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文檔簡介
1、四點(diǎn)共圓問題 四點(diǎn)共圓是平面幾何證題中一個(gè)十分有利的工具,四點(diǎn)共圓這類問題一般有以下兩種形式:(1) 證明某四點(diǎn)共圓或者以四點(diǎn)共圓為基礎(chǔ)證明若干點(diǎn)共圓;(2) 通過某四點(diǎn)共圓得到一些重要結(jié)論,進(jìn)而解決問題下面給出與四點(diǎn)共圓有關(guān)的一些基本知識(shí)(1) 若干個(gè)點(diǎn)與某定點(diǎn)的距離相等,則這些點(diǎn)在一個(gè)圓上;(2) 在若干個(gè)點(diǎn)中有兩點(diǎn),其他點(diǎn)對這兩點(diǎn)所成線段的視角均為直角,則這些點(diǎn)共圓;(3) 若四點(diǎn)連成的四邊形對角互補(bǔ)或有一外角等于它的內(nèi)對角,則這四點(diǎn)共圓;(4) 若點(diǎn)在線段的同側(cè),且,則四點(diǎn)共圓;(5) 若線段交于點(diǎn),且,則四點(diǎn)共圓;(6) 若相交線段上各有一點(diǎn),且,則四點(diǎn)共圓。 四點(diǎn)共圓問題不但是平面
2、幾何中的重要問題,而且是直線形和圓之間度量關(guān)系或者位置關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的媒介。例1、已知是圓內(nèi)接四邊形,過點(diǎn)作的垂線,垂足分別為點(diǎn)求證:平分例2、給定銳角,以為直徑的圓與邊上的高線及其延長線交于點(diǎn),以為直徑的圓與上的高線及其延長線交于點(diǎn)。證明:四點(diǎn)共圓。例3、在等腰中,為底邊上任意一點(diǎn),過點(diǎn)做兩腰的平行線分別與交于點(diǎn),又點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)。求證:點(diǎn)在的外接圓上。分析: G例4、是圓內(nèi)接四邊形,是圓的直徑,與的交點(diǎn)為,點(diǎn)在的延長線上,連結(jié),點(diǎn)在的延長線上,使得,點(diǎn)在的延長線上,. 證明:四點(diǎn)共圓。例5、在的邊上分別取點(diǎn),使得。求證:例6、在梯形中,且,求的長例7、在銳角中,是高,是上一點(diǎn),聯(lián)結(jié)并
3、延長交于點(diǎn),聯(lián)結(jié)并延長交于,已知四點(diǎn)共圓,問:點(diǎn)是否一定是的垂心?證明你的結(jié)論例8、已知的重心關(guān)于邊的對稱點(diǎn)是,證明:四點(diǎn)共圓的充要條件是例9、若過一點(diǎn)的三個(gè)圓的三個(gè)不同的交點(diǎn)共線,則三個(gè)圓的圓心和它們的公共點(diǎn)共圓。 例10、已知凸五邊形中,且滿足,求證:五點(diǎn)共圓例11、已知和相交于,延長交于,延長交于,試證:是的內(nèi)心課后思考題:1、設(shè)是等腰底邊的中點(diǎn),過兩點(diǎn)(但不過點(diǎn))任作一圓交直線于,聯(lián)結(jié),交此圓于點(diǎn),求證:2、為的直徑,點(diǎn)在上且,為上一點(diǎn),位于點(diǎn)之間,直線與的延長線交于點(diǎn),過作直線與垂直,交直線于點(diǎn),求證:AHPCEQBD3、如圖,在中,與交于點(diǎn),為邊的中點(diǎn),過點(diǎn)作,垂足為,求證:4、凸
4、四邊形的內(nèi)切圓,切邊的切點(diǎn)分別為,聯(lián)結(jié),點(diǎn)分別為的中點(diǎn),求證:四邊形為矩形的充分必要條件是四點(diǎn)共圓5、如圖,在銳角ABC中,ABAC,AD是邊BC上的高,P是線段AD內(nèi)一點(diǎn)。過P作PEAC,垂足為E,做PFAB,垂足為F。O1、O2分別是BDF、CDE的外心。求證:O1、O2、E、F四點(diǎn)共圓的充要條件為P是ABC的垂心。(2007全國高中聯(lián)賽)四點(diǎn)共圓問題 四點(diǎn)共圓是平面幾何證題中一個(gè)十分有利的工具,四點(diǎn)共圓這類問題一般有以下兩種形式:(3) 證明某四點(diǎn)共圓或者以四點(diǎn)共圓為基礎(chǔ)證明若干點(diǎn)共圓;(4) 通過某四點(diǎn)共圓得到一些重要結(jié)論,進(jìn)而解決問題下面給出與四點(diǎn)共圓有關(guān)的一些基本知識(shí)(7) 若干個(gè)
5、點(diǎn)與某定點(diǎn)的距離相等,則這些點(diǎn)在一個(gè)圓上;(8) 在若干個(gè)點(diǎn)中有兩點(diǎn),其他點(diǎn)對這兩點(diǎn)所成線段的視角均為直角,則這些點(diǎn)共圓;(9) 若四點(diǎn)連成的四邊形對角互補(bǔ)或有一外角等于它的內(nèi)對角,則這四點(diǎn)共圓;(10) 若點(diǎn)在線段的同側(cè),且,則四點(diǎn)共圓;(11) 若線段交于點(diǎn),且,則四點(diǎn)共圓;(12) 若相交線段上各有一點(diǎn),且,則四點(diǎn)共圓。 四點(diǎn)共圓問題不但是平面幾何中的重要問題,而且是直線形和圓之間度量關(guān)系或者位置關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的媒介。例1、已知是圓內(nèi)接四邊形,過點(diǎn)作的垂線,垂足分別為點(diǎn)求證:平分證法一:利用四點(diǎn)共圓從而得出然后得出進(jìn)而證明證法二:利用四點(diǎn)共圓得出四點(diǎn)共圓進(jìn)而有四邊形為矩形例2、給定銳角,以
6、為直徑的圓與邊上的高線及其延長線交于點(diǎn),以為直徑的圓與上的高線及其延長線交于點(diǎn)。證明:四點(diǎn)共圓。證法一:設(shè)交于點(diǎn)則,又易知四點(diǎn)共圓則故四點(diǎn)共圓。證法二:利用射影定理有,;又易知四點(diǎn)共圓則,又,故,故四點(diǎn)共圓證法三:,;而;以下同證法二例3、在等腰中,為底邊上任意一點(diǎn),過點(diǎn)做兩腰的平行線分別與交于點(diǎn),又點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)。求證:點(diǎn)在的外接圓上。分析:此題即證明四點(diǎn)共圓,于是只需證明。證法一:先證、;由此 ;從而點(diǎn)在的外接圓上。G例4、是圓內(nèi)接四邊形,是圓的直徑,與的交點(diǎn)為,點(diǎn)在的延長線上,連結(jié),點(diǎn)在的延長線上,使得,點(diǎn)在的延長線上,.證明:四點(diǎn)共圓。提示:由及得,又;故故于是四點(diǎn)共圓例5、在
7、的邊上分別取點(diǎn),使得。求證:提示:四點(diǎn)共圓;再又得;于是說明:和是對線段的兩個(gè)視角,當(dāng)點(diǎn)在的兩側(cè)時(shí)四點(diǎn)共圓;當(dāng)點(diǎn)在的同側(cè)時(shí),常常做對稱點(diǎn),然后便有四點(diǎn)共圓了,這會(huì)給解題帶來極大的方便例6、在梯形中,且,求的長提示:設(shè); ;由四點(diǎn)共圓得;設(shè);則;又;故;因此;故;又由角平分線性質(zhì);故可解得例7、在銳角中,是高,是上一點(diǎn),聯(lián)結(jié)并延長交于點(diǎn),聯(lián)結(jié)并延長交于,已知四點(diǎn)共圓,問:點(diǎn)是否一定是的垂心?證明你的結(jié)論提示:一定是的垂心;在延長線上取一點(diǎn)使得,再證明重合例8、已知的重心關(guān)于邊的對稱點(diǎn)是,證明:四點(diǎn)共圓的充要條件是提示:四點(diǎn)共圓則四點(diǎn)共圓,在上取一點(diǎn)使得四點(diǎn)共圓,再證明四點(diǎn)共圓然后便得出,反之,在
8、延長線上取一點(diǎn)使得,然后證明四點(diǎn)共圓即可例9、若過一點(diǎn)的三個(gè)圓的三個(gè)不同的交點(diǎn)共線,則三個(gè)圓的圓心和它們的公共點(diǎn)共圓。提示:如圖, 故四點(diǎn)共圓例10、已知凸五邊形中,且滿足,求證:五點(diǎn)共圓提示:如圖, 于是四點(diǎn)共圓;故于是四點(diǎn)共圓;于是五點(diǎn)共圓例11、已知和相交于,延長交于,延長交于,試證:是的內(nèi)心提示:如圖,故,四點(diǎn)共圓,同理,故五點(diǎn)共圓,于是于是是的內(nèi)心1、設(shè)是等腰底邊的中點(diǎn),過兩點(diǎn)(但不過點(diǎn))任作一圓交直線于,聯(lián)結(jié),交此圓于點(diǎn),求證:2、為的直徑,點(diǎn)在上且,為上一點(diǎn),位于點(diǎn)之間,直線與的延長線交于點(diǎn),過作直線與垂直,交直線于點(diǎn),求證:AHPCEQBD3、如圖,在中,與交于點(diǎn),為邊的中點(diǎn),
9、過點(diǎn)作,垂足為,求證:提示:連結(jié),易知注意到所以從而,易知四點(diǎn)共圓,所以,從而又,所以,故4、凸四邊形的內(nèi)切圓,切邊的切點(diǎn)分別為,聯(lián)結(jié),點(diǎn)分別為的中點(diǎn),求證:四邊形為矩形的充分必要條件是四點(diǎn)共圓提示:如圖,易知點(diǎn)在上,且,又由射影定理得,其中為內(nèi)切圓半徑,同理,于是,所以四點(diǎn)共圓,所以,類似的,將這四個(gè)式子相加得,所以四點(diǎn)共圓的充要條件是四點(diǎn)共圓,而熟知一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)圍成的四邊形是平行四邊形,平行四邊形為矩形的充要條件是該四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓,由此四邊形為矩形的充分必要條件是四點(diǎn)共圓5、如圖,在銳角ABC中,ABAC,AD是邊BC上的高,P是線段AD內(nèi)一點(diǎn)。過P作PEAC,垂足為E,做PF
10、AB,垂足為F。O1、O2分別是BDF、CDE的外心。求證:O1、O2、E、F四點(diǎn)共圓的充要條件為P是ABC的垂心。(2007全國高中聯(lián)賽)證明:連結(jié)BP、CP、O1O2、EO2、EF、FO1。因?yàn)镻DBC,PFAB,故B、D、P、F四點(diǎn)共圓,且BP為該圓的直徑。又因?yàn)镺1是BDF的外心,故O1在BP上且是BP的中點(diǎn)。同理可證C、D、P、E四點(diǎn)共圓,且O2是的CP中點(diǎn)。綜合以上知O1O2BC,所以PO2O1=PCB。因?yàn)锳FAB=APAD=AEAC,所以B、C、E、F四點(diǎn)共圓。充分性:設(shè)P是ABC的垂心,由于PEAC,PFAB,所以B、O1、P、E四點(diǎn)共線,C、O2、P、F四點(diǎn)共線,F(xiàn)O2O1=FCB=FEB=FEO1,故O1、O2、E、F四點(diǎn)共圓。必要性:設(shè)O1、O2、E、F四點(diǎn)共圓,故O1O2E+EFO1=180。由于PO2O1=PCB=ACBACP,又因?yàn)镺2是直角CEP的斜邊中點(diǎn),也就是CEP的外心,所以PO2E=2ACP。因?yàn)镺1是直角BFP的斜邊中點(diǎn),也就是BFP的外心,從而PFO1=90BFO1=90ABP。因?yàn)锽、C、E、F四點(diǎn)共圓,所以AFE=ACB,PFE=90ACB。于是,由O1O2E+EFO1=180得(ACBACP)+2ACP+(90ABP)+(90ACB)=180,即ABP=ACP。又因?yàn)锳BAC,AD
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