4.3-微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的簡單應(yīng)用課件

1、湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,1,4.3 微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的簡單應(yīng)用,一、一階微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用,二、二階微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用,三、 小結(jié),湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,2,一、 一階微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用,全社會只生產(chǎn)一種產(chǎn)品，可以是消費(fèi)品，也可以是投資品； 儲蓄是國民收入的函數(shù)； 生產(chǎn)過程中只用兩種生產(chǎn)要素，即勞動力和資本，這兩種要素之間相互不能替代； 勞動力按照一個固定不變的比率增長； 不存在技術(shù)進(jìn)步，也不存在資本折舊問題； 生產(chǎn)規(guī)模報酬不變.,引例 多馬(Domar, E.D.)經(jīng)濟(jì)增長模型,基本假設(shè):,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,3,設(shè)S(t)、 I(t)和Y(t)分別為

2、t 時刻的儲蓄、投資和國民收入，多馬曾提出如下的簡單宏觀經(jīng)濟(jì)增長模型：,其中、 均為正的常數(shù)，Y0為初期國民收入，,(1),湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,4,第一個方程表示儲蓄與國民收入成正比(稱為儲蓄率)， 第二個方程表示投資與國民收入的變化率成正比(稱為加速數(shù))， 第三個方程表示儲蓄等于投資. 由(1)中前三個方程消去S(t)和I(t)，可得關(guān)于Y(t)的微分方程:,(2),湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,5,這是一個可分離變量的微分方程，分離變量得,兩邊積分得,因此國民收入函數(shù)為,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,6,因此國民收入函數(shù)為,由此可得:,由0可知，,均為時間t的單調(diào)增加函數(shù)，,即它們都是

3、不斷增長的.,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,7,從凱恩斯的理論框架開始，但避免了凱恩斯投資率不會增加資本存量規(guī)模的假定（短期分析），從而變成了長期理論。 該模型產(chǎn)生了一種均衡條件，它意味著經(jīng)濟(jì)增長的不變比率。 模型提出儲蓄或資本的形成是經(jīng)濟(jì)增長的決定性變量，一個經(jīng)濟(jì)的增長能力依賴于一個經(jīng)濟(jì)的儲蓄能力，政府可以通過調(diào)節(jié)儲蓄水平、刺激資本積累來實現(xiàn)經(jīng)濟(jì)的長期增長。,多馬模型的結(jié)論與意義:,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,8,資本產(chǎn)量比不變的假定意味著資本和勞動力根本不能替代，這一假定是不現(xiàn)實的。 該模型過于強(qiáng)調(diào)儲蓄和資本積累的作用，從而將經(jīng)濟(jì)增長推向“唯資本論”的方向。 沒有考慮到技術(shù)進(jìn)步在經(jīng)濟(jì)發(fā)展中的

4、作用。 政府干預(yù)的結(jié)論帶有濃厚的凱恩斯主義的色彩，而對市場機(jī)制的作用有所忽視。,多馬經(jīng)濟(jì)增長模型的缺陷,注：索洛(Solow, R. M.)經(jīng)濟(jì)增長模型對此作了一定的修正,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,9,例1（彈性問題） 設(shè)商品的需求彈性,為常數(shù)），求該商品的需求函數(shù),解 根據(jù)需求彈性的定義，,可得微分方程,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,10,分離變量得,兩邊積分得,因此需求函數(shù)為,其中 C為任意正常數(shù).,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,11,例2（供給與需求問題）在實際問題中，價格P一般 是隨時間的變化而變化的，即價格P是時間t的函數(shù). 而供給量S與需求量D都是價格P的函數(shù)，從而供給量 S和需求量

5、D也是時間t的函數(shù)并且供給和需求量不 僅僅取決于隨時間t而變化的價格，而且還受價格變 化率的影響，于是，我們可以假設(shè)：,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,12,如果,時，價格是12，試將市場均衡價格表示,解 我們知道，要求市場的均衡價格，只要令,即可，于是有：,的變化率. 設(shè)某商品的供給和需求函數(shù)分別滿足,的函數(shù).,為時間,表示價格關(guān)于時間,時刻的價格，,表示,其中,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,13,整理得,解得,再將初始條件,代入得,因此,這就是均衡價格關(guān)于時間的函數(shù),湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,14,那么意味著價格隨時間的推移而無限增大，此時認(rèn)為,如果,這意味著這種商品的市場價格穩(wěn)定，并且商品的

6、價格,趨向于7,價格不穩(wěn)定(膨脹),顯然，在此例中滿足,于是有,新產(chǎn)品的推廣模型,分離變量，積分，可以解得,也稱為邏輯斯蒂曲線.,方程 也稱為邏輯斯蒂模型，,通解表達(dá)式,由,以及,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,19,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,20,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,21,例3(市場均衡價格模型) 設(shè)市場上某商品的需求和,初始條件為,試求在市場均衡條件,下，該商品的價格函數(shù),供給函數(shù)分別滿足,二、 二階微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,22,解 據(jù)題意，由,得微分方程,其對應(yīng)的齊次程的特征方程為,解得其共軛復(fù)根為,于是對應(yīng)齊次方程的通解為,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,23,由于原方程右端為常數(shù)4，,因此可設(shè)特解為,代入原方程可得,因此原方程的通解為,代入初始條件,可得,因此該商品的價格函數(shù)為,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,24,微分方程是解決許多應(yīng)用問題的重要工具.,方程解決應(yīng)用問題的第一步同時也是最重要的一步是,用微分,在列方程時既需要對實際問題進(jìn)行深入分析，,弄清楚問題中所包含的變