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文檔簡(jiǎn)介
1、矩陣的分解,Matrix Factorization and Decomposition,矩陣分解的概述,矩陣的分解: A=A1+A2+Ak 矩陣的和 A=A1A2 Am 矩陣的乘積 矩陣分解的原則: 實(shí)際應(yīng)用的需要,理論上的需要 計(jì)算上的需要,顯示原矩陣的某些特性 矩陣化簡(jiǎn)的方法之一 主要技巧: 各種標(biāo)準(zhǔn)形的理論和計(jì)算方法 矩陣的分塊,常見(jiàn)的矩陣標(biāo)準(zhǔn)形與分解,常見(jiàn)的標(biāo)準(zhǔn)形 等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形 相似標(biāo)準(zhǔn)形 合同標(biāo)準(zhǔn)形,本節(jié)分解: 三角分解 滿秩分解 可對(duì)角化矩陣的譜分解,AT=A,相似標(biāo)準(zhǔn)形,等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形,一、矩陣的三角分解,方陣的LU和LDV分解(P.61) LU分解:AFnn, 存在下三角形矩陣L
2、,上三角形矩陣U ,使得A=LU。 LDV分解:AFnn, L、V分別是主對(duì)角線元素為1的下三角形和上三角形矩陣,D為對(duì)角矩陣,使得A=LDV。 已知的方法:Gauss-消元法 例題1 (P.61eg1)設(shè) 求A的LU和LDV分解。,結(jié)論:如果矩陣A能用兩行互換以外的 初等行變換化為階梯形,則A有LU分解。,三角分解的存在性和惟一性 定理3.1 (P.62) : 矩陣的k 階主子式:取矩陣的前k行、前k列得到的行列式,k=1,2, ,n。 定理: AFnn有惟一LDV分解的充要條件是A的順序主子式Ak非零,k =1,2,n-1。,證明過(guò)程給出了LDV分解的一種算法。,定理3.2(P.64)設(shè)矩
3、陣AFnn ,rank(A)=k( n),如果A的j階順序主子式不等于0, j =1,2,k,則 A有LU分解。 定理?xiàng)l件的討論 例題2 (P.65 eg2) LU分解的應(yīng)用舉例,二、矩陣的滿秩分解,定義3.2 (P.66 ) 對(duì)秩為r 的矩陣AFmn ,如果存在秩為r的矩陣 B Fmr,CFrn ,則A=BC為A 的滿秩分解。,實(shí)用方法:方法3,例題2 ( P.69,eg5),列滿秩,行滿秩,定理3.2:任何非零矩陣AFmn都有滿秩分解。 滿秩分解的求法: 方法1: 方法2 例題1( P.68, eg4 ) 方法3,例題3( P.70,eg6),三、可對(duì)角化矩陣的譜分解,將方陣分解成用譜加權(quán)
4、的矩陣和 譜:設(shè)AFnn , 則A的譜=1,2,s。,,P具性質(zhì):,1. 可對(duì)角矩陣的譜分解 分解分析: 分解結(jié)果:,冪等矩陣,意義:可對(duì)角化矩陣可以分解成以譜加權(quán)的冪等矩陣的加權(quán)和,2、 矩陣可以對(duì)角化的一個(gè)充要條件 定理3.5(P.73 ) 矩陣A可以相似對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)矩陣A有譜分解 ,滿足條件:,充分性的證明: 在A有譜分解時(shí) Cn=V 1V 2 V n,3. 冪等矩陣的性質(zhì) 定理3 .4(P.72)PFnn ,P2=P,則 矩陣PH和矩陣(IP)仍然是冪等矩陣。 P 的譜0,1,P 可相似于對(duì)角形。 Fn = N(P) R(P) N(P)=V =0 ,R(P)=V=1 P和(I P)的
5、關(guān)系 N(I P)=R(P),R( I P )=N(P) Hermite 矩陣的譜分解 定理3 .6(P.73)設(shè)A是秩為k的半正定的Hermite 矩陣,則A可以分解為下列半正定矩陣的和。 A=v1v1H+v2v2H+vkvkH,Schur 分解和正規(guī)矩陣,已知:歐氏空間中的對(duì)稱矩陣A可以正交 相似于對(duì)角形。 討論:一般方陣A ,在什么條件下可以 酉相似于對(duì)角矩陣? 在內(nèi)積空間中討論問(wèn)題,涉及: 空間 Cn、 Cnn, 酉矩陣U,UHU=I, U 1=UH 酉相似: UHAU=J U1 AU=J,重點(diǎn):理論結(jié)果,一、 Schur 分解,1、 可逆矩陣的UR分解 定理3.7(P.74)ACnn
6、為可逆矩陣,則存在酉矩陣U和主對(duì)角線上元素皆正的上三角矩陣R,使得A=UR。( 稱A=UR為矩陣A的酉分解) 證明:源于Schmidt正交化方法。 例題1 求矩陣A的UR分解,其中,定理3.8(P.76) :設(shè)矩陣ACmn是列滿秩的矩陣,則矩陣A可以分解為A=QR,其中Q Cmn的列向量是標(biāo)準(zhǔn)正交的向量組,R Cnn是主對(duì)角線上元素為正數(shù)的上三角形矩陣。,QR分解,2 、Schur 分解 定理3.7(P.74 )對(duì)矩陣ACnn,存在酉矩陣U和上三角矩陣T,使得 UHAU=T=,證明要點(diǎn): A=PJ AP1 , P=UR A= PJ AP1 =U(RJR1 )UH =UTUH。,二、正規(guī)矩陣(N
7、ormal Matrices),1、 定義3.3(P.77 )A是正規(guī)矩陣 AHA=AAH。 常見(jiàn)的正規(guī)矩陣: 對(duì)角矩陣 對(duì)稱和反對(duì)稱矩陣:AT=A,AT=A。 Hermite矩陣和反Hermite矩陣:AH=A,AH=A 正交矩陣和酉矩陣:ATA=AAT=I,AHA=AAH=I。 例題1 (P.78,eg 10)設(shè)A為正規(guī)矩陣,B酉相似于A,證明B也是正規(guī)矩陣。,正規(guī)是酉相似的不變性質(zhì),例題2、AFmn,矩陣AHA 和矩陣AAH是正規(guī)矩陣。,2、正規(guī)矩陣的基本特性 定理3.10 (P.78 ) : ACnn正規(guī)A酉相似于對(duì)角形。 推論:正規(guī)ACnnA有n個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量構(gòu)成空間Cn 的標(biāo)
8、準(zhǔn)正交基。 定理3.11(P.80 )(正規(guī)矩陣的譜分解) A正規(guī)A有如下譜分解:,Hermite性,3、正規(guī)性質(zhì)的應(yīng)用舉例 例題1(P.79 ,eg12) 例題2 設(shè)ARnn,AT=A,證明 A的特征值是零和純虛數(shù)。 矩陣A的秩是偶數(shù)。,矩陣的奇異值分解,Singular value decomposition (SVD),矩陣的奇異值分解,概述: 矩陣的奇異值分解是酉等價(jià)型的分解: AC mn,酉矩陣UC mm, VC nn ,使得A=U VH。 矩陣A等價(jià)于=,奇異值分解基本適用于內(nèi)積空間中與矩陣秩相關(guān)的問(wèn)題 A的奇異值分解依賴于正規(guī)矩陣A HA 的酉相似分解的。,一、矩陣A的奇異值及其
9、性質(zhì),1、矩陣AHA和AAH的性質(zhì): AC mn,AHAC nn,AAHC mm ,都是Hermite矩陣。 定理312(P82) 秩(A)秩(AHA)=秩(AAH)。 AHA 和AAH 的非零特征值相等。 AHA和AAH 是半正定矩陣。,AHA和AAH 的特征值是非負(fù)實(shí)數(shù):1 2 n,2、奇異值的定義: (P72) AC mn,秩(A)=r,設(shè)AHA的特征值1 2 r 0,r+1= r+2 = n =0,則矩陣的奇異值,3、特殊矩陣的奇異值: 定理313(P82): 正規(guī)矩陣A的奇異值等于A的特征值的模長(zhǎng)。 正定的Hermite矩陣A的奇異值就是A的特征值。 酉等價(jià)矩陣的奇異值相等。,A和B
10、酉等價(jià),則AHA和BHB酉相似。 奇異值是酉等價(jià)的不變性質(zhì)。,二、矩陣的奇異值分解,1、定理314(P83) 任何矩陣AC mn,秩(A)=r,則存在酉矩陣 UC mm,VC nn,使得,證明思想: AHA正規(guī),VHAHAV= ,酉矩陣V。,令 ,i=1,2,r,得U1=u1,u2, ,ur 擴(kuò)充為標(biāo)準(zhǔn)正交基 酉矩陣U。,例題1 求矩陣A的奇異值分解,A= 。,例題2(P84,eg13) 求矩陣A的奇異值分解,A=,2、矩陣U,V的空間性質(zhì): V=v 1,v2,vr , ,v n =V1 V2C nn的列向量是空間C n的標(biāo)準(zhǔn)正交基。 V2的列向量是空間N(A)的標(biāo)準(zhǔn)正交基。 V1的列向量是空
11、間 N (A) 的標(biāo)準(zhǔn)正交基。 U=u 1,u2,ur , ,u m =U1 U2C mm的列向量是空間C m的標(biāo)準(zhǔn)正交基。 U1 的列向量是R(A)的標(biāo)準(zhǔn)正交基。 U2的列向量是R (A)的標(biāo)準(zhǔn)正交基。 3、奇異值分解的展開(kāi)形式及其應(yīng)用 定理3 15( P87),左奇異向量,右奇異向量,例題:圖像的數(shù)字化技術(shù)與矩陣的奇異值分解,計(jì)算機(jī)處理圖像技術(shù)的第一步是圖像的數(shù)字化存儲(chǔ)技術(shù),即將圖像轉(zhuǎn)換成矩陣來(lái)存儲(chǔ)。 轉(zhuǎn)換的原理是將圖形分解成象素(pixels)的一個(gè)矩形的數(shù)陣,其中的信息就可以用一個(gè)矩陣A=(a ij)mn來(lái)存儲(chǔ)。矩陣A的元素a ij是一個(gè)正的數(shù),它相應(yīng)于象素的灰度水平(gray lev
12、el) 的度量值。 由于一般來(lái)講,相鄰的象素會(huì)產(chǎn)生相近的灰度水平值,因此有可能在滿足圖像清晰度要求的條件下,將存儲(chǔ)一個(gè)mn階矩陣需要存儲(chǔ)的mn個(gè)數(shù)減少到n+m+1的一個(gè)倍數(shù)。,壓縮數(shù)字化圖形存儲(chǔ)量的方法主要是應(yīng)用矩陣的奇異值分解和矩陣范數(shù)下的逼近。如果圖象的數(shù)字矩陣A的奇異值分解為:A=UVT, 其展開(kāi)式:,壓縮矩陣A的方法是取一個(gè)秩為k (kr)的矩陣Ak來(lái)逼近 矩陣A。 Ak按如下方法選?。?有在秩為k (kn)的所有矩陣中,矩陣Ak所對(duì)應(yīng)的圖象和矩陣A所對(duì)應(yīng)的圖象最相近。一般的,k越大圖象就越清晰。經(jīng)典的方法是選取接近k,使Ak 的存儲(chǔ)量比A的存儲(chǔ)量減少20%。,存儲(chǔ)矩陣Ak只需要存儲(chǔ)k個(gè)奇異值,k個(gè)m維向量ui和n維向量vj的所有分量,共計(jì)k(m+n+1)個(gè)元素。 如果m=n=1000,存儲(chǔ)原矩陣A需要存儲(chǔ)10001000個(gè)元素。取k=100時(shí),圖象已經(jīng)非常清晰了,這時(shí)的存儲(chǔ)量是100(2000+1)=200100個(gè)數(shù)。 和矩陣A比較,存儲(chǔ)量減少了80%。,三、矩陣的奇異值分解和線性變換TA 矩陣AC mn可以定義線性變換 TA : C n C m 設(shè)矩陣的奇異值分解A=U VH ,則將U和V的列分別取做空間C m 、C n的基,則變換TA的矩陣為: =VX C m ,則TAX=(U VH )VX=U(X)=U,變換TA在單位球上的象: 定理316 ( P88),
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