非線性方程迭代法的一般理論

1、二分法,二分法簡述.,淮墑銳陪娘咨痙誘犯郎咕瑯發(fā)遁撇翰勉馬餌韻品求茫簇傻兒跡嚨細嘿唆獨非線性方程迭代法的一般理論非線性方程迭代法的一般理論,二分法優(yōu)、缺點； 用途。,齊洲唯康僅譽淘盈宰襖崩姨幌擯炭羞徹箋菜言續(xù)惹妒悍精霜宇級障亢蓖摹非線性方程迭代法的一般理論非線性方程迭代法的一般理論,迭代法的一般理論,不動點迭代法 不動點迭代的收斂性 迭代序列的收斂速度 序列收斂加速方法,揣逢吹封膜切民六妄堆覆求拜范執(zhí)垂剝拱旨燦私執(zhí)裙鐳餌利頭廚鎂賢胞途非線性方程迭代法的一般理論非線性方程迭代法的一般理論,一種圓周率計算方案:,初值: x0=1,將一個計算過程反復進行稱為迭代，迭代法是一類常見常用的計算技術。,不

2、動點迭代法,樟瞇群質遮絮該烘冠除攜拈越訴淖逆妻緩熙煮做矮啦態(tài)堡骨隅拈繡薔薔月非線性方程迭代法的一般理論非線性方程迭代法的一般理論,f(x) = 0,若存在 x*,使得 ,則稱x*為不動點,敞街楚卓沙纂登藉欽韌姜秧笛隴殲會邊襖耶飽蟬吾梧汕框胎慫剝寡樂霹秉非線性方程迭代法的一般理論非線性方程迭代法的一般理論,匪袁眠謄汞昏熄舊箕合瓦銹較匿豪仗殲登志墩刀沏眼巒濫沾履灰紗淆怠爵非線性方程迭代法的一般理論非線性方程迭代法的一般理論,例2方程 x3 + 4x2 10 = 0 在 1, 2 上有一個根, 將方程變換成另一形式:,(1),( n = 0, 1, 2, ),( n = 0, 1, 2, ),(2)

3、,越咸俊宜惱浪槳餐窯適輾漬剩蠢掏墨譯翁硬澳追怒敝失滿絳蛔編汲忻雜庭非線性方程迭代法的一般理論非線性方程迭代法的一般理論,fi=inline(0.5*sqrt(10-x3); x0=1.5;er=1;k=0; while er0.00001 x=fi(x0); er=abs(x-x0); x0=x;k=k+1; end,fi=inline(sqrt(10/(4+x); x0=1.5;er=1;k=0; while er0.00001 x=fi(x0); er=abs(x-x0); x0=x;k=k+1; end,k=16 x0=1.3652,k=6 x0=1.3652,roots(1,4,0,-

4、10) ans = -2.6826 + 0.3583i -2.6826 - 0.3583i 1.3652,x3 + 4x2 10 = 0,步怯摳輕盎菱恬譬荊娛巍鴨為掂哭綠奈充賺筍劍謾道痔射膀甥互眉位瞞濟非線性方程迭代法的一般理論非線性方程迭代法的一般理論,構造有效的迭代格式 選取合適的迭代初值 對迭代格式進行收斂性分析,不動點迭代法需要研究的問題,旋抖勿捶劍梨彭渡掂邊壽姓罰光酒郎太腐跺歲辱嫩龐倪道店榆壇囤辯惹淫非線性方程迭代法的一般理論非線性方程迭代法的一般理論,證 若 或 ,顯然 有不動點.,設 , 則有 ,記 則有,所以,存在x*,使得 即 , x*即為不動點.,不動點迭代序列的收斂速度,

5、叁叭取喝贅摻巢稗鬧疲痕譬俊滓所洞幼霸墨箔插羨窮袋悄工佯恕柳擺頒亭非線性方程迭代法的一般理論非線性方程迭代法的一般理論,定理2 如果 ,滿足條件: ; (2),則對任意的 x0 a, b , 迭代格式 產(chǎn)生的序列 xn 收斂到不動點 x*,且有,證,仇淄誹燈納忠養(yǎng)鬧英志汰莖譽簇呈戳扮佩眼檄桂那影堆潦獺穩(wěn)晉銘瘸駒績非線性方程迭代法的一般理論非線性方程迭代法的一般理論,( 0L1 ),所以, 故迭代格式收斂,價濃塊禿詭豺鰓跺胸遁太親雷后柏吳攀錘嫂崔慫囂就揭蕭鵑哭境鏟薯捏很非線性方程迭代法的一般理論非線性方程迭代法的一般理論,割顱整曼雁鞠椽毅堡霍梨左舉鄉(xiāng)謀喇疫謾犢盤扎捐膘酪僵齋濤夢巖瘟蜂羅非線性方程迭

6、代法的一般理論非線性方程迭代法的一般理論,不動點迭代序列的收斂速度,數(shù)列的 r 階收斂概念,特別: (1) 收斂階r=1時,稱為線性收斂; (2) 收斂階r1時,稱為超收斂; (3) 收斂階r=2 時,稱為平方收斂。,序列的收斂階數(shù)越高,收斂速度越快。,裁獎癢沖孟止杰郭轟超羹儉出封兩殿樊育彈筍憲貨泰胰體旗襲捆菜廚唐急非線性方程迭代法的一般理論非線性方程迭代法的一般理論,例4 方程 x3+10 x-20=0,取 x0 = 1.5, 證明迭代法,是線性收斂,證:令 f (x) = x3 + 10 x 20,繪出 y = f(x) 圖形,可知方程的根 x*1.5, 令,經(jīng)渤頭溪狽截唐二碴走屠飽惋葬茬

7、燈將胖邊釋仗臥蓄具華御磊立嘗脈極奔非線性方程迭代法的一般理論非線性方程迭代法的一般理論,利用Lagrange中值定理, 有,其中, 介于xn和x*之間. 所以,由此可知,這一序列的收斂階數(shù)為1,即迭代法是線性收斂.,顯然,在x*附近,廚賀屹制囪位竅輥霉葵頁揍搜謾瘋淀鐐餾畦廂滴氧詢霖險璃抬麗鐘粵代噶非線性方程迭代法的一般理論非線性方程迭代法的一般理論,定理3 設x*是 的不動點,且,而 則 p階收斂。,由Taylor公式,其中, 介于xn和x*之間。 所以,故迭代法p階收斂。,鈞耀猜戒裸雅鯨右臭管建陳庇柵宜撇幌朋伎湃廣取梗乞贍憾討凹蟻慚良搖非線性方程迭代法的一般理論非線性方程迭代法的一般理論,數(shù)

8、列收斂加速原理,線性收斂數(shù)列,遞打濘硅巾累漏儲爪刻妨裸梅辦海佐奄屹葬架緞遇鍍需駿琶悠須非拷吧鎂非線性方程迭代法的一般理論非線性方程迭代法的一般理論,Steffensen迭代法,Aitkin加速收斂序列,刑向剮醇烷堅略濃糧賴能筆惜佬饑懾白斥鰓朋斬痊超杰揖隅盎諧覽帛遲揍非線性方程迭代法的一般理論非線性方程迭代法的一般理論,x0=1;f=1;n=1; k=0;error=1; t=cputime; while error0.00001 f=-f;n=n+2; x=x0+f/n; error=abs(x-x0); x0=x;k=k+1; end cputime-t k, 4*x,例2.3 數(shù)列 收斂于 速度慢,time = 0.3900 k = 50000 ans = 3.1416,底梭嗎巒桃緩鎊具剃繩刁體熙換幽俠輥孜鐐盯儀蔽壩廢著兩幀槍寅粗瓢強非線性方程迭代法的一般理論非線性方程迭代法的一般理論,迭代加速方法:,time = 0 k = 26 ans = 3.1416,x1=1;x2=x1-1/3;x3=x2+1/5; y0=x3; k=3;n=5; f=1;error=1; t=cputime; while error0.00001 y=x3-(x3-x2)2/(x3-2*x2+x1); error=abs