第7章 應(yīng)力狀態(tài).ppt

1、第7章 應(yīng)力狀態(tài)及應(yīng)變狀態(tài)分析,材 料 力 學(xué),姓名：魯曉俊 單位：武昌理工學(xué)院,第7章 應(yīng)力狀態(tài)及應(yīng)變狀態(tài)分析,7.1 概述 7.2 二向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力分析解析法 7.3 二向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力分析解析法 7.4 梁的應(yīng)力狀態(tài)分析及應(yīng)力軌跡線 7.5 三向應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力分析簡(jiǎn)介 7.6 應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系,7.1 概述,一、工程實(shí)例,微體A,三、受力構(gòu)件內(nèi)應(yīng)力特征：,（1）構(gòu)件不同截面上的應(yīng)力狀況一般是不同的； （2）構(gòu)件同一截面上不同點(diǎn)處的應(yīng)力狀況一般是不同的； （3）構(gòu)件同一點(diǎn)處，在不同方位截面上應(yīng)力狀況一般是不同的。,二、一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài): 受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處不同方位的截面上應(yīng)力的集合,

2、稱為一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。,四、單元體法,圍繞該點(diǎn)取出一個(gè)一個(gè)微小的六面體單元體。單元體三個(gè)方向的邊長(zhǎng)很小且趨于零，則該單元體代表一點(diǎn)，即a點(diǎn)，互相平行的平面上的正應(yīng)力相等，剪應(yīng)力也相等。,z,（2）平面應(yīng)力狀態(tài)：,（3）空間應(yīng)力狀態(tài) ：,（4）純剪切應(yīng)力狀態(tài)：,五、應(yīng)力狀態(tài)分類,（1）單向應(yīng)力狀態(tài)：,三個(gè)主應(yīng)力中若有兩個(gè)等于零一個(gè)一等于零,三個(gè)主應(yīng)力中有一個(gè)等于零，兩個(gè)不等于零,三個(gè)主應(yīng)力均不等于零,問題：建立 sa , ta 與 sx , tx , sy , ty 間的關(guān)系,問題,符號(hào)規(guī)定：, 方位角 a 以 x 軸為始邊、 者為正, 切應(yīng)力 t 以企圖使微體沿 旋轉(zhuǎn)者為正,方位用 a 表示；

3、應(yīng)力為 sa , ta,斜截面：/ z 軸；,7.2 二向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力分析(解析法),7.2.1 a 斜截面上的應(yīng)力,斜截面應(yīng)力公式,由于tx 與 ty 數(shù)值相等,并利用三角函數(shù)的變換關(guān)系,得,上述關(guān)系建立在靜力學(xué)基礎(chǔ)上，故所得結(jié)論既適用于各向同性與線彈性情況，也適用于各向異性、非線彈性與非彈性問題,例 計(jì)算截面 m-m 上的應(yīng)力,解：,主應(yīng)力: 主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力,主平面: 一點(diǎn)處剪應(yīng)力等于零的平面稱為主平面,說明: 一點(diǎn)處必定存在這樣的一個(gè)單元體, 三個(gè)相互垂直 的面均為主平面, 三個(gè)互相垂直的主應(yīng)力分別記為 1 ,2 , 3 且規(guī)定按代數(shù)值大小的順序來排列, 即1 2 3,7

4、.2.2 主應(yīng)力smax、smin及作用平面方向,確定正應(yīng)力極值,設(shè)aa0 時(shí)，上式值為零，即,即aa0 時(shí)，切應(yīng)力為零,由上式可以確定出兩個(gè)相互垂直的平面，分別為最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力所在平面。,所以，最大和最小正應(yīng)力分別為：,主應(yīng)力按代數(shù)值排序：1 2 3,說明在與同一主平面垂直的所有截面中，任意二互相垂直的截面上的正應(yīng)力之和為常數(shù)。,確定主應(yīng)力方向的具體規(guī)則如下：,試求（1） 斜面上的應(yīng)力； （2）主應(yīng)力、主平面； （3）繪出主應(yīng)力單元體。,例題1：一點(diǎn)處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。,已知,解：,（1） 斜面上的應(yīng)力,（2）主應(yīng)力、主平面,主平面的方位：,代入 表達(dá)式可知,主應(yīng)力 方向：,主

5、應(yīng)力 方向：,（3）主單元體：,，,將最大剪應(yīng)力及最小剪應(yīng)力稱為主剪應(yīng)力。,比較,可知,代入,可得,比較,可知,當(dāng)單元體的三個(gè)主應(yīng)力按代數(shù)值排列是1 2 3時(shí)，最大、最小剪應(yīng)力的計(jì)算公式應(yīng)為,單元體上最大、最小剪應(yīng)力的數(shù)值等于最大主應(yīng)力與最小主應(yīng)力之差的一半。,7.2.4 二向應(yīng)力狀態(tài)的兩個(gè)特例,（1）單向應(yīng)力狀態(tài),（2）純剪應(yīng)力狀態(tài),應(yīng)力圓,應(yīng)力圓原理,圓心位于s 軸,7.3 二向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力分析圖解法,應(yīng)力圓的繪制,滿足上述二條件確為所求應(yīng)力圓,根據(jù)：,問題：已知sx , tx , sy , 畫相應(yīng)應(yīng)力圓,圖解法求斜截面應(yīng)力,同理可證：,點(diǎn)、面對(duì)應(yīng)關(guān)系, 轉(zhuǎn)向相同，轉(zhuǎn)角加倍 互垂截面，

6、對(duì)應(yīng)同一直徑兩端,例 利用應(yīng)力圓求截面 m-m 上的應(yīng)力,2. 由應(yīng)力圓求,A點(diǎn)對(duì)應(yīng)截面 x, B點(diǎn)對(duì)應(yīng)截面 y,由A點(diǎn)（截面 x ）順時(shí)針轉(zhuǎn)60。至D點(diǎn)（截面 y ）,極值應(yīng)力數(shù)值,極值應(yīng)力方位, 最大正應(yīng)力方位：, smax與smin所在截面正交, s 極值與t 極值所在截面, 成 夾角,主平面切應(yīng)力為零的截面,主應(yīng)力主平面上的正應(yīng)力,主應(yīng)力符號(hào)與規(guī)定,相鄰主平面相互垂直，構(gòu)成一正六面形微體 主平面微體,（按代數(shù)值）,主平面與主應(yīng)力,應(yīng)力狀態(tài)分類, 單向應(yīng)力狀態(tài)：僅一個(gè)主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài), 二向應(yīng)力狀態(tài)：兩個(gè)主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài), 三向應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力均不為零的應(yīng)力狀態(tài),二向與三

7、向應(yīng)力狀態(tài)，統(tǒng)稱復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài),純剪切狀態(tài)的最大應(yīng)力,主平面微體位于 方位,圓軸扭轉(zhuǎn)破壞分析,滑移與剪斷發(fā)生在tmax的作用面,斷裂發(fā)生在smax 作用面,解：1. 解析法,例 用解析法與圖解法，確定主應(yīng)力的大小與方位,2. 圖解法,主應(yīng)力的大小與方位 ？,下圖 表示一受任意橫向力作用的矩形截面梁, 在橫截面 mm上, 分別圍繞 1、 2、 3、 4,、5 五點(diǎn)各取出一單元體。 假設(shè)該橫截面上的剪力和彎矩都是正值。,7.4 梁的應(yīng)力狀態(tài)分析及主應(yīng)力軌跡線,2,3,x,3,x,4,4,5,將相應(yīng)的x , x 和 y=0 , y = -x 代入主應(yīng)力的計(jì)算公式得梁內(nèi)任一點(diǎn)的主應(yīng)力計(jì)算公式,一、梁的主

8、應(yīng)力計(jì)算公式,可見,梁內(nèi)任一點(diǎn)處的兩個(gè)主應(yīng)力必然一個(gè)為拉應(yīng)力, 一個(gè)為壓應(yīng)力,兩者的方向互相垂直。,在梁的 xy 平面內(nèi)可以繪制兩組正交的曲線。一組 曲線上每一點(diǎn)處切線的方向是該點(diǎn)處主應(yīng)力 1 的方向， 而另一組曲線上每一點(diǎn)處切線的方向是該點(diǎn)處主應(yīng)力 3 的方向,這樣的曲線稱為梁的主應(yīng)力跡線 。,二、主應(yīng)力跡線的概念,(2) 從1-1上任一點(diǎn) a 開始,求出該點(diǎn) 處主應(yīng)力 1 的方向,將這一方向線延長(zhǎng) 至 2-2 截面線, 相交于 b 點(diǎn) , 再求出 b 點(diǎn)處主應(yīng)力 1 的方向, 延長(zhǎng)至 c點(diǎn)。,(1) 按一定的比例畫出梁在xy平面的 平面圖,畫出代表一些橫截面位置的等間 距直線 1-1, 2

9、-2 等等,三、主應(yīng)力跡線的繪制 (跡線),(4) 按同樣的方法可繪得主應(yīng)力 3 跡線,(3) 依此類推, 就可以畫出一條折線, 作一條與此折線相切的曲線, 這一曲線 就是主應(yīng)力 1 的跡線,上圖繪出的是受均布線荷載作用的簡(jiǎn)支梁的兩組主應(yīng)力跡線實(shí)線表示主應(yīng)力1的跡線, 虛線表示主應(yīng)力3的跡線, 所有的跡線與梁軸線(代表梁的中性層位置)間的夾角都是45, 在梁的橫截面上=0的各點(diǎn)處, 跡線的切線則與梁的軸線平行或正交。,與任一截面相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，或位于應(yīng)力圓上，或位于由應(yīng)力圓所構(gòu)成的陰影區(qū)域內(nèi),7.5 三向應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力分析簡(jiǎn)介,最大切應(yīng)力位于與 s1 及 s3 均成45的截面上,最大應(yīng)力,例 已知

10、 sx = 80 MPa，tx = 35 MPa，sy = 20 MPa，sz =40 MPa， 求主應(yīng)力、最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力,解：,畫三向應(yīng)力圓,sz,sz,7.6.1單向應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系,橫向線應(yīng)變 與縱向線應(yīng)變 成正比，比值為泊松比v，而符號(hào)相反。,E 為材料的彈性模量，單位為N/m2.,7.6 應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系,7.6.2 純剪切應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系,或,G 為剪切彈性模量，單位為N/m2.,（1）符號(hào)規(guī)定,x y z x y y z z x,x y z x y y z z x,1、各向同性材料的廣義胡克定律,(a)三個(gè)正應(yīng)力分量：拉應(yīng)力為正 壓應(yīng)力為負(fù)。,7.6

11、.3 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系,(b)三個(gè)剪應(yīng)力分量: 若正面(外法線與坐標(biāo)軸 正向一致的平面)上剪應(yīng)力矢 的指向與坐標(biāo)軸正向一致, 或 負(fù)面(外法線與坐標(biāo)軸負(fù)向一 致的平面)上剪應(yīng)力矢的指向 與坐標(biāo)軸負(fù)向一致，則該剪 應(yīng)力為正, 反之為負(fù)。,圖中表示的均為正方向,線應(yīng)變: 以伸長(zhǎng)為正, 縮短為負(fù)。 剪應(yīng)變: 使直角減小者為正, 增大者為負(fù)。, xOy yOz zox 。,在x y z 分別單獨(dú)存在時(shí), x 方向的線應(yīng)變 x 依次為:,2、各向同性材料的廣義胡克定律,(1)線應(yīng)變的推導(dǎo),在x y z同時(shí)存在時(shí), x方向的線應(yīng)變x為,在x y z同時(shí)存在時(shí), y,z方向的線應(yīng)變?yōu)?剪應(yīng)變

12、xy , yz ,zx與剪應(yīng)力xy ,yz ,zx之間的關(guān)系為,3、 特例 （1）平面應(yīng)力狀態(tài)下(假設(shè) Z = 0 ),（2） 廣義胡克定律用主應(yīng)力和主應(yīng)變表示時(shí) 三向應(yīng)力狀態(tài)下：,(7-7-6),平面應(yīng)力狀態(tài)下 設(shè) 3 = 0, 則,材料的三個(gè)彈性常數(shù)E, G, 間存在如下關(guān)系:,7.6.4 體積應(yīng)變,（2）各向同性材料在空間應(yīng)力狀態(tài)下的 體積應(yīng)變,（1）概念:構(gòu)件每單位體積的體積變化, 稱為體積應(yīng)變 用表示。,設(shè)單元體的三對(duì)平面為主平面, 其 三個(gè)邊長(zhǎng)為d x, d y, d z 變形后的邊 長(zhǎng)分別為 d x(1+ , d y(1+2 , d z(1+3 , 因此變形后單元體的體 積為:,體積應(yīng)變?yōu)?將廣義胡克定律,代入得,在最一般的空間應(yīng)力狀態(tài)下，材料的體積應(yīng)變只與三個(gè)線應(yīng)變x ，y， z有關(guān)。仿照上述推導(dǎo)有,在平面純剪切應(yīng)力狀態(tài)下：,代入得,