隨機變量的分布函數(shù).ppt

1、一、定義：,如果將 X 看作數(shù)軸上隨機點的坐標(biāo)，那么分布函數(shù) F(x) 的值就表示 X落在區(qū)間的概率.,第三講 隨機變量的 分布函數(shù),問： 在上 式中，X, x 皆為變量. 二者有什 么區(qū)別？ x 起什么作用？ F(x) 是不是概率？,X是隨機變量, x是參變量.,F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.,由定義，對任意實數(shù) x1x2，隨機點落 在區(qū)間（ x1 , x2 的概率為：,P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1),因此，只要知道了隨機變量X的分布函數(shù)， 它的統(tǒng)計特性就可以得到全面的描述.,分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，正是 通過它，我們可以用

2、數(shù)學(xué)分析的工具來 研究 隨機變量.,二、離散型 r.v的分布函數(shù),設(shè)離散型r.vX 的概率分布列是,P X=xk = pk , k =1,2,3,則 F(x) = P(X x) =,由于F(x) 是 X 取 的諸值 xk 的概率之和， 故又稱 F(x) 為累積概率函數(shù).,當(dāng) x0 時， X x = ， 故 F(x) =0,例1.,，求 F(x).,當(dāng) 0 x 1 時， F(x) = P(X x) = P(X=0) =,F(x) = P(X x),解:,當(dāng) 1 x 2 時， F(x) = P(X=0) + P(X=1) = + =,當(dāng) x 2 時， F(x) = P(X=0) + P(X=1)

3、+ P(X=2) = 1,例1.,，求 F(x).,F(x) = P(X x),解:,故,注意右連續(xù),下面我們從圖形上來看一下.,概率函數(shù)圖,分布函數(shù)圖,畫 分布函 數(shù)圖,不難看出，F(xiàn)(x) 的圖形是階梯狀的圖形，在 x=0，1，2 處有跳躍，其躍度分別等于 P(X=0) , P(X=1) , P(X=2).,三、分布函數(shù)的性質(zhì),(3) F(x) 非降，即若 x1x2，則F(x1) F(x2) ;,(2) F( ) = F(x) = 0,(4) F(x) 右連續(xù)，即,如果一個函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個r.v X 的分布函數(shù). 也就是說，性質(zhì)(1)-(4)是鑒別一個函數(shù)是否是某r.v的分布函

4、數(shù)的充分必要條件.,F( ) = F(x) = 1,(1) 0F(x)1, x+;,試說明F(x)能否是某個r.v 的分布函數(shù).,例2. 設(shè)有函數(shù) F(x),注意到函數(shù) F(x)在 上下降， 不滿足性質(zhì)(1)，故F(x)不能是分布函數(shù).,不滿足性質(zhì)(2)， 可見F(x)也不能是r.v 的 分布函數(shù).,或者,解：,第四講 連續(xù)型隨機變量,連續(xù)型隨機變量X所有可能取值充滿一個區(qū)間, 對這種類型的隨機變量, 不能象離散型隨機變量那樣, 以指定它取每個值概率的方式, 去給出其概率分布, 而是通過給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.,下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機變量的描述方法.,. 連續(xù)型隨機變量、概率密度

5、定義,由定義知：1. 連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)F(x) 是連續(xù)函數(shù).,2. 對f(x)的連續(xù)點，有,由此 F(x)與f(x)可以互推。,概率密度函數(shù)的性質(zhì),1.,2.,這兩條性質(zhì)是判定一個 函數(shù) f(x)是否為某r.vX的 概率密度函數(shù)的充要條件.,3,故 X的密度 f(x) 在 x 這一點的值，恰好是 X落在區(qū)間 上的概率與區(qū)間長度 之比的極限. 這里，如果把概率理解為質(zhì)量， f (x)相當(dāng)于線密度.,4. 對 f(x)的進一步理解:,要注意的是，密度函數(shù) f (x)在某點處a的高度，并不反映X取值的概率. 但是，這個高度越大，則X取a附近的值的概率就越大. 也可以說，在某點密度曲線的高度反

6、映了概率集中在該點附近的程度.,若不計高階無窮小，有：,它表示隨機變量 X 取值于 的概率近似等于 .,連續(xù)型r.v取任一指定值的概率為0.,即：,a為任一指定值,這是因為,需要指出的是:,P( X = a )=0的充分必要條件是F( x )是 連續(xù)函數(shù)。任意aR。,由此得，,1) 對連續(xù)型 r.v X,有,2) 由P(X=a)=0 可推知,而 X=a 并非不可能事件,并非必然事件,稱A為幾乎不可能事件，B為幾乎必然事件.,可見，,由P(A)=0, 不能推出,由P(B)=1, 不能推出 B=S,下面給出幾個r.v的例子.,解：,（1）由性質(zhì)2，,A=2.,對x -1，F(xiàn)(x) = 0,對,對

7、x1， F (x) = 1,求 F(x).,解：,即,(3).,大家一起來作下面的練習(xí).,求 F(x).,例2 設(shè),由于f(x)是分段 表達(dá)的，求F(x)時 注意分段求.,對連續(xù)型r.v，若已知F(x)，我們通過求導(dǎo)也可求出 f (x)，請看下例.,即,例3 設(shè)r.vX的分布函數(shù)為,(1) 求X取值在區(qū)間 (0.3,0.7)的概率； (2) 求X的概率密度.,解: (1) P(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3),=0.72-0.32=0.4,(2) f(x)=,注意到F(x)在1處導(dǎo)數(shù)不存在，根據(jù)改變被積函數(shù)在個別點處的值不影響積分結(jié)果的性質(zhì)，可以在 沒意義的點處，任意規(guī)定 的值.,

8、幾種重要的連續(xù)型隨機變量,均勻分布,（1）若 r.vX的概率密度為：,則稱X服從區(qū)間 a, b 上的均勻分布，記作：,X U(a, b),它的實際背景是： r.v X 取值在區(qū)間a, b 上， 并且取值在a, b中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比.則 X 具有a,b上的均勻分布.,若XU a, b, (x1, x2)為a, b的任意子區(qū)間，則,公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時間，即乘客的候車時間等.,均勻分布常見于下列情形：,如在數(shù)值計算中，由于四舍五 入，小數(shù)點后某一位小數(shù)引入的誤差；,例4. 某公共汽車站從上午7時起，每15分鐘來一班車，即 7:00，7:15，7:

9、30, 7:45 等時刻 有汽車到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時間 X 是7:00 到 7:30 之間的均勻隨機變量, 試求他候車 時間少于5 分鐘的概率.,解：,依題意， X U ( 0, 30 ),以7:00為起點0，以分為單位,為使候車時間X少于 5 分鐘，乘客必須在 7:10 到 7:15 之間，或在7:25 到 7:30 之間到達(dá)車站.,所求概率為：,從上午7時起，每15分鐘來一班車，即 7:00，7:15，7:30等時刻有汽車到達(dá)汽車站，,即乘客候車時間少于5 分鐘的概率是1/3.,例5. 設(shè)K在0，5上服從均勻分布， 求方程4x2+4Kx+K+2=0有實根的概率。,解：,KU0，5，,有實根等價于0，即 16K216（K+2）0， K1，or K2,區(qū)間( 0, 1)上的均勻分布U(0,1)在計算機模擬中起著重要的作用.,實用中，用計算機程序可以在短時間內(nèi)產(chǎn)生大量服從 ( 0, 1)上均勻分布的隨機數(shù). 它是由一種迭代過程產(chǎn)生的.,嚴(yán)格地說，計算機中產(chǎn)生的U (0,1) 隨機數(shù)并非完全隨機，但很接近隨機，故常稱為偽隨機數(shù).,如取n足夠大，獨立產(chǎn)生n個U(0,1)隨