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1、21.1 一元二次方程,第二十一章 一元二次方程,一、情境導(dǎo)入,雷鋒紀(jì)念館前的雷鋒雕像高為2m,設(shè)計(jì)者當(dāng)初設(shè)計(jì)它的上部(腰以上)與下部(腰以下)的高度比,等于下部與全部(全身)的高度比,即下部高度的平方等于上部與全部的積,如果設(shè)此雕像的下部高為xm,則其上部高為(2-x)m,由此可得到的等,量關(guān)系如何?它是關(guān)于x的方程嗎?如果是,你能看出它和我們以往學(xué)過的方程有什么不同嗎?,二、探索新知,解:依題意得:x=2(2-x), 即x+2x-4=0. 顯然這個(gè)方程只含有一個(gè)未知數(shù), 且x的最高次數(shù)為2.,如圖,有一塊矩形鐵皮,長(zhǎng)100 cm,寬50cm 在它的四個(gè)角分別切去一個(gè)正方形,然后將四周突出的
2、部分折起,就能制作一個(gè)無蓋方盒.如果要制作的無蓋方盒的底面積是3600 cm2,那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形?,探 究 1,對(duì)于上述問題,你能設(shè)出未知數(shù),列出相應(yīng)的方程嗎?,x,設(shè)切去的正方形的邊長(zhǎng)為x cm,則盒底的長(zhǎng)為(100-2x ) cm,寬為(50-2x ) cm.根據(jù)方盒的底面積為3600 cm2,得 (100-2x )(50-2x )=3600.,整理,得 4x 2-300 x +1400=0.,化簡(jiǎn),得 x2-75x +350=0.,要組織一次排球邀請(qǐng)賽,參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)根據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等條件,賽程計(jì)劃安排7天,每天安排4場(chǎng)比賽,比賽組織者應(yīng)該邀請(qǐng)多少個(gè)隊(duì)參賽?,
3、對(duì)于上述問題,你能設(shè)出未知數(shù),列出相應(yīng)的方程嗎?,探 究 2,請(qǐng)問: (1)這次排球賽共安排 場(chǎng); (2)若設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽,則每個(gè)隊(duì)與 其他 個(gè)隊(duì)各比賽一場(chǎng),這樣應(yīng)共有 場(chǎng)比賽; (3)由此可列出的方程為 化簡(jiǎn)得 .,28,x-1,x(x-1),x-x-56=0,等號(hào)兩邊都是整式,方程只含有一個(gè)未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)為2次,一般地,任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程,經(jīng)過整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0 (a0)這種形式叫做一元二次方程的一般形式其中ax2是二次項(xiàng),a是二次項(xiàng)系數(shù);bx是一次項(xiàng),b是一次項(xiàng)系數(shù);c是常數(shù)項(xiàng),從探究問題2中可以看出,由于參賽球隊(duì)的支數(shù) x 只能是正整數(shù)
4、,由此可列下表:,-56,-54,-50,-44,-36,-26,-14,0,可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)x=8時(shí),x-x-56=0,所以x=8是方程x-x-56=0的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.,探 究 3,三、掌握新知,分析:要證明不論m取何值,該方程都是一元二次方程,只要證明m2-8m+170即可.,證明:m2-8m+17=(m-4)2+1. (m-4)20, (m-4)2+10,即(m-4)2+10. 不論m取何值,該方程都是一元二次方程.,例2 將方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).,分析:一元二次方程的一般形式是a
5、x2+bx+c=0(a0).因此,方程3x(x-1)=5(x+2)必須運(yùn)用整式運(yùn)算進(jìn)行整理,包括去括號(hào)、移項(xiàng)等.,解:去括號(hào),得3x2-3x=5x+10. 移項(xiàng),合并同類項(xiàng),得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0. 其中二次項(xiàng)系數(shù)為3,一次項(xiàng)系數(shù)為-8,常數(shù)項(xiàng)為-10.,四、鞏固練習(xí),1.在下列方程中,一元二次方程的個(gè)數(shù)是( ) , , , . A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 2.已知方程 的一個(gè)根是 ,則m的值為_ _ 3.關(guān)于x的方程 是一元二次方程,則a的取值范圍是_.,A,-13,a1,4.根據(jù)下列問題,列出關(guān)于x的方程,并將其化成一元二次方程的一般形式,指出其二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng). (1)4個(gè)完全相同的正方形的面積之和是25,求正方形的邊長(zhǎng)x; (2)一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多2,面積是100,求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)x.,,其中二次項(xiàng)系數(shù)為4,一次項(xiàng)系數(shù)為0,常數(shù)項(xiàng)為-25;,,其中二次項(xiàng)系數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)為12,常數(shù)項(xiàng)為-100.,一元二次方程,1.本節(jié)課要掌握: (1)一元二次方程的概念; (2)一
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