四點(diǎn)共圓問題 (數(shù)學(xué)競(jìng)賽)

1、四點(diǎn)共圓問題 四點(diǎn)共圓是平面幾何證題中一個(gè)十分有利的工具，四點(diǎn)共圓這類問題一般有以下兩種形式：（1） 證明某四點(diǎn)共圓或者以四點(diǎn)共圓為基礎(chǔ)證明若干點(diǎn)共圓；（2） 通過某四點(diǎn)共圓得到一些重要結(jié)論，進(jìn)而解決問題下面給出與四點(diǎn)共圓有關(guān)的一些基本知識(shí)（1） 若干個(gè)點(diǎn)與某定點(diǎn)的距離相等，則這些點(diǎn)在一個(gè)圓上；（2） 在若干個(gè)點(diǎn)中有兩點(diǎn)，其他點(diǎn)對(duì)這兩點(diǎn)所成線段的視角均為直角，則這些點(diǎn)共圓；（3） 若四點(diǎn)連成的四邊形對(duì)角互補(bǔ)或有一外角等于它的內(nèi)對(duì)角，則這四點(diǎn)共圓；（4） 若點(diǎn)在線段的同側(cè)，且，則四點(diǎn)共圓；（5） 若線段交于點(diǎn)，且，則四點(diǎn)共圓；（6） 若相交線段上各有一點(diǎn)，且，則四點(diǎn)共圓。 四點(diǎn)共圓問題不但是平面

2、幾何中的重要問題，而且是直線形和圓之間度量關(guān)系或者位置關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的媒介。例1、已知是圓內(nèi)接四邊形，過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為點(diǎn)求證：平分例2、給定銳角，以為直徑的圓與邊上的高線及其延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，以為直徑的圓與上的高線及其延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。證明：四點(diǎn)共圓。例3、在等腰中，為底邊上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)做兩腰的平行線分別與交于點(diǎn)，又點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)。求證：點(diǎn)在的外接圓上。分析： G例4、是圓內(nèi)接四邊形，是圓的直徑，與的交點(diǎn)為，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連結(jié)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，使得，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，. 證明：四點(diǎn)共圓。例5、在的邊上分別取點(diǎn)，使得。求證：例6、在梯形中，且，求的長(zhǎng)例7、在銳角中,是高，是上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并

3、延長(zhǎng)交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交于，已知四點(diǎn)共圓，問：點(diǎn)是否一定是的垂心？證明你的結(jié)論例8、已知的重心關(guān)于邊的對(duì)稱點(diǎn)是，證明：四點(diǎn)共圓的充要條件是例9、若過一點(diǎn)的三個(gè)圓的三個(gè)不同的交點(diǎn)共線，則三個(gè)圓的圓心和它們的公共點(diǎn)共圓。 例10、已知凸五邊形中，且滿足，求證：五點(diǎn)共圓例11、已知和相交于，延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于，試證：是的內(nèi)心課后思考題：1、設(shè)是等腰底邊的中點(diǎn)，過兩點(diǎn)（但不過點(diǎn)）任作一圓交直線于，聯(lián)結(jié)，交此圓于點(diǎn)，求證：2、為的直徑，點(diǎn)在上且，為上一點(diǎn)，位于點(diǎn)之間，直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，過作直線與垂直，交直線于點(diǎn)，求證：AHPCEQBD3、如圖，在中，與交于點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，求證：4、凸

4、四邊形的內(nèi)切圓，切邊的切點(diǎn)分別為，聯(lián)結(jié)，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，求證：四邊形為矩形的充分必要條件是四點(diǎn)共圓5、如圖，在銳角ABC中，ABAC，AD是邊BC上的高，P是線段AD內(nèi)一點(diǎn)。過P作PEAC，垂足為E，做PFAB，垂足為F。O1、O2分別是BDF、CDE的外心。求證：O1、O2、E、F四點(diǎn)共圓的充要條件為P是ABC的垂心。（2007全國(guó)高中聯(lián)賽）四點(diǎn)共圓問題 四點(diǎn)共圓是平面幾何證題中一個(gè)十分有利的工具，四點(diǎn)共圓這類問題一般有以下兩種形式：（3） 證明某四點(diǎn)共圓或者以四點(diǎn)共圓為基礎(chǔ)證明若干點(diǎn)共圓；（4） 通過某四點(diǎn)共圓得到一些重要結(jié)論，進(jìn)而解決問題下面給出與四點(diǎn)共圓有關(guān)的一些基本知識(shí)（7） 若干個(gè)

5、點(diǎn)與某定點(diǎn)的距離相等，則這些點(diǎn)在一個(gè)圓上；（8） 在若干個(gè)點(diǎn)中有兩點(diǎn)，其他點(diǎn)對(duì)這兩點(diǎn)所成線段的視角均為直角，則這些點(diǎn)共圓；（9） 若四點(diǎn)連成的四邊形對(duì)角互補(bǔ)或有一外角等于它的內(nèi)對(duì)角，則這四點(diǎn)共圓；（10） 若點(diǎn)在線段的同側(cè)，且，則四點(diǎn)共圓；（11） 若線段交于點(diǎn)，且，則四點(diǎn)共圓；（12） 若相交線段上各有一點(diǎn)，且，則四點(diǎn)共圓。 四點(diǎn)共圓問題不但是平面幾何中的重要問題，而且是直線形和圓之間度量關(guān)系或者位置關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的媒介。例1、已知是圓內(nèi)接四邊形，過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為點(diǎn)求證：平分證法一：利用四點(diǎn)共圓從而得出然后得出進(jìn)而證明證法二：利用四點(diǎn)共圓得出四點(diǎn)共圓進(jìn)而有四邊形為矩形例2、給定銳角，以

6、為直徑的圓與邊上的高線及其延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，以為直徑的圓與上的高線及其延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。證明：四點(diǎn)共圓。證法一：設(shè)交于點(diǎn)則,又易知四點(diǎn)共圓則故四點(diǎn)共圓。證法二：利用射影定理有，；又易知四點(diǎn)共圓則,又,故，故四點(diǎn)共圓證法三：，；而；以下同證法二例3、在等腰中，為底邊上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)做兩腰的平行線分別與交于點(diǎn)，又點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)。求證：點(diǎn)在的外接圓上。分析：此題即證明四點(diǎn)共圓，于是只需證明。證法一：先證、；由此 ；從而點(diǎn)在的外接圓上。G例4、是圓內(nèi)接四邊形，是圓的直徑，與的交點(diǎn)為，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連結(jié)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，使得，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，.證明：四點(diǎn)共圓。提示：由及得，又；故故于是四點(diǎn)共圓例5、在

7、的邊上分別取點(diǎn)，使得。求證：提示：四點(diǎn)共圓；再又得；于是說明：和是對(duì)線段的兩個(gè)視角，當(dāng)點(diǎn)在的兩側(cè)時(shí)四點(diǎn)共圓；當(dāng)點(diǎn)在的同側(cè)時(shí)，常常做對(duì)稱點(diǎn)，然后便有四點(diǎn)共圓了，這會(huì)給解題帶來極大的方便例6、在梯形中，且，求的長(zhǎng)提示：設(shè)； ；由四點(diǎn)共圓得；設(shè)；則；又；故；因此；故；又由角平分線性質(zhì)；故可解得例7、在銳角中,是高，是上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交于，已知四點(diǎn)共圓，問：點(diǎn)是否一定是的垂心？證明你的結(jié)論提示：一定是的垂心；在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)使得，再證明重合例8、已知的重心關(guān)于邊的對(duì)稱點(diǎn)是，證明：四點(diǎn)共圓的充要條件是提示：四點(diǎn)共圓則四點(diǎn)共圓，在上取一點(diǎn)使得四點(diǎn)共圓，再證明四點(diǎn)共圓然后便得出，反之，在

8、延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)使得,然后證明四點(diǎn)共圓即可例9、若過一點(diǎn)的三個(gè)圓的三個(gè)不同的交點(diǎn)共線，則三個(gè)圓的圓心和它們的公共點(diǎn)共圓。提示：如圖， 故四點(diǎn)共圓例10、已知凸五邊形中，且滿足，求證：五點(diǎn)共圓提示：如圖， 于是四點(diǎn)共圓；故于是四點(diǎn)共圓；于是五點(diǎn)共圓例11、已知和相交于，延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于，試證：是的內(nèi)心提示：如圖，故，四點(diǎn)共圓，同理，故五點(diǎn)共圓，于是于是是的內(nèi)心1、設(shè)是等腰底邊的中點(diǎn)，過兩點(diǎn)（但不過點(diǎn)）任作一圓交直線于，聯(lián)結(jié)，交此圓于點(diǎn)，求證：2、為的直徑，點(diǎn)在上且，為上一點(diǎn)，位于點(diǎn)之間，直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，過作直線與垂直，交直線于點(diǎn)，求證：AHPCEQBD3、如圖，在中，與交于點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)，

9、過點(diǎn)作，垂足為，求證：提示：連結(jié)，易知注意到所以從而，易知四點(diǎn)共圓，所以,從而又，所以，故4、凸四邊形的內(nèi)切圓，切邊的切點(diǎn)分別為，聯(lián)結(jié)，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，求證：四邊形為矩形的充分必要條件是四點(diǎn)共圓提示：如圖，易知點(diǎn)在上，且，又由射影定理得，其中為內(nèi)切圓半徑，同理,于是，所以四點(diǎn)共圓，所以，類似的，將這四個(gè)式子相加得，所以四點(diǎn)共圓的充要條件是四點(diǎn)共圓，而熟知一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)圍成的四邊形是平行四邊形，平行四邊形為矩形的充要條件是該四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓，由此四邊形為矩形的充分必要條件是四點(diǎn)共圓5、如圖，在銳角ABC中，ABAC，AD是邊BC上的高，P是線段AD內(nèi)一點(diǎn)。過P作PEAC，垂足為E，做PF

10、AB，垂足為F。O1、O2分別是BDF、CDE的外心。求證：O1、O2、E、F四點(diǎn)共圓的充要條件為P是ABC的垂心。（2007全國(guó)高中聯(lián)賽）證明：連結(jié)BP、CP、O1O2、EO2、EF、FO1。因?yàn)镻DBC，PFAB，故B、D、P、F四點(diǎn)共圓，且BP為該圓的直徑。又因?yàn)镺1是BDF的外心，故O1在BP上且是BP的中點(diǎn)。同理可證C、D、P、E四點(diǎn)共圓，且O2是的CP中點(diǎn)。綜合以上知O1O2BC，所以PO2O1=PCB。因?yàn)锳FAB=APAD=AEAC，所以B、C、E、F四點(diǎn)共圓。充分性：設(shè)P是ABC的垂心，由于PEAC，PFAB，所以B、O1、P、E四點(diǎn)共線，C、O2、P、F四點(diǎn)共線，F(xiàn)O2O1=FCB=FEB=FEO1，故O1、O2、E、F四點(diǎn)共圓。必要性：設(shè)O1、O2、E、F四點(diǎn)共圓，故O1O2E+EFO1=180。由于PO2O1=PCB=ACBACP，又因?yàn)镺2是直角CEP的斜邊中點(diǎn)，也就是CEP的外心，所以PO2E=2ACP。因?yàn)镺1是直角BFP的斜邊中點(diǎn)，也就是BFP的外心，從而PFO1=90BFO1=90ABP。因?yàn)锽、C、E、F四點(diǎn)共圓，所以AFE=ACB，PFE=90ACB。于是，由O1O2E+EFO1=180得(ACBACP)+2ACP+(90ABP)+(90ACB)=180，即ABP=ACP。又因?yàn)锳BAC，AD