高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：專題三數(shù)列

1、第一講 一、選擇題 1 (2014唐山模擬)設(shè)等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn， 且 S5 13，S1563，則 S20() A90 B100C110D120 2(2014安溪模擬)數(shù)列an滿足 a11，且當(dāng) n2 時(shí)，an an1，則 a5() n1 n A. B. C5 D6 1 5 1 6 3 (2014忻州模擬)已知等比數(shù)列an的首項(xiàng) a11， 公比 q 2，則 log2a1log2a2log2a11() A50 B 35 C55 D46 4已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 Snn2n，正項(xiàng)等比數(shù)列bn 中，b2a3，bn3bn14b (n2，nN*)，則 log2bn() 2 n An1

2、 B2n1 Cn2 Dn 5(2014宿州模擬)已知an為等差數(shù)列，其公差為2，且 a7是 a3與 a9的等比中項(xiàng)，Sn為an前 n 項(xiàng)和，nN*，則 S10的值 為() A110 B90 C90 D110 6 數(shù)列an的首項(xiàng)為 3， bn為等差數(shù)列且 bnan1an(n N*)，若 b32，b1012，則 a8() A0 B3 C8 D11 7(2014眉山模擬)已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 Sn2n12， 等差數(shù)列bn中，b2a2，且 bn3bn12bn4，(n2，n N*)，則 bn() A2n2 B2n Cn2 D2n2 8在數(shù)列an中，a11，a22，若 an22an1an2， 則 a

3、n等于() A. n3 n Bn35n29n4 1 5 2 5 6 5 Cn22n2 D2n25n4 9設(shè)數(shù)列an，則有() A若 a 4n，nN*，則an為等比數(shù)列 2 n B若 anan2a，nN*，則an為等比數(shù)列 2n1 C若 aman2mn，m，nN*，則an為等比數(shù)列 D若 anan3an1an2，nN*，則an為等比數(shù)列 10. 為防洪抗旱，某地區(qū)大面積植樹(shù)造林，如圖，在區(qū)域(x， y)|x0，y0內(nèi)植樹(shù)，第一棵樹(shù)在 A1(0,1)點(diǎn)，第二棵樹(shù)在 B1(1， 1)點(diǎn)，第三棵樹(shù)在 C1(1,0)點(diǎn)，第四棵樹(shù)在 C2(2,0)點(diǎn)，接著按圖中 箭頭方向，每隔一個(gè)單位種一棵樹(shù)，那么，第

4、2 014 棵樹(shù)所在的 點(diǎn)的坐標(biāo)是() A(9,44) B(10,44) C(10,43) D(11,43) 二、填空題 11已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an滿足 a6a52a4，則 的值為_(kāi) a6 a4 答案：4 12在等差數(shù)列an中，a25，a1a412，則 an _；設(shè) bn(nN*)，則數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 Sn 1 a2 n1 _. 13(2014宜春模擬)已知數(shù)列an，若點(diǎn)(n，an)(nN*)在直 線 y3k(x6)上，則數(shù)列an的前 11 項(xiàng)和 S11_. 14(2014新余模擬)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an中， a2a44， a1a2a314， 則滿足 anan1an2 的

5、最大正整數(shù) n 1 9 的值為_(kāi) 答案：4 15已知 f(x)是定義在 R 上不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意的 x， yR， 都有 f(xy)xf(y)yf(x)成立 數(shù)列an滿足 anf(2n)(nN*)， 且 a12，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an_. 16已知定義在 R 上的函數(shù) f(x)、g(x)滿足ax，且 fx gx f(x)g(x)1)，當(dāng) n1 時(shí)， a1S12112221，故 an2n(n1)所以 b2a24，由此 可排除 A、 C、 D.對(duì) B 選項(xiàng)， 若 bn2n， 則 bn3bn12(n3) 2(n1)4n4,2bn44n4 滿足題設(shè)，選 B. 8解析：選 C依題意得(an2a

6、n1)(an1an)2，因 此數(shù)列an1an是以 1 為首項(xiàng)，2 為公差的等差數(shù)列，an1an 12(n1)2n1.當(dāng) n2 時(shí)， ana1(a2a1)(a3a2) (anan1)113(2n3)1(n n112n3 2 1)21n22n2， 又 a1112212， 因此 ann22n 2. 9 解析：選 C若 a12，a24，a38，滿足 a 4n， 2 n nN*，但an不是等比數(shù)列，故 A 錯(cuò) ； 若 an0，滿足 anan2 a，nN*，但an不是等比數(shù)列，故 B 錯(cuò) ； 若 an0，滿足 anan 2n1 3an1an2，nN*，但an不是等比數(shù)列，故 D 錯(cuò) ； 若 aman 2m

7、n，nN*，則有2，則an是等比數(shù) aman1 aman an1 an 2mn1 2mn 列 10.解析：選 B由題意可得種樹(shù)的方法是按照一個(gè)等差數(shù)列 3,5,7，2n1 排列由前 n 項(xiàng)和得(n2)n2 014，所以 n2 2n2 0140，解得 n(負(fù)值舍去)所以 n43， 2 8 060 2 當(dāng) n43 時(shí)對(duì)應(yīng)種了 1 935 棵樹(shù)由于單數(shù)的最后一個(gè)落在 x 軸 上， 雙數(shù)的最后一個(gè)落在 y 軸上， 所以在坐標(biāo)為(43,0)向右種 1 棵， 再向上種 44 棵，即第 1 980 棵的坐標(biāo)為(44,44)，再向左平行移動(dòng) 34 格，即第 2 014 棵及坐標(biāo)為(10,44) 二、填空題 1

8、1解析 ： 因?yàn)?a6a52a4，所以 a4q2a4q2a4，即 q2q 20， 數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列， 所以 q2，q2 a6 a4 4. 答案：4 12解析 ： 設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d，則有 a2a35a3 12， a37， da3a22， ana2(n2)d2n1， bn 1 4nn1 ，因此數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 Sn Error! 1 4( 1 n 1 n1) 1 4 1 4 . ( 1 1 n1) n 4n1 答案：2n1 n 4n1 13解析 ： 若點(diǎn)(n，an)(nN*)在直線 y3k(x6)上，則 an k(n6)3， S11a1a2a3a11k(543210

9、 12345)11333. 答案：33 14解析 ： 設(shè)等比數(shù)列首項(xiàng)為 a1，公比為 q，則 a1qa1q34 a1q22，a1a1qa1q214a1a1q12，得6， a1a1q a1q2 12 2 即 6q2q10q 或 q (舍)， 得 a18， 所以 ana1qn1 1 2 1 3 8 n1， 則 anan1an2(an1)33 ， 即 83 ( 1 2 ) 8 ( 1 2 ) n 1 9 n n ，所以 n4，最大正整數(shù) n 的值為 4. ( 1 8 ) 1 9 ( 1 8 ) 1 83 1 9 答案：4 15解析：令 x2，y2n1，則 f(xy)f(2n)2f(2n1)2n 1f

10、(2)，即 an2an12n， 1，所以數(shù)列是首項(xiàng)為 an 2n an1 2n1 an 2n 1，公差為 1 的等差數(shù)列，由此可得1(n1)1n，即 an an 2n n2n. 答案：n2n 16解析：根據(jù)題意得，因?yàn)?fx gx fxgxfxgx g2x f(x)g(x)f(x)g(x)，所以0，即 fx gx fxgxfxgx g2x 函數(shù)ax單調(diào)遞減， 所以 0a60n800？若存在，求 n 的最小值；若不存在，說(shuō)明理由 2已知公差不為 0 的等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且滿足 S53a52，a1，a2，a5依次成等比數(shù)列 (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)令 bn(nN*)，

11、數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和為 Tn，若 an 1 anan1 1Tn對(duì)任意正整數(shù) n 都成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍 3(2014江蘇高考)設(shè)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn.若對(duì)任意正 整數(shù) n，總存在正整數(shù) m，使得 Snam，則稱an是“H 數(shù) 列” (1)若數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 Sn2n(nN*)，證明：an是“H 數(shù)列” ； (2)設(shè)an是等差數(shù)列，其首項(xiàng) a11，公差 d0.若an是“H 數(shù)列” ，求 d 的值； (3)證明 ： 對(duì)任意的等差數(shù)列an，總存在兩個(gè)“H 數(shù)列” bn 和cn，使得 anbncn(nN*)成立 4(2014江西高考)將連續(xù)正整數(shù) 1,2，n(nN*) 從小到

12、大排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)， F(n)為這個(gè)數(shù)的位數(shù)(如 n12 時(shí)， 123n 此數(shù)為 123 456 789 101 112，共有 15 個(gè)數(shù)字，F(xiàn)(12)15)，現(xiàn)從 這個(gè)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字，p(n)為恰好取到 0 的概率 (1)求 p(100)； (2)當(dāng) n2 014 時(shí)，求 F(n) 的表達(dá)式； (3)令 g(n) 為這個(gè)數(shù)中數(shù)字 0 的個(gè)數(shù)，f(n)為這個(gè)數(shù)中數(shù)字 9 的個(gè)數(shù)，h(n)f(n)g(n)，Sn|h(n)1，n100，nN*，求 當(dāng) nS 時(shí) p(n)的最大值 答案 1 解：(1)設(shè)數(shù)列an的公差為 d，依題意，2,2d,24d 成 等比數(shù)列，故有(2d)22(24d)， 化簡(jiǎn)

13、得 d24d0，解得 d0 或 d4. 當(dāng) d0 時(shí)，an2； 當(dāng) d4 時(shí)，an2(n1)44n2， 從而得數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an2 或 an4n2. (2)當(dāng) an2 時(shí)，Sn2n. 顯然 2n60n800 成立 當(dāng) an4n2 時(shí)，Sn2n2. n24n2 2 令 2n260n800，即 n230n4000， 解得 n40 或 n60n800 成立，n 的最小值為 41. 綜上，當(dāng) an2 時(shí)，不存在滿足題意的 n； 當(dāng) an4n2 時(shí)，存在滿足題意的 n，其最小值為 41. 2 解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d，則 S55a110d， S53a523(a14d)23a112d2

14、， 5a110d3a112d2， a1d1. a1，a2，a5依次成等比數(shù)列， a a1a5，即(a1d)2a1(a14d)， 2 2 化簡(jiǎn)得，d2a1， a11，d2， ana1(n1)d2n1. (2)bn， 1 anan1 1 2n12n1 1 2( 1 2n1 1 2n1) Tn 1 2(1 1 3 1 3 1 5 1 2n1 1 2n1) 1 2(1 1 2n1) . n 2n1 由 an1Tn得 2n1對(duì)任意正整數(shù) n 都成立， n 2n1 (2n1)2n， 4n4 . 2n12 n 4n24n1 n 1 n 令 f(x)4x (x1)，則 f(x)4 0， 1 x 1 x2 f(

15、x)在1，)上遞增， 對(duì)任意正整數(shù) n,4n 的最小值為 5，9. 1 n 3解：(1)由已知，當(dāng) n1 時(shí)，an1Sn1Sn2n12n 2n.于是對(duì)任意的正整數(shù) n， 總存在正整數(shù) mn1， 使得 Sn2n am. 所以an是“H 數(shù)列” (2)由已知，得 S22a1d2d.因?yàn)閍n是“H 數(shù)列” ，所 以存在正整數(shù) m，使得 S2am，即 2d1(m1)d，于是(m 2)d1. 因?yàn)?d0，所以 m20，故 m1.從而 d1. 當(dāng) d1 時(shí)，an2n，Sn是小于 2 的整數(shù)，n n3n 2 N*.于是對(duì)任意的正整數(shù) n， 總存在正整數(shù) m2Sn2， n3n 2 使得 Sn2mam，所以an

16、是“H 數(shù)列” 因此 d 的值為1. (3)設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d，則 ana1(n1)dna1(n 1)(da1)(nN*) 令 bnna1，cn(n1)(da1)，則 anbncn(nN*) 下證bn是“H 數(shù)列” 設(shè)bn的前 n 項(xiàng)和為 Tn，則 Tna1(nN*)于是對(duì)任 nn1 2 意的正整數(shù) n， 總存在正整數(shù) m， 使得 Tnbm， 所以bn nn1 2 是“H 數(shù)列” 同理可證cn也是“H 數(shù)列” 所以，對(duì)任意的等差數(shù)列an，總存在兩個(gè)“H 數(shù)列”bn 和cn，使得 anbncn(nN*)成立 4 解：(1)當(dāng) n100 時(shí)，這個(gè)數(shù)中總共有 192 個(gè)數(shù)字，其 中數(shù)字 0 的個(gè)數(shù)為 11，所以恰好取到 0 的概率為 p(100)； 11 192 (2)F(n)Error! (3)當(dāng) nb(1b9，bN*)時(shí)，g(n)0； 當(dāng) n10kb(1k9,0b9，kN*，bN)時(shí)，g(n)k； 當(dāng) n100 時(shí)，g(n)11， 即 g(n)Error! 同理有 f(n) Error! 由 h(n)f(n)g(n)1， 可知 n9,1