲 次 數(shù)n,出現(xiàn)正面的次數(shù)m,出現(xiàn)正面的頻率m/n,2048,1061,0.518,蒲 豐,4040,2048,0.5069,皮爾遜,12000,6019,0.5016,皮爾遜,24000,12012,0.5005,維 尼,0.4998,14994,30000,拋擲硬幣的試驗 Experiment of tossing coin,歷史紀錄,程序模擬,拋擲硬幣模擬試驗,隨機事件A在相同條件下重復(fù)多次時，事件A 發(fā)

10、生的頻率在一個固定的數(shù)值p附近擺動，隨試驗次數(shù)的增加更加明顯,頻率和概率,頻率的穩(wěn)定性,事件的概率,事件A的頻率穩(wěn)定在數(shù)值p，說明了數(shù)值p可以用來刻劃事件發(fā)生可能性大小，可以規(guī)定為事件A的概率,對任意事件，在相同的條件下重復(fù)進行n次試驗，事件發(fā) 生的頻率 m/n，隨著試驗次數(shù)n的增大而穩(wěn)定地在某個常數(shù) 附近擺動那么稱p為事件的概率,概率的統(tǒng)計定義,當(dāng)試驗次數(shù)足夠大時，可以用事件A發(fā)生的頻率近似的代替事件A的概率,有限性,每次試驗中，每一種可能結(jié)果的發(fā)生的可能性相同，即,其中 , .,古典概率模型,每次試驗中，所有可能發(fā)生的結(jié)果只有有限個，即樣本空間是個有限集,=1,2,n.,等可能性,設(shè)試驗結(jié)

11、果共有n個基本事件1，2，.，n ，而且這些事件的發(fā)生具有相同的可能性,古典概型的計算公式,確定試驗的基本事件總數(shù),事件由其中的m個基本事件組成,確定事件A包含的基本事件數(shù),拋擲一顆勻質(zhì)骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù) , 求“出現(xiàn)的點數(shù)是不小于3的偶數(shù)”的概率,=“出現(xiàn)的點數(shù)是不小于3的偶數(shù)”,古典概率的計算：拋擲骰子,事件A,試驗,拋擲一顆勻質(zhì)骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù),基本事件總數(shù),=4，6, =1，2，3，4，5，6,n=6,m=2,事件A的概率,設(shè)在100 件產(chǎn)品中，有 4 件次品，其余均為正品,古典概率的計算：正品率和次品率,n 100,這批產(chǎn)品的次品率,任取3件，全是正品的概率,任取3件，剛好兩件

12、正品的概率,mA 4,古典概率的計算： 有放回抽樣和無放回抽樣,設(shè)在10 件產(chǎn)品中，有2件次品，8件正品,A=“第一次抽取正品，第二次抽取次品”,第一次抽取后，產(chǎn)品放回去,第一次抽取后，產(chǎn)品不放回去,古典概率的計算：投球入盒,把3個小球隨機地投入5個盒內(nèi)。設(shè)球與盒都是可識別的。,A=“指定的三個盒內(nèi)各有一球,B =“存在三個盒，其中各有一球,投球入盒模型,把 q 個小球隨機地投入 h （q)個盒內(nèi)。設(shè)球與盒都是可識別的。,A=“存在 q 個盒，其中各有一球,有些概率問題可以用投球入盒模型來模擬,h個盒子,q 個小球,古典概率的計算：生日問題,某班有50個學(xué)生，求他們的生日無重復(fù)的概率（設(shè)一年3

13、65天）,分析,此問題可以用投球入盒模型來模擬,50個學(xué)生,365天,50個小球,365個盒子,即生日重復(fù)的概率 0.97!,古典概率的計算：抽簽,10個學(xué)生抽簽的方式分配3張音樂會入場券，抽取10張外觀相同的紙簽，其中3張代表入場券.求 A=第五個學(xué)生抽簽的人抽到入場券的概率。,基本事件總數(shù),基本事件數(shù),第五個學(xué)生抽到入場券,另外9個學(xué)生抽取剩下9張, 0.192,古典概率的計算：數(shù)字排列,用1，2，3，4，5這五個數(shù)字排成三位數(shù),沒有相同數(shù)字的三位數(shù)的概率,沒有相同數(shù)字的三位偶數(shù)的概率,個位,百位十位,幾何概型 Geometric Probability,將古典概型中的有限性推廣到無限性，

14、而保留等可能性，就得到幾何概型。,事件A就是所投擲的點落在S中的可度量圖形A中,幾何度量-指長度、面積或體積,特點,有一個可度量的幾何圖形S,試驗E看成在S中隨機地投擲一點,一個質(zhì)地均勻的陀螺的圓周上均勻地刻有0 , 5)上諸數(shù)字，在桌面上旋轉(zhuǎn)它，求當(dāng)它停下來時，圓周與桌面接觸處的刻度位于區(qū)間 2 , 3 上的概率。,= 2 , 3,= 5- 0 = 5,= 3-2 = 1,幾何概型的計算,甲乙二人相約在6：00-6：30在預(yù)定地點會面，先到的人因等候另一人，經(jīng)過10分鐘后方可離開。求甲乙二人會面的概率，假定他們在6：00-6：30內(nèi)的任一時刻是等可能的。,30,30,10,10,幾何概型的計

15、算：兩人能會面嗎,設(shè)甲乙二人到達預(yù)定地點的時刻分別為 x 及 y, 則,二人會面,y,x,一樓房共14層，假設(shè)電梯在一樓啟動時有 10名乘客，且乘客在各層下電梯是等可能 的。試求下列事件的概率：A1=10個人在 同一層下；A2=10人在不同的樓層下； A3=10人都在第14層下；A4=10人恰有4 人在第8層下。,練一練,1，擲兩顆骰子，求事件”至少有一顆出現(xiàn) 6點“，“點數(shù)之和為8”的概率。,2， 包括甲，乙在內(nèi)的10個人隨機地排成 一行，求甲與乙相鄰的概率。若這10個人 隨機地排成一圈，又如何呢？,1.3 概率的公理 化定義及其性質(zhì),非負性：,規(guī)范性： ()=1,可列可加性：,那么，稱 為

16、事件的概率,()0,兩兩互不相容時,（1 2 ）=（1）+（2）+,概率的公理 化,證明,由公理 3 知,所以,概率的性質(zhì),不可能事件的概率為零,設(shè)A1，A2， , An兩兩互不相容，則,證明,有限可加性,若 A B，則 P (B A) = P(B) P(A),（）（）（）,差事件的概率,對任意兩個隨機事件、 ，有,加法定理,加法定理,證明,由于與其對立事件互不相容，由性質(zhì)2有,而,所以,逆事件的概率,袋中有20個球，其中15個白球，5 個黑球，從中任取3個，求至少取到一個白球的概率,設(shè)表示至少取到一個白球，i 表示剛好取 到i個白球，i0，1，2，3， 則,方法 （用互不相容事件和的概率等于

17、概率之和）,(A)(A123)(1)(2)(3),解,方法 （利用對立事件的概率關(guān)系）,例,甲、乙兩人同時向目標射擊一次，設(shè)甲擊中的概率為 0.85 ，乙擊中的概率為 0.8 兩人都擊中的概率為 0.68 求目標被擊中的概率,解,設(shè)表示甲擊中目標，表示乙擊中目標，表示目標被擊中， 則, 0.85 0.8 0.68 0.97,例,例,已知P（A）=0.3,P(B)=0.6,試在下列兩種 情形下分別求出P(A-B)與P(B-A),(1) 事件A,B互不相容,(2) 事件A,B有包含關(guān)系,解,(2) 由已知條件和性質(zhì)3,推得必定有,練一練,1.某房間住8名學(xué)生,求至少有兩名同學(xué)生日 相同的概率.,2

18、.投擲兩顆骰子,試計算兩顆骰子的點數(shù)之 和在4和10之間的概率.,練一練,1.考察甲，乙兩個城市6月逐日降雨情況。已 知甲城出現(xiàn)雨天的概率是0.3,乙城出現(xiàn)雨天的 概率是0.4, 甲乙兩城至少有一個出現(xiàn)雨天的 概率為0.52,試計算甲乙兩城同一天出現(xiàn)雨天 的概率.,2.把6個小球隨機地投入6個盒內(nèi)(球,盒可識 別),求前三個盒當(dāng)中有空盒的概率.,作業(yè)P24-25 8; 10; 12; 15;,1.4 條件概率與乘法公式,拋擲一顆骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù),A=出現(xiàn)的點數(shù)是奇數(shù)，,B=出現(xiàn)的點數(shù)不超過3，,若已知出現(xiàn)的點數(shù)不超過3，求出現(xiàn)的點數(shù)是奇數(shù)的概率,即事件 B 已發(fā)生，求事件 A 的概率（）,

19、A B 都發(fā)生，但樣本空間 縮小到只包含的樣本點,條件概率 Conditional Probability,從這100件產(chǎn)品中任取一件，設(shè) A=合格品）B=甲 車間產(chǎn)品 求 P(A),P(B),P(AB), P(A|B),條件概率 Conditional Probability,例 某廠有甲乙兩個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,P(A|B)是求在事件B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率,設(shè)，為同一個隨機試驗中的兩個隨機事件 , 且（）， 則稱,為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率,定義,條件概率 Conditional Probability,Sample space,Reduced sample space

20、 given event B,條件概率 P(A|B)的樣本空間,例 設(shè) 100 件產(chǎn)品中有 70 件一等品，25 件二等品，規(guī)定一、二等品為合格品從中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率,解,設(shè)表示取得一等品，表示取得合格品，則,（1）因為100 件產(chǎn)品中有 70 件一等品，所以,（2）方法1：,方法2：,因為95 件合格品中有 70 件一等品，所以,例 考慮恰有兩個小孩的家庭.若已知某一家有男孩，求這家有兩個男孩的概率；若已知某家第一個是男孩，求這家有兩個男孩（相當(dāng)于第二個也是男孩）的概率.（假定生男生女為等可能）,= (男, 男) , (

21、男 , 女) , (女 , 男) , (女 , 女) ,解,于是得,乘法法則,推廣,一批產(chǎn)品中有 4% 的次品，而合格品中一等品占 45% .從這批產(chǎn)品中任取一件，求該產(chǎn)品是一等品的概率,設(shè)表示取到的產(chǎn)品是一等品，表示取出的產(chǎn)品是合格品， 則,于是,所以,解,例,解,一個盒子中有只白球、只黑球，從中不放回地每次任取只，連取次，求 (1) 第一次取得白球的概率； (2) 第一、第二次都取得白球的概率； (3) 第一次取得黑球而第二次取得白球的概率,設(shè)表示第一次取得白球, 表示第二次取得白球, 則,（2）,（3）,（1）,例,練一練,全年級100名學(xué)生中，有男生（以事件A表示）80人，女生20人；

22、 來自北京的（以事件B表示）有20人，其中男生12人，女生8人；免修英語的（以事件C表示）40人中，有32名男生，8名女生。求,練一練,甲，乙，丙3人參加面試抽簽，每人的試題通過不放回抽簽的方式確定。假設(shè)被抽的10個試題簽中有4個是難題簽，按甲先，乙次，丙最后的次序抽簽。試求1）甲抽到難題簽，2）甲和乙都抽到難題簽，3）甲沒抽到難題簽而乙抽到難題簽，4）甲，乙，丙都抽到難題簽的概率。,1.5 全概率公式與貝葉斯公式,解, 0.6,一個盒子中有只白球、只黑球，從中不放回地每次任取只，連取次，求第二次取到白球的概率,例,A=第一次取到白球,全概率公式,全概率公式,設(shè)1 ，2 ，.，n 構(gòu)成一個完備

23、事件組，且(i )0，i1，2，.，n，則對任一隨機事件，有,全概率公式,例 設(shè)播種用麥種中混有一等，二等，三等，四等四個等級的種子，分別各占95.5，2，1.5，1，用一等，二等，三等，四等種子長出的穗含50顆以上麥粒的概率分別為0.5，0.15，0.1，0.05，求這批種子所結(jié)的穗含有50顆以上麥粒的概率,解,設(shè)從這批種子中任選一顆是一等，二等，三等，四等種子的事件分別是1，2，3，4，則它們構(gòu)成完備事件組，又設(shè)表示任選一顆種子所結(jié)的穗含有50粒以上麥粒這一事件，則由全概率公式：,95.50.520.151.50.110.05,0.4825,貝葉斯公式 Bayes Theorem,后驗概率

24、,設(shè)A1，A2，, An構(gòu)成完備事件組，且諸P（Ai）0) B為樣本空間的任意事件，P（ B） 0 , 則有,( k =1 , 2 , , n),證明,貝葉斯公式 Bayes Theorem,例 設(shè)某工廠有甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，已知各車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的25 %， 35%， 40%，而且各車間的次品率依次為 5% ，4%， 2%現(xiàn)從待出廠的產(chǎn)品中檢查出一個次品，試判斷它是由甲車間生產(chǎn)的概率,解,設(shè)1 ，2 ，3 分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙車間生產(chǎn)，表示產(chǎn)品為次品 顯然，1 ，2 ，3 構(gòu)成完備事件組依題意，有,(1) 25% , (2)= 35% , (3) 40%, (|1)

25、 5% , (|2)4% , (|3) 2%,(1|),甲箱中有3個白球，2個黑球，乙箱中有1個白球，3個黑球?，F(xiàn)從甲箱中任取一球放入乙箱中，再從乙箱任意取出一球。問從乙箱中取出白球的概率是多少？,解,設(shè)B=“從乙箱中取出白球”，,A1=“從甲箱中取出白球”，,A2=“從甲箱中取出黑球”。,已知在所有男子中有5%，在所有女子中有0.25%患有色盲癥。隨機抽一人發(fā)現(xiàn)患色盲癥，問其為男子的概率是多少？（設(shè)男子和女子的人數(shù)相等）。,作業(yè)P25-26 19; 22; 26; 23; 25;,1.6 事件的獨立性與獨立試驗概型,解,一個盒子中有只黑球、只白球，從中有放回地摸球。求 （1） 第一次摸到黑球

26、的條件下，第二次摸到黑球 的概率； （2） 第二次摸到黑球的概率。,例,A=第一次摸到黑球 B=第二次摸到黑球,事件的獨立性,設(shè)、為任意兩個隨機事件，如果 （）（） 即事件發(fā)生的可能性不受事件的影響，則稱事件對于事件獨立,顯然，對于獨立，則對于也獨立，故稱與相互獨立,定義,事件的獨立性 independence,事件的獨立性 判別,事件與事件獨立的充分必要條件是,證明,實際問題中可根據(jù)問題中獨立性的實際意義來判斷,如“甲擊中”與“乙擊中”可以認為相互沒有影響，即可以認為相互獨立,定理,概念辨析,事件與事件獨立,事件與事件互不相容,例,甲乙二人向同一目標射擊，甲擊中目標的概率為0.6，乙擊中目標

27、的概率為0.5。試計算 1）兩人都擊中目標的概率；2）恰有一人擊中目標的概率；3）目標被擊中的概率。,如果事件A，B，C滿足,P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C),則稱事件A，B，C相互獨立。,注意,事件A，B，C相互獨立與事件A，B，C兩兩獨立不同，兩兩獨立是指上述式子中前三個式子成立。因此，相互獨立一定兩兩獨立，但反之不一定。,有限多個事件的獨立性,定義,例,設(shè)同時拋擲兩個均勻的正四面體一次，每 一個四面體標有號碼1，2，3，4。令 A=第一個四面體出現(xiàn)偶數(shù) B=第二個四面體出現(xiàn)奇數(shù) C=兩個四面體

28、或者同時出現(xiàn)奇數(shù)，或者同時 出現(xiàn)偶數(shù),樣本空間為,對滿足相互獨立的多個事件，有,例 加工某一種零件需要經(jīng)過三道工序，設(shè)三道工序的次品率 分別為2%，1%，5% ，假設(shè)各道工序是互不影響的求加工出 來的零件的次品率,解,設(shè)1 ，2 ，3 分別表示第一、第二、第三道工序出現(xiàn)次品，則依題意：1 ,2 ,3 相互獨立，且,（1）2 % , （2）1% , （3）5%,又設(shè)表示加工出來的零件是次品, 則 A123,方法 （用對立事件的概率關(guān)系）,1(1 0.02)(1 0.01)(1 0.05), 0.0783,某工人照看三臺機床，一個小時內(nèi)1號，2號，3號機床需要照看的概率分別為0.3, 0.2, 0

29、.1。設(shè)各機床之間是否需要照看是相互獨立的，求在一小時內(nèi) 1）沒有一臺機床需要照看的概率； 2）至少有一臺不需要照看的概率； 3）至多有一臺需要照看的概率。,貝努利試驗,Bernoulli trials,相互獨立的試驗,貝努利試驗,將試驗E重復(fù)進行n次,若各次試驗的結(jié)果互不影響,則稱這n次試驗是相互獨立的.,設(shè)隨機試驗E只有兩種可能的結(jié)果:A及 ,且P(A)=p,在相同的條件下將E重復(fù)進行n次獨立試驗,則稱這一串試驗為n重貝努利試驗，簡稱貝努利試驗(Bernoulli trials).,例 一批產(chǎn)品的次品率為 5%，從中每次任取一個，檢驗后放回，再取一個， 連取 4 次求 4 次中恰有 2 次

30、取到次品的概率,設(shè) 恰好有 2 次取到次品, 取到次品，,則 取到正品,分析,n = 4 的 Bernoulli 試驗,i=第i次抽樣抽到次品,因為1，2，3，4 相互獨立，所以,四次抽樣中恰好發(fā)生兩次（有兩次取到次品）的情況有,貝努利定理,設(shè)在一次試驗中事件發(fā)生的概率為 p (0p1) ， 則在n次貝努里試驗中恰好發(fā)生 k次的概率為,( k 0，1，2，.，n ),其中,定理,例 有一批棉花種子,其出苗率為0.67,現(xiàn)每穴種4粒種子, (1) 求恰有粒出苗的概率(0k4)； (2) 求至少有兩粒出苗的概率,(1) 4 重貝努利試驗,解,(0k4),(2) 設(shè)表示至少有2粒出苗的事件,則,n

31、= 4，p = 0.67,Bernoulli定理,設(shè)某人打靶，命中率為0.7，重復(fù)射擊5次，求恰好命中3次的概率。,設(shè)某電子元件的使用壽命在1000小時以上的概率為0.2，當(dāng)三個電子元件相互獨立使用時，求在使用了1000小時的時候，最多只有一個損壞的概率。,例,一批種子的發(fā)芽率為80%，試問每穴至少播種幾粒種子，才能保證99%以上的穴不空苗。,作業(yè)P26-27 27;32,習(xí) 題 課,Buffon投針問題,設(shè)平面上畫著有相等距離 2a 的平行線，向此平面上投一枚勻稱的長為 2l ( l a ) 的針，求針與直線相交的概率。,討論,發(fā)報臺分別以概率 0.6 和 0.4發(fā)出信號“ ” 和“ ”，由

32、于通信系統(tǒng)受到干擾，當(dāng)發(fā)出信 號“ ”時，收報臺分別以概率 0.8 及 0.2 收 到信號 “ ”和“ ”，同樣，當(dāng)發(fā)報臺發(fā) 出信號“ ”時，收報臺分別以概率 0 .9 和 0.1 收到信號“ ”和“ ”求 (1) 收報臺收到信號“ ”的概率 (2） 當(dāng)收報臺收到信號“ ”時，發(fā)報臺確系 發(fā)出信號“ ”的概率,討論,愛滋病普查：使用一種血液試驗來檢測人體內(nèi)是 否攜帶愛滋病病毒.設(shè)這種試驗的假陰性比例為5% （即在攜帶病毒的人中，有5%的試驗結(jié)果為陰 性），假陽性比例為1%（即在不攜帶病毒的人中， 有1%的試驗結(jié)果為陽性）.據(jù)統(tǒng)計人群中攜帶病毒 者約占1，若某人的血液檢驗結(jié)果呈陽性，試問該 人攜

33、帶愛滋病毒的概率.,討論,練一練,求下列事件,用x, y, z 表示下列事件的概率：,練一練,1， 將線段（0，a）任意折成三折，求此三折 線段能構(gòu)成三角形的概率。,2， 在一盒子中裝有15個乒乓球，其中有9個 新球。在第一次比賽時任意取出三個球，比賽 后仍放回原盒中；在第二次比賽時同樣任意取 出三個球，求第二次取出的三個球均為新球的 概率。,練一練,甲，乙，丙3人參加面試抽簽，每人的試題通過不放回抽簽的方式確定。假設(shè)被抽的10個試題簽中有4個是難題簽，按甲先，乙次，丙最后的次序抽簽。試求1）甲抽到難題簽，2）甲和乙都抽到難題簽，3）甲沒抽到難題簽而乙抽到難題簽，4）甲，乙，丙都抽到難題簽的概

34、率。,練一練,某種動物出生之后活到20歲的概率為0.7，活到25歲的概率為0.56，求現(xiàn)年為20歲的這種動物活到25歲的概率。,2， 一列火車共有 n 節(jié)車廂，有 k（kn）個 旅客上火車并隨意地選擇車廂，求每一節(jié)車廂 內(nèi)至少有一個旅客的概率。,復(fù)習(xí)與小結(jié),知識點,事件的關(guān)系與運算,加法定理,2. 事件A，B滿足條件,摩根定律,甲、乙、丙三人向同一飛機射擊，設(shè)擊中的概率分別是0.4，0.5，0.7，如果只有一個人擊中，則收音機被擊落的概率是0.2; 如果有二人擊中，則飛機被擊落的概率是0.6; 如果三人都擊中，則飛機一定被擊落求 （1）飛機被擊落的概率 （2）當(dāng)已知飛機被擊落，問飛機是被第一人擊中 的概率。,知識點,全概率公式,條件概率,玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設(shè)各箱中含0 ，1，2只殘次品的概率分別為0.8,0.1,0.1,一顧客欲購買一箱玻璃杯，售貨員隨意取一箱，而顧客隨機地察看4只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回，求 （1）顧客買下該箱玻璃杯的概率； （2）在顧客買下的一箱中，確實沒有殘次品的概率。,知識點,全概率公式,Bayes定理