(理數(shù))廣雅中學(xué)屆高三級(jí)期中考試

1、廣雅中學(xué)廣雅中學(xué) 2008-20092008-2009 學(xué)年高三第一學(xué)期期中考試學(xué)年高三第一學(xué)期期中考試 理科數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué) 本試卷共 4 頁(yè)，20 小題，滿(mǎn)分 150 分?？荚囉脮r(shí) 120 分鐘。 【注意事項(xiàng)】【注意事項(xiàng)】 1答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。 2選擇題的答案一律做在答題卡上選擇題的答案一律做在答題卡上，每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目 的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案。 3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在另發(fā)的答題卷各題目指定 區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案

2、，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用 鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效。 4考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卷和答題卡一并收回。 一、選擇題：本大題共一、選擇題：本大題共8 8 小題，每小題小題，每小題5 5 分，滿(mǎn)分分，滿(mǎn)分4040 分分. . 在每小題給出在每小題給出 的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1,B x| y ln(1 x)， 1. . 全集U R R，集合A x|2 則右圖中陰影部分表示的集合為 Ax| x 1Bx| x 1 Cx|0 x 1Dx|1 x 2 2. . 已知向量a a (1sin,1)，b b ( ,1s

3、in)，若a ab b，則銳角等于 A30B45C60D75 x(x2) 1 2 3. . 設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，且a2 8，a15 5，Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則 AS10 S11BS10 S11CS9 S10DS9 S10 4. . 已知函數(shù)f (x) (xa)(xb)（其中a b）的圖象如下面右圖所示，則函數(shù) g(x) axb的圖象是 5. . 如右圖，在正方體ABCD A 1B1C1D1 中，M為的棱BB 1 的中點(diǎn)， 則異面直線AM與BD 1所成角的余弦值是 A 1015 B 1510 C 1015 D 1015 6. . 電流強(qiáng)度I（安）隨時(shí)間t（秒）變化的函數(shù) I Asin(t

4、 )(A 0, 0,0 圖象如右圖所示，則當(dāng)t 2 )的 1 時(shí)，電流強(qiáng)度是 50 A5安B5安 C5 3安D10安 7. . ABC的三邊長(zhǎng)分別為3、4、5，P為平面ABC外一點(diǎn)， 它到其三邊的距離都等于2， 且P在平面ABC上的射影O位于ABC的內(nèi)部，則PO等于 3 A . . 1B. . 2 C. .D. . 3 2 8. . 已知f (x)是定義在R R上的奇函數(shù)，且f (x f (x)是周期函數(shù)； 2 x 是f (x)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸； )是偶函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論： (,0)是f (x)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心； 當(dāng)x 其中正確的結(jié)論是 AB 2 時(shí)，f (x)一定取最大值. DC 二、

5、填空題：本大題共二、填空題：本大題共 6 6 小題，每小題小題，每小題 5 5 分，滿(mǎn)分分，滿(mǎn)分 3030 分分 1 2x ln x的最小值為 . 2 10ABC中，若sin A:sin B:sin C 2:3: 4，則cos2C . 11圓柱形容器的內(nèi)壁底半徑是10cm，有一個(gè)實(shí)心鐵球浸沒(méi)于容器的水中，若取出這個(gè) 5 2 鐵球，測(cè)得容器的水面下降了cm，則這個(gè)鐵球的表面積為 cm . 3 12在等比數(shù)列中， 已知a9a10 a(a 0)，a19 a20 b，則a99a100. 9函數(shù)f (x) 13如圖，在ABC中，已知AB 2，BC 3，ABC 60， uuuu ruuu ruuu r A

6、H BC于H，M 為AH的中點(diǎn)，若AM ABBC， 則. 14設(shè)函數(shù)f (x) x1 2 3 x1 的四個(gè)零點(diǎn)分別為x 1 、x 2、x3、x4 ，則 f (x 1+x2 +x 3 +x 4 ) . 三、解答題：本大題共三、解答題：本大題共 6 6 小題，滿(mǎn)分小題，滿(mǎn)分 8080 分解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟分解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟 15(本小題滿(mǎn)分 12 分) (a a 2b b). 設(shè)向量a a (sin x,cos x)，b b (sin x, 3sin x)，xR R，函數(shù)f (x) a ag (1) 求函數(shù)f (x)的最大值與單調(diào)遞增區(qū)間； (2) 求使不

7、等式f (x) 2成立的x的取值集合. 16(本小題滿(mǎn)分 12 分) 已知函數(shù)f (x) ax bx c的圖象過(guò)點(diǎn)A(0,3)，且它在x 1處的切線方程為 42 2x y 0. (1) 求函數(shù)f (x)的解析式； (2) 若對(duì)任意xR，不等式f (x) k(x 1)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍. 17(本小題滿(mǎn)分 14 分) 已知四棱錐P ABCD的三視圖如下圖所示，E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn). (1) 求四棱錐P ABCD的體積； (2) 是否不論點(diǎn)E在何位置，都有BD AE？證明你的結(jié)論； (3) 若點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，求二面角D AEB的大小. 2 18(本小題滿(mǎn)分 14 分) 如圖，已知AB 平

8、面ACD，DE 平面ACD，ACD為等邊三角形， AD DE 2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn). (1) 求證：AF /平面BCE； (2) 求證：平面BCE 平面CDE； (3) 求直線BF和平面BCE所成角的正弦值. 19(本小題滿(mǎn)分 14 分) 已知f (x)為二次函數(shù)，不等式f (x)2 0的解集為(1, )，且對(duì)任意,R R， 恒有f (sin) 0, f (2cos) 0. 數(shù)列a n滿(mǎn)足 a 1 1，3a n1 1 (1) 求函數(shù)f (x)的解析式； (2) 設(shè)bn 1 3 1 (nN N*). f (a n ) 1 ，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式； a n (3) 若(2)中數(shù)列b n的前 n項(xiàng)

9、和為S n ，求數(shù)列Sncos(b n )的前n項(xiàng)和T n . 20(本小題滿(mǎn)分 14 分) 已知數(shù)列a n滿(mǎn)足 a 1 1741 * ，a2，an2 a n1 a n (nN N ). 3933 (1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2) 求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和Sn； (3) 已知不等式ln(1 x) x 對(duì)x 0成立，求證： 1 x 111 L ln3n12. a 1 2a 2 2a n 2 參考答案參考答案 一、選擇題：本大題共一、選擇題：本大題共 8 8 小題，每小題小題，每小題 5 5 分，滿(mǎn)分分，滿(mǎn)分 4040 分分. . 題號(hào) 答案 1 D 2 B 3 C 4 A 5 D 6 B 7

10、 D 8 A 二、填空題：本大題共二、填空題：本大題共 6 6 小題，每小題小題，每小題 5 5 分，滿(mǎn)分分，滿(mǎn)分 3030 分分. . b9127 9. .10. . 11. .10012. . 8 13. .14. . 19 a238 三、解答題：本大題共三、解答題：本大題共 6 6 小題，滿(mǎn)分小題，滿(mǎn)分 8080 分分. . 15. .(本小題滿(mǎn)分 12 分) (a a2b b) a a22a agb bsin2xcos2x2(sin2x 3sinxcosx) 2 分 解：解：(1) f (x) a ag 11cos2x3sin2x 22(sin2x 22(sin2xcos 當(dāng)sin(2

11、x 由2k 31 cos2x ) 4 分 22 cos2xsin) 22sin(2x). 5 分 666 6 ) 1時(shí)，f (x)取得最大值4. 6 分 2 2x 6 2k 2 ，得k 6 x k 3 (k Z Z)， f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k (2)由f (x) 22sin(2x ,k(k Z Z). 8 分 63 )，得f (x) 4cos(2 x). 9 分 66 1 由f (x) 2，得cos(2x ) ，則2k 2x 2k ， 11 分 62363 即k 12 x k 4 (k Z Z). 使不等式f (x) 2成立的x的取值集合為x k xk,kZ Z. 12 分 124 16

12、. .(本小題滿(mǎn)分 12 分) 解：解：(1) 由f (x)的圖象過(guò)點(diǎn)A(0,3)，可知f (0) 3，得c 3. 1 分 又f (x) 4ax 2bx，由題意知函數(shù)y f (x)在點(diǎn)(1,2)處的切線斜率為2， 3 f (1) 2 且 f (1) 2 ， 即4a2b 2且ab3 2， 解 得 a 2,b 3. 5 分 42 f (x) 2x 3x 3. 6 分 2x43x23 (2) 由f (x) k(x 1)恒成立 ，得k 恒成立， 2x 1 2x43x23 令g(x) ，則k g(x)max. 7 分 x21 22 令t x 1，則x t 1(t 1)， 2 2(t 1)23(t1)32

13、t27t84 g(x) 72(t )722 4 1，10 分 ttt 4 當(dāng)且僅當(dāng)t ，即t 2時(shí)，g(x)max 1. 11 分 t k 1，即k的取值范圍是1,). 12 分 17. . (本小題滿(mǎn)分 14 分) 解：解：(1) 由三視圖可知，四棱錐P ABCD的底面是邊長(zhǎng)為 1 的正方形， 側(cè)棱PC 底面ABCD，且PC 2. 2 分 112 S 正方形ABCD PC 122 ， 333 2 即四棱錐P ABCD的體積為. 4 分 3 (2) 不論點(diǎn)E在何位置，都有BD AE. 5 分 證明如下：連結(jié)AC，ABCD是正方形，BD AC. 6 分 PC 底面ABCD，且BD平面ABCD，B

14、D PC. 7 分 又AC I PC C，BD 平面PAC. 8 分 不論點(diǎn)E在何位置，都有AE平面PAC. 不論點(diǎn)E在何位置，都有BD AE. 9 分 (3) 解法解法 1 1：在平面DAE內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作DF AE于F，連結(jié)BF. D V PABCD AD AB 1，DE BE 1 1 2，AE AE 3， F RtADERtABE， 從而ADFABF，BF AE. A DFB為二面角D AEB的平面角. 12 分 在 RtADE中，DF 又BD 22 P E C B ADDE12 BF， AE3 2，在DFB 中，由余弦定理得 2 22 222DF BF BD1 3 cosDFB ， 13 分

15、 2 2DF BF2 2 3 DGB 120，即二面角D AEB的大小為120. 14 分 解法解法 2 2：如圖，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CD，CB，CP所在的直線分別為x, y,z軸建立空間直角 坐標(biāo)系. 則D(1,0,0)，A(1,1,0) ，B(0,1,0)，E(0,0,1)，從而 uuu ruuu ruuu ruuu r DA (0,1,0)，DE (1,0,1)，BA (1,0,0)，BE (0,1,1). 10 分 設(shè)平面ADE和平面ABE的法向量分別為 uruu r n 1 (x 1, y1,z1) ，n2 (x2, y2,z2)， D ur uuu r x ur n 1gDA 0 y

16、1 0 由u，取n 1 (1,0,1). 11 分 r uuu r x z 0 n1gDE 0 11 A y z P E C B uu r uuu r uu r n2gBA 0 x 2 0 由u，取n2(0,1,1). 12 分 u r uuu r y z 0 n2gBE 0 22 設(shè)二面角D AEB的平面角為，則 ur uu r n gn 2 11 cos ur1u ， 13 分 u r 222 n 1 n 2 22 ，即二面角D AEB的大小為. 14 分 33 B 18. . (本小題滿(mǎn)分 14 分) 方法一：方法一： (1) 證法一證法一：取CE的中點(diǎn)G，連FG、BG. 1 F 為CD

17、的中點(diǎn)，GF /DE且GF DE. 1 分 2 AB 平面ACD，DE 平面ACD， G AB/ DE，GF / AB. 2 分 H 1 又AB DE，GF AB. 3 分 2 四邊形GFAB為平行四邊形，則AF / BG. 4 分 C F AF 平面BCE，BG 平面BCE， AF /平面BCE. 5 分 證法二證法二：取DE的中點(diǎn)M，連AM、FM. F為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)M /CE. 1 分 AB 平面ACD，DE 平面ACD，DE/ AB. 2 分 1 又AB DE ME， 2 四邊形ABEM為平行四邊形，則AM /BE. 3 分 FM、AM 平面BCE，CE、BE 平面BCE， FM /平

18、面BCE，AM /平面BCE. 又FM I AM M，平面AFM /平面BCE. 4 分 AF 平面AFM， AF /平面BCE. 5 分 (2) 證證：ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，AF CD. 6 分 DE 平面ACD，AF 平面ACD，DE AF. 7 分 又CDI DE D，故AF 平面CDE. 8 分 BG/ AF，BG 平面CDE. 9 分 BG 平面BCE， 平面BCE 平面CDE. 10 分 (3) 解解：在平面CDE內(nèi)，過(guò)F作FH CE于H，連BH. 平面BCE 平面CDE， FH 平面BCE. FBH為BF和平面BCE所成的角. 12 分 2 a， 設(shè)AD DE 2A

19、B 2a，則FH CF sin45 2 E A M D BF AB2 AF2a2( 3a)2 2a， R tFHB中，sinFBH FH2 . BF4 直線BF和平面BCE所成角的正弦值為 2 4 .14 分 方法二：方法二： 設(shè)AD DE 2AB 2a，建立如圖所示的坐標(biāo)系A(chǔ) xyz，則 A0， 0， 0,C2a， 0， 0,B0,0, a,Da, 3a,0,Ea, 3a,2a.2 分 F 為CD的中點(diǎn)，F(xiàn) 3 3 3 分 2 a, 2 a,0 . (1) 證證： u AF uu r 33 uuu r uuu r 2 a,a,0 ,BE a, 3a,a ,BC 2a,0, a， 4 分 u

20、AF uu r 2 1u 2 BE uu r u BC uu r ，AF 平面BCE，AF /平面BCE. 5 分 (2) 證證： u AF uu r 33 2 a,a,0 uuu r uuu r ,CD a, 3a,0 ,ED 0,0, 2a， 6 分 u AF uu r u CD uu r 0, u AF uu r 2 u ED uu r 0， u AF uu r u CD uu r , u AF uu r u ED uu r . u AF uu r 8 分 平面CDE，又AF /平面BCE， 平面BCE 平面CDE. (3) 解解：設(shè)平面BCE的法向量為 r n x, y,z，由 r n

21、 u BE uu r 0, r n u BC uu r 10 分 0可得： x3y z 0,2x z 0，取 r n 1, 3,2 . 12 分 又 u BF uu r 3 a, 3 a,a ，設(shè)BF和平面BCE所成的角為，則 u u 22 sin u BF u rgr n 2a2 BF uu r r n 2a2 2 4 . 直線BF和平面BCE所成角的正弦值為 2 4 . 14 分 19. .(本小題滿(mǎn)分 14 分) 解：解：(1) 依題設(shè)，f(x)2a(x1)(x 1) (a 0)，即f(x)ax2 2a 33 x a 3 2. 2 分 令 2 , ， 則sin1,cos 1， 有f (1

22、) 0, f (21) 0， 得 f (1) 0. 4 分 即a 2a 3 a 3 2 0，得a 3 2 . f (x) 3 2 x2 x 5 2 . 5 分 (2) f(x)3x1，則3a 1 n1 1 f(a 1 1 1 3a n 3a ，即a a n n1 ， 6 分 n )3a nn 13a n 1 兩邊取倒數(shù)，得 1 a 3 1 ，即bn1 3bn. 7 分 n1 a n 數(shù)列bn是首項(xiàng)為b 1 1 1，公差為3的等差數(shù)列. 8 分 a 1 * bn1(n1)3 3n2(nN N ). 9 分 n (3) cos(bn) cos(3n2) cos(n) (1)， 10 分 n Snc

23、os(bn) (1) Sn. n Tn S1 S2 S3 S4L (1) Sn. 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， T n (S 2 S 1)(S4 S 3 )L (S n S n1) b2 b 4 L b n n (b 2 b n ) n3n22n 2 . 12 分 (43n2) 244 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， 3(n1)22(n1)n(13n2)3n22n1 T n T n1 S n . 424 3n22n1 (n為奇數(shù)) 4 綜上，Tn. 14 分 2 3n 2n (n為偶數(shù)) 4 20. .(本小題滿(mǎn)分 14 分) 4111 a n1 a n ，得a n2 a n1 a n1 a n ， 3333 111711

24、2 數(shù)列an1 a n 是常數(shù)列，an1 a n a 2 a 1 ， 3 339333 121 即an1 a n ，得an11 (a n 1). 333 12 數(shù)列an1是首項(xiàng)為a 1 1 ，公比為的等比數(shù)列， 33 221 n1 an1 ( )( ) ，故數(shù)列a n的通項(xiàng)公式為 a n 1 n . 5 分 333 411 解法二：解法二：由an2 a n1 a n ，得an2an1 (a n1 a n )， 333 1714 數(shù)列an1an是首項(xiàng)為a2a 1 ，公比為的等比數(shù)列， 3939 41 n1 an1an ( ) . 93 144 141 n2 an a 1 (a 2 a 1)(a3 a 2 )L (a n a n1) L ( ) 399 393 41 (1 n1 ) 11212 3 9 (1 n1 ) 1 n (n 2) （*） 1 33333 1 3 (1) 解法一：解法一：由an2 12 也適合（*） ，故數(shù)列a n的通項(xiàng)公式為 a n 1 n . 5 分 33 41111 解法三：解法三：由a n2 a n1 a n ，得a n2 a n1 a n1 a n ，a n2 a n1 (a n1 a n ). 33333 11714 an1 a n 是常數(shù)列，an1an是首項(xiàng)為a2a 1 ，公比為的等比 3 3939 當(dāng)n 1時(shí)，a 1 數(shù)列. 7